Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 4/latex
\setcounter{section}{4}
In dieser und der nächsten Vorlesung werden wir uns mit Gruppentheorie, insbesondere mit Restklassenbildung, beschäftigen. Zum einen ist die Restklassenbildung für uns wichtig, um zu einem Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den Restklassenring
\mathl{K[X]/I}{} zu konstruieren. Diese Konstuktion ist entscheidend, um die dritte zu Beginn der letzten Vorlesung gestellte Frage beantworten zu können. Zum andern treten Gruppen als Galoisgruppen von Körpererweiterungen auf, und die Korrespondenz zwischen Untergruppen der Galoisgruppe und Zwischenkörpern ist der Hauptgegenstand der Galoistheorie. Um unser hauptsächliches Interesse, die Körper- und Galoistheorie, nicht zu lange aus dem Blick zu verlieren, werden wir uns hier bei den ohnehin einfachen Beweisen kurz halten. Ähnliche Argumente sind aus der linearen Algebra bekannt.
\zwischenueberschrift{Gruppenhomomorphismen}
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {(G, \circ, e_G)} {und} {(H, \circ, e_H)} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\psi} {G} {H
} {}
heißt \definitionswort {Gruppenhomomorphismus}{,} wenn die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi( g \circ g')
}
{ =} { \psi (g) \circ \psi (g')
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g,g'
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
Die Menge der Gruppenhomomorphismen von $G$ nach $H$ wird mit
\mathdisp {\operatorname{Hom} \, (G,H)} { }
bezeichnet. Aus der linearen Algebra sind vermutlich die linearen Abbildungen zwischen Vektorräumen bekannt, welche insbesondere Gruppenhomomorphismen sind, darüber hinaus aber auch noch mit der skalaren Multiplikation verträglich sind. Die folgenden beiden Lemmata folgen direkt aus der Definition.
{Gruppenhomomorphismus/Inverses auf Inverses/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und
\maabb {\varphi} {G} {H
} {}
sei ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi (e_G)
}
{ = }{ e_H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\varphi(g))^{-1}
}
{ = }{ \varphi { \left( g^{-1} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für jedes
\mathl{g \in G}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 4.1. }
{Gruppenhomomorphismus/Kategorielle Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es seien
\mathl{F,G,H}{}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gelten folgende Eigenschaften.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\aufzaehlungvier{Die Identität
\maabbdisp {\operatorname{Id}} { G} {G
} {}
ist ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}
}{Sind
\mathkor {} {\varphi:F \rightarrow G} {und} {\psi: G \rightarrow H} {}
Gruppenhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderschaltung
\maabb {\psi \circ \varphi} { F} {H
} {}
ein Gruppenhomomorphismus.
}{Ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{,}
so ist die Inklusion
\mathl{F \hookrightarrow G}{} ein Gruppenhomomorphismus.
}{Es sei $\{e\}$ die
\definitionsverweis {triviale Gruppe}{}{.}
Dann ist die Abbildung
\mathl{\{e\} \rightarrow G}{,} die $e$ auf $e_G$ schickt, ein Gruppenhomomorphismus. Ebenso ist die
\zusatzklammer {konstante} {} {}
Abbildung
\mathl{G \rightarrow \{e\}}{} ein Gruppenhomomorphismus.
