Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Arbeitsblatt 2

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}S\subseteq R$ ein Unterring. Zeige, dass ${}S[X]$ ein Unterring von ${}R[X]$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaft erfüllt.

1. ${}\operatorname {grad} \,(P+Q)\leq \max\{\operatorname {grad} \,(P),\,\operatorname {grad} \,(Q)\}$
2. ${}\operatorname {grad} \,(P\cdot Q)\leq \operatorname {grad} \,(P)+\operatorname {grad} \,(Q)$
3. Wenn ${}R$ ein Integritätsbereich ist, so gilt in (2) die Gleichheit.

Aufgabe

Zeige, dass es im Polynomring in ${}n$ Variablen genau ${}{\binom {d+n-1}{n-1}}$ Monome vom Grad ${}d$ gibt.

Aufgabe

Zeige, dass es im Polynomring in ${}n$ Variablen genau ${}{\binom {d+n}{n}}$ Monome vom Grad ${}\leq d$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über ${}R$. Beweise den Polynomialsatz, das ist die Gleichung

${}(X_{1}+\cdots +X_{n})^{k}=\sum _{m=(m_{1},\ldots ,m_{n}),\,\sum _{i=1}^{n}m_{i}=k}{\binom {k}{m}}X_{1}^{m_{1}}X_{2}^{m_{2}}\cdots X_{n}^{m_{n}}\,.$