Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 4

Ideale

Definition

Eine Teilmenge ${}{\mathfrak {a}}$ eines kommutativen Ringes ${}R$ heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1.  ${}0\in {\mathfrak {a}}$. 
2. Für alle  ${}a,b\in {\mathfrak {a}}$  ist auch  ${}a+b\in {\mathfrak {a}}$. 
3. Für alle  ${}a\in {\mathfrak {a}}$  und  ${}r\in R$  ist auch  ${}ra\in {\mathfrak {a}}$. 

Ein Ideal ist eine Untergruppe der additiven Gruppe von ${}R$, die zusätzlich die zweite oben angeführte Eigenschaft erfüllt. Die einfachsten Ideale sind das Nullideal ${}0$ und das Einheitsideal ${}R$.

Für den Ring der ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ sind Untergruppen und Ideale identische Begriffe. Dies folgt einerseits aus der Gestalt  ${}H=\mathbb {Z} d$  für jede Untergruppe von ${}\mathbb {Z}$ (die ihrerseits aus der Division mit Rest folgt), aber ebenso direkt aus der Tatsache, dass für ${}k\in H$ und beliebiges ${}r\in \mathbb {N}$ gilt  ${}rk=k+k+\cdots +k$  (${}r$ Summanden) und entsprechend für negatives ${}r$. Die Skalarmultiplikation mit einem beliebigen Ringelement lässt sich also bei ${}\mathbb {Z}$ auf die Addition zurückführen.

Definition

Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ der Form

${}{\mathfrak {a}}=(a)=Ra=\{ra:\,r\in R\}\,$

heißt Hauptideal.

Definition

Zu einer Familie von Elementen ${}a_{j}\in R$, ${}j\in J$, in einem kommutativen Ring ${}R$ bezeichnet ${}(a_{j}:j\in J)$ das von den ${}a_{j}$ erzeugte Ideal. Es besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen

$\sum _{j\in J_{0}}r_{j}a_{j},$

wobei  ${}J_{0}\subseteq J$  eine endliche Teilmenge und  ${}r_{j}\in R$  ist.

Es handelt sich dabei um das kleinste Ideal in ${}R$, das alle ${}a_{j}$, ${}j\in J$, enthält. Dass ein solches Ideal existiert ist auch deshalb klar, weil der Durchschnitt von einer beliebigen Familie von Idealen wieder ein Ideal ist. Ein Hauptideal ist demnach ein Ideal, das von einem Element erzeugt wird.

Definition

Das Einheitsideal in einem kommutativen Ring ${}R$ ist der Ring selbst.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring.

Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}R$ ist ein Körper.
2. Es gibt in ${}R$ genau zwei Ideale.

Beweis

Wenn ${}R$ ein Körper ist, so gibt es das Nullideal und das Einheitsideal, die voneinander verschieden sind. Es sei ${}I$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}R$. Dann enthält ${}I$ ein Element  ${}x\neq 0$,  das eine Einheit ist. Damit ist  ${}1=xx^{-1}\in I$  und damit  ${}I=R$. 

Es sei umgekehrt ${}R$ ein kommutativer Ring mit genau zwei Idealen. Dann kann ${}R$ nicht der Nullring sein. Es sei nun ${}x$ ein von ${}0$ verschiedenes Element in ${}R$. Das von ${}x$ erzeugte Hauptideal ${}Rx$ ist ${}\neq 0$ und muss daher mit dem anderen Ideal, also mit dem Einheitsideal übereinstimmen. Das heißt insbesondere, dass  ${}1\in Rx$  ist. Das bedeutet also  ${}1=xr$  für ein  ${}r\in R$,  sodass ${}x$ eine Einheit ist.

$\Box$

Lemma

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ringhomomorphismus. Dann ist der Kern

${}\operatorname {kern} \varphi ={\left\{f\in R\mid \varphi (f)=0\right\}}\,$

ein Ideal in ${}R$.

Beweis

Es sei

${}I:=\varphi ^{-1}(0)\,.$

Wegen  ${}\varphi (0)=0$.  ist  ${}0\in I$.  Es seien  ${}a,b\in I$.  Das bedeutet ${}\varphi (a)=0$ und ${}\varphi (b)=0$. Dann ist

${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)=0+0=0\,$

und daher  ${}a+b\in I$. 

Es sei nun ${}a\in I$ und ${}r\in R$ beliebig. Dann ist

${}\varphi (ra)=\varphi (r)\varphi (a)=\varphi (r)\cdot 0=0\,,$

also ist  ${}ra\in I$. 

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}S$ ein vom Nullring verschiedener Ring. Es sei

$\varphi \colon K\longrightarrow S$

ein Ringhomomorphismus.

Dann ist ${}\varphi$ injektiv.

Beweis

Es genügt nach Lemma 5.12 (Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)) zu zeigen, dass der Kern der Abbildung gleich ${}0$ ist. Nach Lemma 4.6 ist der Kern ein Ideal. Da die ${}1$ auf  ${}1\neq 0$  geht, ist der Kern nicht ganz ${}K$. Da es nach Lemma 4.5 in einem Körper überhaupt nur zwei Ideale gibt, muss der Kern das Nullideal sein.

