Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Vorlesung 4

In dieser und der nächsten Vorlesung werden wir uns mit Gruppentheorie, insbesondere mit Restklassenbildung, beschäftigen. Zum einen ist die Restklassenbildung für uns wichtig, um zu einem Ideal ${}I\subseteq K[X]$ den Restklassenring ${}K[X]/I$ zu konstruieren. Diese Konstuktion ist entscheidend, um die dritte zu Beginn der letzten Vorlesung gestellte Frage beantworten zu können. Zum andern treten Gruppen als Galoisgruppen von Körpererweiterungen auf, und die Korrespondenz zwischen Untergruppen der Galoisgruppe und Zwischenkörpern ist der Hauptgegenstand der Galoistheorie. Um unser hauptsächliches Interesse, die Körper- und Galoistheorie, nicht zu lange aus dem Blick zu verlieren, werden wir uns hier bei den ohnehin einfachen Beweisen kurz halten. Ähnliche Argumente sind von der linearen Algebra bekannt.

Gruppenhomomorphismen

Definition

Es seien ${}(G,\circ ,e_{G})$ und ${}(H,\circ ,e_{H})$ Gruppen. Eine Abbildung

$\psi \colon G\longrightarrow H$

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

${}\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,$

für alle ${}g,g'\in G$ gilt.

Die Menge der Gruppenhomomorphismen von ${}G$ nach ${}H$ wird mit

$\operatorname {Hom} \,(G,H)$

bezeichnet. Aus der linearen Algebra sind vermutlich die linearen Abbildungen zwischen Vektorräumen bekannt, welche insbesondere Gruppenhomomorphismen sind, darüber hinaus aber auch noch mit der skalaren Multiplikation verträglich sind. Die folgenden beiden Lemmata folgen direkt aus der Definition.

Lemma

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ sei ein Gruppenhomomorphismus.

Dann ist ${}\varphi (e_{G})=e_{H}$ und ${}(\varphi (g))^{-1}=\varphi {\left(g^{-1}\right)}$ für jedes ${}g\in G$.

Beweis

Siehe Aufgabe 4.1.

$\Box$

Lemma

Es seien ${}F,G,H$ Gruppen.

Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die Identität

   $\operatorname {Id} \colon G\longrightarrow G$

   ist ein Gruppenhomomorphismus.

2. Sind ${}\varphi :F\rightarrow G$ und ${}\psi :G\rightarrow H$ Gruppenhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderschaltung ${}\psi \circ \varphi \colon F\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus.
3. Ist ${}F\subseteq G$ eine Untergruppe, so ist die Inklusion ${}F\hookrightarrow G$ ein Gruppenhomomorphismus.
4. Es sei ${}\{e\}$ die triviale Gruppe. Dann ist die Abbildung ${}\{e\}\rightarrow G$, die ${}e$ auf ${}e_{G}$ schickt, ein Gruppenhomomorphismus. Ebenso ist die (konstante) Abbildung ${}G\rightarrow \{e\}$ ein Gruppenhomomorphismus.

Beweis

Das ist trivial.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}G$ eine Gruppe.

Dann entsprechen sich eindeutig Gruppenelemente ${}g\in G$ und Gruppenhomomorphismen ${}\varphi$ von ${}\mathbb {Z}$ nach ${}G$ über die Korrespondenz

$g\longmapsto (n\mapsto g^{n}){\text{ und }}\varphi \longmapsto \varphi (1).$

Beweis

Siehe Aufgabe 4.2.

$\Box$

Man kann den Inhalt dieses Lemmas auch kurz durch ${}G\cong \operatorname {Hom} _{}^{}{\left(\mathbb {Z} ,G\right)}$ ausdrücken. Die Gruppenhomomorphismen von einer Gruppe ${}G$ nach ${}\mathbb {Z}$ sind schwieriger zu charakterisieren. Die Gruppenhomomorphismen von ${}\mathbb {Z}$ nach ${}\mathbb {Z}$ sind die Multiplikationen mit einer festen ganzen Zahl ${}a$, also

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,x\longmapsto ax.$

Gruppenisomorphismen

Definition

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen. Einen bijektiven Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

nennt man einen Isomorphismus (oder eine Isomorphie). Die beiden Gruppen heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt.

Lemma

Seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenisomorphismus.

Dann ist auch die Umkehrabbildung

$\varphi ^{-1}\colon H\longrightarrow G,\,h\longmapsto \varphi ^{-1}(h),$

ein Gruppenisomorphismus.

Beweis

Siehe Aufgabe 4.3.

$\Box$

Isomorphe Gruppen sind bezüglich ihrer gruppentheoretischen Eigenschaften als gleich anzusehen. Isomorphismen einer Gruppe auf sich selbst nennt man auch Automorphismen. Wichtige Beispiele für Automorphismen sind die sogenannten inneren Automorphismen, siehe die nächste Vorlesung.

