Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Verknüpfung und Gruppen/Textabschnitt

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Definition  

Eine Verknüpfung auf einer Menge ist eine Abbildung

Statt schreibt man oder oder einfach .

Wenn ein geometrisches Objekt ist, und die Menge der Bewegungen auf (also die bijektiven Abbildungen von nach , die die geometrische Struktur von respektieren), so ist die Hintereinanderschaltung von Bewegungen, also

eine Verknüpfung.


Definition  

Ein Monoid ist eine Menge zusammen mit einer Verknüpfung

und einem ausgezeichneten Element derart, dass folgende beiden Bedingungen erfüllt sind.

  1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt

    für alle .

  2. ist neutrales Element der Verknüpfung, d.h. es gilt

    für alle .

Die Hintereinanderausführung von Bewegungen ist assoziativ, da es allgemeiner bei der Hintereinanderausführung von Abbildungen nicht auf die Klammerung ankommt. Die identische Bewegung ist die neutrale Bewegung. In einem Monoid ist das neutrale Element eindeutig bestimmt. Wenn es nämlich zwei Elemente und gibt mit der neutralen Eigenschaft, so folgt sofort


Definition  

Ein Monoid heißt Gruppe, wenn jedes Element ein inverses Element besitzt, d.h. wenn es zu jedem ein mit gibt.

Die Menge aller Abbildungen auf einer Menge in sich selbst ist mit der Hintereinanderschaltung ein Monoid; die nicht bijektiven Abbildungen sind aber nicht umkehrbar, so dass sie kein Inverses besitzen und daher keine Gruppe vorliegt. Die Menge der bijektiven Selbstabbildungen einer Menge und die Menge der Bewegungen eines geometrischen Objektes sind hingegen eine Gruppe. In einer Gruppe ist das inverse Element zu einem Element eindeutig bestimmt. Wenn nämlich und die Eigenschaft besitzen, zu invers zu sein, so gilt

Daher schreibt man das zu einem Gruppenelement eindeutig bestimmte inverse Element als


Definition  

Eine Gruppe heißt kommutativ (oder abelsch), wenn die Verknüpfung kommutativ ist, wenn also für alle gilt.



Lemma  

Sei eine Gruppe.

Dann besitzen zu je zwei Gruppenelementen die beiden Gleichungen

eindeutige Lösungen .

Beweis  

Wir betrachten die linke Gleichung. Aus beidseitiger Multiplikation mit (bzw. mit ) von links folgt, dass nur

als Lösung in Frage kommt. Wenn man dies einsetzt, so sieht man, dass es sich in der Tat um eine Lösung handelt.



Definition  

Sei eine Gruppe. Eine Teilmenge heißt Untergruppe von wenn folgendes gilt.

  1. .
  2. Mit ist auch .
  3. Mit ist auch .


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