}
}
{Gruppenhomomorphismus/Z nach Gruppe/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann entsprechen sich eindeutig Gruppenelemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
und
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{}
$\varphi$ von $\Z$ nach $G$ über die Korrespondenz
\mathdisp {g \longmapsto ( n \mapsto g^n ) \text{ und } \varphi \longmapsto \varphi(1)} { . }
}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 4.2. }
Man kann den Inhalt dieses Lemmas auch kurz durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ Hom}_{ } ^{ } { \left( \Z,G \right) }
}
{ \cong }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ausdrücken. Die Gruppenhomomorphismen von einer Gruppe $G$ nach $\Z$ sind schwieriger zu charakterisieren. Die Gruppenhomomorphismen von $\Z$ nach $\Z$ sind die Multiplikationen mit einer festen ganzen Zahl $a$, also
\maabbeledisp {} {\Z} {\Z
} {x} {ax
} {.}
\zwischenueberschrift{Gruppenisomorphismen}
\inputdefinition
{}
{
Es seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{.} Einen bijektiven \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} nennt man einen \definitionswort {Isomorphismus}{} \zusatzklammer {oder eine \definitionswort {Isomorphie}{}} {} {.} Die beiden Gruppen heißen \definitionswort {isomorph}{,} wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt.
}
{Bijektiver Gruppenhomomorphismus/Umkehrabbildung ist homomorph/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {H
} {}
ein
\definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch die Umkehrabbildung
\maabbeledisp {\varphi^{-1}} {H} { G
} {h} {\varphi^{-1}(h)
} {,}
ein Gruppenisomorphismus.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 4.3. }
Isomorphe Gruppen sind bezüglich ihrer gruppentheoretischen Eigenschaften als gleich anzusehen. Isomorphismen einer Gruppe auf sich selbst nennt man auch
\definitionswortenp{Automorphismen}{.} Wichtige Beispiele für Automorphismen sind die sogenannten inneren Automorphismen, siehe die nächste Vorlesung.
\zwischenueberschrift{Der Kern eines Gruppenhomomorphismus}
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {H
} {}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Dann nennt man das Urbild des neutralen Elementes den \definitionswort {Kern}{} von $\varphi$, geschrieben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ =} { \varphi^{-1}(e_H)
}
{ =} { { \left\{ g \in G \mid \varphi(g)=e_H \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Gruppenhomomorphismus/Kern ist Untergruppe/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {H
} {}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
von $\varphi$ eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
von $G$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(e_G)
}
{ = }{e_H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e_G
}
{ \in }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g,g'
}
{ \in }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(g g')
}
{ =} { \varphi(g) \varphi(g')
}
{ =} { e_H e_H
}
{ =} { e_H
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g g'
}
{ \in }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Der Kern ist also ein Untermonoid. Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und betrachte das inverse Element $g^{-1}$. Nach
Lemma 4.2
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( g^{-1} \right) }
}
{ =} { (\varphi (g))^{-1}
}
{ =} { e_H^{-1}
}
{ =} { e_H
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g^{-1}
}
{ \in }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Group_homomorphism.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Group homomorphism.svg } {} {Cronholm 144} {Commons} {CC-by-Sa 2.5} {}
\inputfaktbeweis
{Gruppenhomomorphismus/Injektivität und Kern/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{.}}
\faktfolgerung {Ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\mathl{\varphi:G \rightarrow H}{} ist genau dann
\definitionsverweis {injektiv}{}{,}
wenn der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
von $\varphi$ trivial ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wenn $\varphi$ injektiv ist, so darf auf jedes Element
\mathl{h \in H}{} höchstens ein Element aus $G$ gehen. Da $e_G$ auf $e_H$ geschickt wird, darf kein weiteres Element auf $e_H$ gehen, d.h.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \ker \varphi
}
{ = }{ \{e_G\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei umgekehrt dies der Fall und sei angenommen, dass
\mathl{g, \tilde{g} \in G}{} beide auf