Der Kern eines Gruppenhomomorphismus

Definition

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus. Dann nennt man das Urbild des neutralen Elementes den Kern von ${}\varphi$, geschrieben

${}\operatorname {kern} \varphi =\varphi ^{-1}(e_{H})={\left\{g\in G\mid \varphi (g)=e_{H}\right\}}\,.$

Lemma

Seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus.

Dann ist der Kern von ${}\varphi$ eine Untergruppe von ${}G$.

Beweis

Wegen ${}\varphi (e_{G})=e_{H}$ ist ${}e_{G}\in \operatorname {kern} \varphi$. Seien ${}g,g'\in \operatorname {kern} \varphi$. Dann ist

${}\varphi (gg')=\varphi (g)\varphi (g')=e_{H}e_{H}=e_{H}\,$

und daher ist auch ${}gg'\in \operatorname {kern} \varphi$. Der Kern ist also ein Untermonoid. Es sei nun ${}g\in \operatorname {kern} \varphi$ und betrachte das inverse Element ${}g^{-1}$. Nach Lemma 4.2 ist

${}\varphi {\left(g^{-1}\right)}=(\varphi (g))^{-1}=e_{H}^{-1}=e_{H}\,,$

also auch ${}g^{-1}\in \operatorname {kern} \varphi$.

$\Box$

Lemma

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen.

Ein Gruppenhomomorphismus ${}\varphi :G\rightarrow H$ ist genau dann injektiv, wenn der Kern von ${}\varphi$ trivial ist.

Beweis

Wenn ${}\varphi$ injektiv ist, so darf auf jedes Element ${}h\in H$ höchstens ein Element aus ${}G$ gehen. Da ${}e_{G}$ auf ${}e_{H}$ geschickt wird, darf kein weiteres Element auf ${}e_{H}$ gehen, d.h. ${}\ker \varphi =\{e_{G}\}$. Es sei umgekehrt dies der Fall und sei angenommen, dass ${}g,{\tilde {g}}\in G$ beide auf ${}h\in H$ geschickt werden. Dann ist

${}\varphi {\left(g{\tilde {g}}^{-1}\right)}=\varphi (g)\varphi ({\tilde {g}})^{-1}=hh^{-1}=e_{H}\,$

und damit ist ${}g{\tilde {g}}^{-1}\in \ker \varphi$, also ${}g{\tilde {g}}^{-1}=e_{G}$ nach Voraussetzung und damit ${}g={\tilde {g}}$.

$\Box$

Nebenklassen

Definition

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe. Wir setzen ${}x\sim _{H}y$ (und sagen, dass ${}x$ und ${}y$ äquivalent sind) wenn ${}x^{-1}y\in H$.

Dies ist in der Tat eine Äquivalenzrelation: Aus ${}x^{-1}x=e_{G}\in H$ folgt, dass diese Relation reflexiv ist. Aus ${}x^{-1}y\in H$ folgt sofort ${}y^{-1}x={\left(x^{-1}y\right)}^{-1}\in H$ und aus ${}x^{-1}y\in H$ und ${}y^{-1}z\in H$ folgt ${}x^{-1}z={\left(x^{-1}y\right)}{\left(y^{-1}z\right)}\in H$.

Definition

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe. Dann heißt zu jedem ${}x\in G$ die Teilmenge

${}xH={\left\{xh\mid h\in H\right\}}\,$

die Linksnebenklasse von ${}x$ in ${}G$ bezüglich ${}H$. Jede Teilmenge von dieser Form heißt Linksnebenklasse. Entsprechend heißt eine Menge der Form

${}Hy={\left\{hy\mid h\in H\right\}}\,$

Rechtsnebenklasse (zu ${}y$).

Die Äquivalenzklassen zu der oben definierten Äquivalenzrelation sind wegen

${}{\begin{aligned}{[}x{]}&={\left\{y\in G\mid x\sim y\right\}}\\&={\left\{y\in G\mid x^{-1}y\in H\right\}}\\&={\left\{y\in G\mid {\text{es gibt }}h\in H{\text{ mit }}x^{-1}y=h\right\}}\\&={\left\{y\in G\mid {\text{es gibt }}h\in H{\text{ mit }}y=xh\right\}}\\&=xH\end{aligned}}$

genau die Linksnebenklassen. Die Linksnebenklassen bilden somit eine disjunkte Zerlegung (eine Partition) von ${}G$. Dies gilt ebenso für die Rechtsnebenklassen. Im kommutativen Fall muss man nicht zwischen Links- und Rechtsnebenklassen unterscheiden.

