Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Arbeitsblatt 4

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}a,b\in R$.  Zeige folgende Aussagen.

1. Das Element ${}a$ ist ein Teiler von ${}b$ (also ${}a{|}b$), genau dann, wenn  ${}(b)\subseteq (a)$. 
2. ${}a$ ist eine Einheit genau dann, wenn  ${}(a)=R=(1)$. 
3. Jede Einheit teilt jedes Element.
4. Teilt ${}a$ eine Einheit, so ist ${}a$ selbst eine Einheit.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring,  ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$  und

${}{\mathfrak {b}}=(a_{1})\cap (a_{2})\cap \ldots \cap (a_{k})\,$

der Durchschnitt der zugehörigen Hauptideale und  ${}r\in R$.  Zeige, dass ${}r$ ein gemeinsames Vielfaches von  ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$  genau dann ist, wenn  ${}(r)\subseteq {\mathfrak {b}}$  ist.