Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 26/latex

\setcounter{section}{26}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Was ist eigentlich ein \anfuehrung{Winkel}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass man jeden vorgegebenen Winkel mittels Zirkel und Lineal halbieren kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei ein Kreis $K$ und ein Punkt
\mathl{P \in K}{} gegeben. \definitionsverweis {Konstruiere}{}{} die Tangente an den Kreis durch $P$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass es auf dem Einheitskreis unendlich viele \definitionsverweis {konstruierbare}{}{} Punkte gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \leq }{ 30 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} ob das regelmäßige $n$-Eck mit Zirkel und Lineal \definitionsverweis {konstruierbar}{}{} ist oder nicht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige mit Hilfe des verschobenen Eisensteinkriteriums, dass das Polynom
\mathl{X^3-3X-1}{} irreduzibel in $\Q[X]$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das Polynom
\mathl{X^3+2X^2-5}{} in $\Q[X]$ \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei ein Kreis $K$ und ein Punkt $P$ außerhalb des Kreises gegeben. \definitionsverweis {Konstruiere}{}{} eine der Tangenten an den Kreis, die durch $P$ läuft.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos 3 \alpha }
{ =} { 4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} aus den Additionstheoremen für die trigonometrischen Funktionen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^{u}+1 }
{ =} {(X+1) { \left( X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}- \cdots + X^2 - X +1 \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für $u$ ungerade.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Koordinaten der fünften Einheitswurzeln in ${\mathbb C}$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es nicht für jede \definitionsverweis {konstruierbare Zahl}{}{}
\mathl{z \in {\mathbb C}}{} einen \definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{} $K_n$ mit
\mathl{z \in K_n}{} gibt.

}
{} {}