Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Verknüpfung und Gruppen/Textabschnitt

Definition

Eine Verknüpfung ${}\circ$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Abbildung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto \circ (x,y)=x\circ y.$

Statt ${}\circ (x,y)$ schreibt man ${}x\circ y$ oder ${}x*y$ oder einfach ${}xy$.

Wenn ${}X$ ein geometrisches Objekt ist, und ${}M=\operatorname {Bew} \,(X)$ die Menge der Bewegungen auf ${}X$ (also die bijektiven Abbildungen von ${}X$ nach ${}X$, die die geometrische Struktur von ${}X$ respektieren), so ist die Hintereinanderschaltung von Bewegungen, also

$\operatorname {Bew} \,(X)\times \operatorname {Bew} \,(X)\longrightarrow \operatorname {Bew} \,(X),\,(f,g)\longmapsto g\circ f,$

eine Verknüpfung.

Definition

Ein Monoid ist eine Menge ${}M$ zusammen mit einer Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M$

und einem ausgezeichneten Element ${}e\in M$ derart, dass folgende beiden Bedingungen erfüllt sind.

1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt

   ${}(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$

   für alle ${}x,y,z\in M$.

2. ${}e$ ist neutrales Element der Verknüpfung, d.h. es gilt

   ${}x\circ e=x=e\circ x\,$

   für alle ${}x\in M$.

Die Hintereinanderausführung von Bewegungen ist assoziativ, da es allgemeiner bei der Hintereinanderausführung von Abbildungen nicht auf die Klammerung ankommt. Die identische Bewegung ist die neutrale Bewegung. In einem Monoid ist das neutrale Element eindeutig bestimmt. Wenn es nämlich zwei Elemente ${}e_{1}$ und ${}e_{2}$ gibt mit der neutralen Eigenschaft, so folgt sofort

${}e_{1}=e_{1}e_{2}=e_{2}\,.$

Definition

Ein Monoid ${}(G,e,\circ )$ heißt Gruppe, wenn jedes Element ein inverses Element besitzt, d.h. wenn es zu jedem ${}x\in G$ ein ${}y\in G$ mit ${}x\circ y=e=y\circ x$ gibt.

Die Menge aller Abbildungen auf einer Menge ${}X$ in sich selbst ist mit der Hintereinanderschaltung ein Monoid; die nicht bijektiven Abbildungen sind aber nicht umkehrbar, sodass sie kein Inverses besitzen und daher keine Gruppe vorliegt. Die Menge der bijektiven Selbstabbildungen einer Menge und die Menge der Bewegungen eines geometrischen Objektes sind hingegen eine Gruppe.

Lemma

Es sei ${}(G,e,\circ )$ eine Gruppe.

Dann ist zu jedem ${}x\in G$ das Element ${}y\in G$ mit

${}x\circ y=y\circ x=e\,$

eindeutig bestimmt.

Beweis

Es sei

${}x\circ y=y\circ x=e\,$

und

${}x\circ z=z\circ x=e\,.$

Dann ist

${}y=y\circ e=y\circ (x\circ z)=(y\circ x)\circ z=e\circ z=z\,.$

$\Box$

Daher schreibt man das zu einem Gruppenelement ${}x\in G$ eindeutig bestimmte inverse Element als

$x^{-1}.$

Definition

Eine Gruppe ${}(G,e,\circ )$ heißt kommutativ (oder abelsch), wenn die Verknüpfung kommutativ ist, wenn also ${}x\circ y=y\circ x$ für alle ${}x,y\in G$ gilt.

Lemma

Es sei ${}(G,e,\circ )$ eine Gruppe.

Dann besitzen zu je zwei Gruppenelementen ${}a,b\in G$ die beiden Gleichungen

$a\circ x=b{\text{ und }}y\circ a=b$

eindeutige Lösungen ${}x,y\in G$.

Beweis

Wir betrachten die linke Gleichung. Aus beidseitiger Multiplikation mit ${}a^{-1}$ (bzw. mit ${}a$) von links folgt, dass nur

${}x=a^{-1}\circ b\,$

als Lösung in Frage kommt. Wenn man dies einsetzt, so sieht man, dass es sich in der Tat um eine Lösung handelt.

$\Box$

Definition

Es sei ${}(G,e,\circ )$ eine Gruppe. Eine Teilmenge ${}H\subseteq G$ heißt Untergruppe von ${}G$ wenn folgendes gilt.

1. ${}e\in H$.
2. Mit ${}g,h\in H$ ist auch ${}g\circ h\in H$.
3. Mit ${}g\in H$ ist auch ${}g^{-1}\in H$.

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