Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Arbeitsblatt 4

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}{\mathfrak {m}}\subseteq R$ ein maximales Ideal und ${}f\notin {\mathfrak {m}}$. Dann ist zu jedem ${}n\in \mathbb {N}$ die Restklasse von ${}f$ in ${}R/{\mathfrak {m}}^{n}$ eine Einheit.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring mit Idealen ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$. Es sei ${}S=R/{\mathfrak {b}}$ und ${}{\tilde {\mathfrak {a}}}={\mathfrak {a}}S$ das Bildideal. Zeige, dass ${}{\mathfrak {a}}^{n}S={\tilde {\mathfrak {a}}}^{n}$ ist.