Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 4/latex

\setcounter{section}{4}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{} und \maabb {\varphi} {G} {H } {} sei ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass
\mathl{\varphi (e_G)= e_H}{} und
\mathl{(\varphi(g))^{-1} = \varphi (g^{-1})}{} für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g }
{ \in }{ G }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Zeige, dass sich Gruppenelemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g }
{ \in }{ G }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} und \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{} $\varphi$ von $\Z$ nach $G$ über die Korrespondenz
\mathdisp {g \longmapsto ( n \mapsto g^n ) \text{ und } \varphi \longmapsto \varphi(1)} { }
entsprechen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{.} Zeige, dass auch die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi^{-1}} {H} { G } {h} {\varphi^{-1}(h) } {,} ein Gruppenisomorphismus ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{} und sei \maabb {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $\varphi$ eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von $H$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Stifte einen \definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{} zwischen der additiven Gruppe der reellen Zahlen
\mathl{(\R,0,+)}{} und der multiplikativen Gruppe der positiven reellen Zahlen
\mathl{(\R_+,1,\cdot )}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Gruppe}{}{} der komplexen Zahlen ohne null,
\mathl{{\mathbb C}^\times = ({\mathbb C} \setminus \{0\}, \cdot,1)}{.} Bestimme für jedes
\mathl{n \in \N}{} den \definitionsverweis {Kern}{}{} des Potenzierens \maabbeledisp {} {{\mathbb C}^\times} { {\mathbb C}^\times} {z} {z^n } {.} Sind diese \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{} surjektiv?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Determinante}{}{} \maabbeledisp {} { \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) } } { (K \setminus \{0\},\cdot, 1) } { M } { \det M } {,} ein \definitionsverweis {surjektiver}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe für jedes
\mathl{n \in \N}{} eine \definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{}
\mathl{M \in \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( \R \right) }}{} an, derart, dass die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} von $M$ gleich $n$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $G$ eine endliche \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Zeige, dass jedes Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g }
{ \in }{ G }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} eine endliche \definitionsverweis {Ordnung}{}{} besitzt, und dass die Potenzen
\mathdisp {g^0=e_G,\, g^1=g,\, g^2 , \ldots , g^{ \operatorname{ord} \, (g)-1}} { }
alle verschieden sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Nebenklassen}{}{} zu den folgenden \definitionsverweis {Untergruppen}{}{} von \definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{.} \aufzaehlungsechs{
\mathl{(\Z,0,+) \subseteq (\R,0,+)}{.} }{
\mathl{(\Q,0,+) \subseteq (\R,0,+)}{.} }{
\mathl{(\R,0,+) \subseteq ({\mathbb C},0,+)}{.} }{
\mathl{(\Z n,0,+) \subseteq (\Z,0,+)}{} \zusatzklammer {$n \in \N$} {} {.} }{
\mathl{({ \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \betrag { z } = 1 \right\} }, 1, \cdot) \subseteq ({\mathbb C} \setminus \{0\} ,1, \cdot)}{.} }{
\mathl{({ \left\{ z \in {\mathbb C} \mid z^n = 1 \right\} }, 1, \cdot) \subseteq ({ \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \betrag { z } = 1 \right\} }, 1, \cdot)}{} \zusatzklammer {$n \in \N$} {} {.} } Wann bestehen die Nebenklassen aus endlich vielen Elementen, wann ist der \definitionsverweis {Index}{}{} endlich?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Stifte einen \definitionsverweis {surjektiven}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} von der \definitionsverweis {Gruppe}{}{} der komplexen Zahlen ohne null
\mathl{({\mathbb C} \setminus \{0\}, \cdot,1)}{} in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen
\mathl{(\R_+,\cdot,1 )}{.}

}
{Was ist der Kern dieser Abbildung?} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Betrachte die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}} { . }
Zeige, dass diese Matrix einen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} von $\Q^2$ nach $\Q^2$ und ebenso von \mathkor {} {\Z^2} {nach} {\Z^2} {} definiert. Untersuche diese beiden Gruppenhomomorphismen in Hinblick auf \definitionsverweis {Injektivität}{}{} und \definitionsverweis {Surjektivität}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{1}
{

Es sei $G$ eine \zusatzklammer {multiplikativ geschriebene} {} {} \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und sei
\mathl{n \in \N}{.} Zeige, dass das Potenzieren \maabbeledisp {} {G} {G } {x} {x^n } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{} von \mathkor {} {(\Q,+,0)} {nach} {(\Z,+,0)} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Man gebe für jedes
\mathl{n \in \N}{} eine \definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{}
\mathl{M \in \operatorname{GL}_{ k } \! { \left( \Q \right) }}{} an \zusatzklammer {dabei sei $k$ geeignet gewählt} {} {,} derart, dass die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} von $M$ gleich $n$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{,} in der jedes Element die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} zwei hat, d.h. für jedes Gruppenelement $g$ gilt
\mathl{g^2 = e}{.} Zeige, dass die Gruppe $G$ dann \definitionsverweis {abelsch}{}{} ist.

}
{} {}