$\Box$

Definition

Es sei ${}R[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ der Polynomring über dem kommutativen Ring ${}R$ und sei

${}X^{\nu _{j}}=X_{1}^{\nu _{j1}}\cdots X_{k}^{\nu _{jk}}\,$

eine Familie von Monomen,  ${}j\in J$.  Dann nennt man das von den Monomen ${}X^{\nu _{j}}$ erzeugte Ideal ein monomiales Ideal.

Definition

Es sei

$\varphi \colon A\longrightarrow B$

ein Ringhomomorphismus zwischen den kommutativen Ringen ${}A$ und ${}B$. Zu einem Ideal  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq A$  nennt man das von ${}\varphi {\left({\mathfrak {a}}\right)}$ erzeugte Ideal das Erweiterungsideal von ${}{\mathfrak {a}}$ unter ${}\varphi$. Es wird mit ${}{\mathfrak {a}}B$ bezeichnet.

Ideale und Teilbarkeit

Mit dem Idealbegriff lassen sich Teilbarkeitsbeziehungen ausdrücken.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}a,b\in R$.  Dann gelten folgende Aussagen.

1. Das Element ${}a$ ist ein Teiler von ${}b$ (also ${}a{|}b$), genau dann, wenn  ${}(b)\subseteq (a)$. 
2. ${}a$ ist eine Einheit genau dann, wenn  ${}(a)=R=(1)$. 
3. Jede Einheit teilt jedes Element.
4. Teilt ${}a$ eine Einheit, so ist ${}a$ selbst eine Einheit.

Beweis

Siehe Aufgabe 4.1.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring,  ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$  und  ${}{\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})$  das davon erzeugte Ideal.

Ein Element  ${}t\in R$  ist ein gemeinsamer Teiler von  ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$  genau dann, wenn  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq (t)$  ist,

und ${}t$ ist ein größter gemeinsamer Teiler genau dann, wenn für jedes  ${}s\in R$  mit  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq (s)$  folgt, dass  ${}(t)\subseteq (s)$  ist. Ein größter gemeinsamer Teiler erzeugt also ein minimales Hauptoberideal von ${}{\mathfrak {a}}$.

Beweis

Aus  ${}{\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})\subseteq (t)$  folgt sofort  ${}(a_{i})\subseteq (t)$  für  ${}i=1,\ldots ,k$,  was gerade bedeutet, dass ${}t$ diese Elemente teilt, also ein gemeinsamer Teiler ist. Es sei umgekehrt ${}t$ ein gemeinsamer Teiler. Dann ist  ${}a_{i}\in (t)$  und da  ${}{\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})$  das kleinste Ideal ist, das alle ${}a_{i}$ enthält, muss  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq (t)$  gelten. Der zweite Teil folgt sofort aus dem ersten.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring,  ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$  und  ${}{\mathfrak {b}}=(a_{1})\cap \ldots \cap (a_{k})$  der Durchschnitt der zugehörigen Hauptideale. Ein Element  ${}r\in R$  ist ein gemeinsames Vielfaches von  ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$  genau dann, wenn  ${}(r)\subseteq {\mathfrak {b}}$  ist, und ${}r$ ist ein kleinstes gemeinsames Vielfaches genau dann, wenn für jedes  ${}s\in R$  mit  ${}(s)\subseteq {\mathfrak {b}}$  folgt, dass  ${}(s)\subseteq (r)$  ist. Ein kleinstes gemeinsames Vielfaches erzeugt also ein maximales Hauptdeal innerhalb von ${}{\mathfrak {b}}$.

Beweis

Siehe Aufgabe 4.2.

$\Box$

Idealoperationen

Der Durchschnitt von Idealen ist wieder ein Ideal (der Durchschnitt von Hauptidealen ist im Allgemeinen kein Hauptideal). Daneben gibt es noch zwei weitere Operationen für Ideale, die zu neuen Idealen führen.

Definition

Zu Idealen  ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$  in einem kommutativen Ring ${}R$ nennt man das Ideal

${}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}={\left\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}},\,b\in {\mathfrak {b}}\right\}}\,$

die Summe der Ideale.

Die Summe ist wieder ein Ideal. Ein endlich erzeugtes Ideal ist die Summe von Hauptidealen, nämlich

${}(a_{1},\ldots ,a_{n})=(a_{1})+\cdots +(a_{n})\,.$

Definition

Zu zwei Idealen ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}{\mathfrak {b}}$ in einem kommutativen Ring wird das Produkt durch

${}{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}={\left\{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{k}b_{k}\mid a_{i}\in {\mathfrak {a}},\,b_{i}\in {\mathfrak {b}}\right\}}\,$

definiert.

Das Idealprodukt ist das Ideal, das von allen Produkten ${}ab$ mit  ${}a\in {\mathfrak {a}}$  und  ${}b\in {\mathfrak {b}}$ 

erzeugt wird. Die Menge aller Produkte ${}{\left\{ab\mid a\in {\mathfrak {a}},\,b\in {\mathfrak {b}}\right\}}$ ist im Allgemeinen kein Ideal. Für Hauptideale ist  ${}(a)\cdot (b)=(a\cdot b)$  (aber nicht  ${}(a)+(b)=(a+b)$ ).

Wenn das Produkt eines Ideals mit sich selbst genommen wird, verwendet man die Potenzschreibweise, d.h.${}{\mathfrak {a}}^{n}$ bedeutet das ${}n$-fache Produkt des Ideals mit sich selbst. In ${}K[X,Y]$ ist beispielsweise

${}(X,Y)^{2}=(X^{2},XY,Y^{2})\,.$

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