\mathl{h \in H}{} geschickt werden. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( g \tilde{g}^{-1} \right) }
}
{ =} {\varphi(g) \varphi (\tilde{g})^{-1}
}
{ =} {h h^{-1}
}
{ =} {e_H
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit ist
\mathl{g \tilde{g}^{-1} \in \ker \varphi}{,} also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g \tilde{g}^{-1}
}
{ = }{ e_G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach Voraussetzung und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ = }{\tilde{g}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\zwischenueberschrift{Nebenklassen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{.} Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim_H }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {und sagen, dass $x$ und $y$ äquivalent sind} {} {}
wenn
\mathl{x^{-1}y \in H}{.}
}
Dies ist in der Tat eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{:}
Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^{-1}x
}
{ = }{e_G
}
{ \in }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt, dass diese Relation reflexiv ist. Aus
\mathl{x^{-1}y \in H}{} folgt sofort
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y^{-1}x
}
{ = }{ { \left( x^{-1}y \right) }^{-1}
}
{ \in }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und aus
\mathl{x^{-1}y \in H}{} und
\mathl{y^{-1}z \in H}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^{-1}z
}
{ = }{ { \left( x^{-1}y \right) } { \left( y^{-1}z \right) }
}
{ \in }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{.} Dann heißt zu jedem
\mathl{x \in G}{} die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{xH
}
{ =} { { \left\{ xh \mid h \in H \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die \definitionswort {Linksnebenklasse von}{} $x$ in $G$ bezüglich $H$. Jede Teilmenge von dieser Form heißt \definitionswort {Linksnebenklasse}{.} Entsprechend heißt eine Menge der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Hy
}
{ =} { { \left\{ hy \mid h \in H \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionswort {Rechtsnebenklasse}{}
\zusatzklammer {zu $y$} {} {.}
}
Die Äquivalenzklassen zu der oben definierten Äquivalenzrelation sind wegen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{{{[}}x{{]}}
}
{ =} { { \left\{ y \in G \mid x \sim y \right\} }
}
{ =} { { \left\{ y \in G \mid x^{-1} y \in H \right\} }
}
{ =} { { \left\{ y \in G \mid \text{es gibt } h \in H \text{ mit } x^{-1 }y = h \right\} }
}
{ =} { { \left\{ y \in G \mid \text{es gibt } h \in H \text{ mit } y = xh \right\} }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {xH
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}
genau die Linksnebenklassen. Die Linksnebenklassen bilden somit eine disjunkte Zerlegung
\zusatzklammer {eine \stichwort {Partition} {}} {} {}
von $G$. Dies gilt ebenso für die Rechtsnebenklassen. Im kommutativen Fall muss man nicht zwischen Links- und Rechtsnebenklassen unterscheiden.
\inputfaktbeweis
{Gruppentheorie/Nebenklassen/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{.} Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente.}
\faktfolgerung {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
\aufzaehlungsieben{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{yH
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ xH
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y^{-1}x
}
{ \in }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^{-1}y
}
{ \in }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ xH \cap yH
}
{ \neq }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim_H }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xH
}
{ = }{yH
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Äquivalenz von $(1)$ und $(3)$
\zusatzklammer {und die von $(2)$ und $(4)$} {} {}
folgt aus Multiplikation mit $y^{-1}$ bzw. mit $y$. Die Äquivalenz von $(3)$ und $(4)$ folgt durch Übergang zum Inversen. Aus $(1)$ folgt $(5)$ wegen
\mathl{1 \in H}{.} Wenn $(5)$ erfüllt ist, so bedeutet das
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xh_1
}
{ = }{yh_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit gewissen
\mathl{h_1,h_2 \in H}{.} Damit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{yh_2h_1^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $(1)$ ist erfüllt. (4) und (6) sind nach
Definition 4.10
äquivalent. Da die Linksnebenklassen die
\definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{}
sind, ergibt sich die Äquivalenz von (5) und (7).