Lemma

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe. Es seien ${}x,y\in G$ Elemente.

Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}x\in yH$.
2. ${}y\in xH$.
3. ${}y^{-1}x\in H$.
4. ${}x^{-1}y\in H$.
5. ${}xH\cap yH\neq \emptyset$.
6. ${}x\sim _{H}y$.
7. ${}xH=yH$.

Beweis

Die Äquivalenz von ${}(1)$ und ${}(3)$ (und die von ${}(2)$ und ${}(4)$) folgt aus Multiplikation mit ${}y^{-1}$ bzw. mit ${}y$. Die Äquivalenz von ${}(3)$ und ${}(4)$ folgt durch Übergang zum Inversen. Aus ${}(1)$ folgt ${}(5)$ wegen ${}1\in H$. Wenn ${}(5)$ erfüllt ist, so bedeutet das ${}xh_{1}=yh_{2}$ mit gewissen ${}h_{1},h_{2}\in H$. Damit ist ${}x=yh_{2}h_{1}^{-1}$ und ${}(1)$ ist erfüllt. (4) und (6) sind nach Definition 4.10 äquivalent. Da die Linksnebenklassen die Äquivalenzklassen sind, ergibt sich die Äquivalenz von (5) und (7).

$\Box$

Gruppenordnung und Elementordnung

Definition

Zu einer endlichen Gruppe ${}G$ bezeichnet man die Anzahl ihrer Elemente als Gruppenordnung oder als die Ordnung der Gruppe, geschrieben

${}\operatorname {ord} \,(G)={\#\left(G\right)}\,.$

Definition

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ ein Element. Dann nennt man die kleinste positive Zahl ${}n$ mit ${}g^{n}=e_{G}$ die Ordnung von ${}g$. Man schreibt hierfür ${}\operatorname {ord} \,(g)$. Wenn alle positiven Potenzen von ${}g$ vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man ${}\operatorname {ord} \,(g)=\infty$.

Lemma

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe.

Dann besitzt jedes Element ${}g\in G$ eine endliche Ordnung.

Die Potenzen

$g^{0}=e_{G},\,g^{1}=g,\,g^{2},\ldots ,g^{\operatorname {ord} \,(g)-1}$

sind alle verschieden.

Beweis

Siehe Aufgabe 4.9.

$\Box$

Der Satz von Lagrange

Joseph-Louis Lagrange (1736 Turin - 1813 Paris)

Satz

Gruppe endlich/Situation und ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe von ${}G$.

Dann ist ihre Kardinalität ${}{\#\left(H\right)}$ ein Teiler von ${}{\#\left(G\right)}$.

Beweis

Betrachte die Linksnebenklassen ${}gH:={\left\{gh\mid h\in H\right\}}$ für sämtliche ${}g\in G$. Es ist

$H\longrightarrow gH,\,h\longmapsto gh,$

eine Bijektion zwischen ${}H$ und ${}gH$, sodass alle Nebenklassen gleich groß sind (und zwar ${}{\#\left(H\right)}$ Elemente haben). Die Nebenklassen bilden (als Äquivalenzklassen) zusammen eine Zerlegung von ${}G$, sodass ${}{\#\left(G\right)}$ ein Vielfaches von ${}{\#\left(H\right)}$ sein muss.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe und sei ${}g\in G$ ein Element.

Dann teilt die Ordnung von ${}g$ die Gruppenordnung.

Beweis

Es sei ${}H$ die von ${}g$ erzeugte Untergruppe. Nach Lemma 4.15 ist

${}\operatorname {ord} \,(g)=\operatorname {ord} \,(H)\,.$

Daher teilt diese Zahl nach Satz 4.16 die Gruppenordnung von ${}G$.

$\Box$

Definition

Zu einer Untergruppe ${}H\subseteq G$ heißt die Anzahl der (Links- oder Rechts-)Nebenklassen der Index von ${}H$ in ${}G$, geschrieben

$\operatorname {ind} _{G}H.$

In der vorstehenden Definition ist Anzahl im Allgemeinen als die Mächtigkeit einer Menge zu verstehen. Der Index wird aber hauptsächlich dann verwendet, wenn er endlich ist, wenn es also nur endlich viele Nebenklassen gibt. Das ist bei endlichem ${}G$ automatisch der Fall, kann aber auch bei unendlichem ${}G$ der Fall sein, wie schon die Beispiele ${}\mathbb {Z} n\subseteq \mathbb {Z}$, ${}n\geq 1$, zeigen. Wenn ${}G$ eine endliche Gruppe ist und ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe, so gilt aufgrund des Satzes von Lagrange die einfache Indexformel

${}{\#\left(G\right)}={\#\left(H\right)}\cdot \operatorname {ind} _{G}H\,.$

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