\zwischenueberschrift{Gruppenordnung und Elementordnung}
\inputdefinition
{}
{
Zu einer endlichen
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
$G$ bezeichnet man die Anzahl ihrer Elemente als \definitionswort {Gruppenordnung}{} oder als die \definitionswort {Ordnung der Gruppe}{,} geschrieben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (G)
}
{ =} { { \# \left( G \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element. Dann nennt man die kleinste positive Zahl $n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g^n
}
{ = }{e_G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die \definitionswort {Ordnung}{} von $g$. Man schreibt hierfür
\mathl{\operatorname{ord} \, (g)}{.} Wenn alle positiven Potenzen von $g$ vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (g)
}
{ = }{ \infty
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{Gruppentheorie/Endlich/Ordnung/Verschieden/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $G$ eine endliche
\definitionsverweis {Gruppe}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann besitzt jedes Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine endliche
\definitionsverweis {Ordnung}{}{.}}
\faktzusatz {Die Potenzen
\mathdisp {g^0=e_G,\, g^1=g,\, g^2 , \ldots , g^{ \operatorname{ord} \, (g)-1}} { }
sind alle verschieden.}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 4.8. }
\zwischenueberschrift{Der Satz von Lagrange}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Joseph-Louis_Lagrange.jpeg} }
\end{center}
\bildtext {Joseph-Louis Lagrange (1736 Turin - 1813 Paris)} }
\bildlizenz { Joseph-Louis Lagrange.jpeg } {unbekannt} {Katpatuka} {Commons} {PD} {http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Joseph-Louis_Lagrange.jpeg}
\inputfaktbeweis
{Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Gruppe endlich/Situation und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
von $G$.}
\faktfolgerung {Dann ist ihre Kardinalität ${ \# \left( H \right) }$ ein Teiler von ${ \# \left( G \right) }$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {Linksnebenklassen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{gH
}
{ \defeq }{{ \left\{ gh \mid h\in H \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für sämtliche
\mathl{g \in G}{.} Es ist
\maabbeledisp {} {H} {gH
} {h} {gh
} {,}
eine Bijektion zwischen
\mathkor {} {H} {und} {gH} {,}
sodass alle Nebenklassen gleich groß sind
\zusatzklammer {und zwar ${ \# \left( H \right) }$ Elemente haben} {} {.}
Die Nebenklassen bilden
\zusatzklammer {als Äquivalenzklassen} {} {}
zusammen eine
\definitionsverweis {Zerlegung}{}{}
von $G$, sodass ${ \# \left( G \right) }$ ein Vielfaches von ${ \# \left( H \right) }$ sein muss.
\inputfaktbeweis
{Gruppentheorie/Lagrange/Ordnung eines Elementes/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $G$ eine endliche
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ein Element.}
\faktfolgerung {Dann teilt die
\definitionsverweis {Ordnung von $g$}{}{}
die
\definitionsverweis {Gruppenordnung}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei $H$ die von $g$ erzeugte Untergruppe. Nach
Lemma 4.15
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (g)
}
{ =} { \operatorname{ord} \, (H)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher teilt diese Zahl nach
Satz 4.16
die Gruppenordnung von $G$.
\inputdefinition
{}
{
Zu einer
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt die Anzahl der
\zusatzklammer {Links- oder Rechts} {-} {}\definitionsverweis {Nebenklassen}{}{}
der \definitionswort {Index}{} von $H$ in $G$, geschrieben
\mathdisp {\operatorname{ind}_{G } H} { . }
}
In der vorstehenden Definition ist Anzahl im Allgemeinen als die \stichwort {Mächtigkeit} {} einer Menge zu verstehen. Der Index wird aber hauptsächlich dann verwendet, wenn er endlich ist, wenn es also nur endlich viele Nebenklassen gibt. Das ist bei endlichem $G$ automatisch der Fall, kann aber auch bei unendlichem $G$ der Fall sein, wie schon die Beispiele
\mathbed {\Z n \subseteq \Z} {}
{n \geq 1} {}
{} {} {} {,}
zeigen. Wenn $G$ eine endliche Gruppe ist und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Untergruppe, so gilt aufgrund des Satzes von Lagrange die einfache \stichwort {Indexformel} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \# \left( G \right) }
}
{ =} { { \# \left( H \right) } \cdot \operatorname{ind}_{G } H
}
{ } {
}
{ } {
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{ } {
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}
{}{}{.}