Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 4

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Definition  

Eine Teilmenge eines kommutativen Ringes heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  1. .
  2. Für alle ist auch .
  3. Für alle und ist auch .

Ein Ideal ist eine Untergruppe der additiven Gruppe von , die zusätzlich die zweite oben angeführte Eigenschaft erfüllt. Die einfachsten Ideale sind das Nullideal und das Einheitsideal .

Für den Ring der ganzen Zahlen sind Untergruppen und Ideale identische Begriffe. Dies folgt einerseits aus der Gestalt für jede Untergruppe von (die ihrerseits aus der Division mit Rest folgt), aber ebenso direkt aus der Tatsache, dass für und beliebiges gilt ( Summanden) und entsprechend für negatives . Die Skalarmultiplikation mit einem beliebigen Ringelement lässt sich also bei auf die Addition zurückführen.


Definition  

Ein Ideal in einem kommutativen Ring der Form

heißt Hauptideal.



Definition  

Zu einer Familie von Elementen , , in einem kommutativen Ring bezeichnet das von den erzeugte Ideal. Es besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen

wobei eine endliche Teilmenge und ist.

Es handelt sich dabei um das kleinste Ideal in , das alle , , enthält. Dass ein solches Ideal existiert ist auch deshalb klar, weil der Durchschnitt von einer beliebigen Familie von Idealen wieder ein Ideal ist. Ein Hauptideal ist demnach ein Ideal, das von einem Element erzeugt wird.


Definition  

Das Einheitsideal in einem kommutativen Ring ist der Ring selbst.



Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring.

Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist ein Körper.
  2. Es gibt in genau zwei Ideale.

Beweis  

Wenn ein Körper ist, so gibt es das Nullideal und das Einheitsideal, die voneinander verschieden sind. Sei ein von verschiedenes Ideal in . Dann enthält ein Element , das eine Einheit ist. Damit ist und damit .

Sei umgekehrt ein kommutativer Ring mit genau zwei Idealen. Dann kann nicht der Nullring sein. Sei nun ein von verschiedenes Element in . Das von erzeugte Hauptideal ist und muss daher mit dem anderen Ideal, also mit dem Einheitsideal übereinstimmen. Das heißt insbesondere, dass ist. Das bedeutet also für ein , so dass eine Einheit ist.




Lemma  

Seien und kommutative Ringe und sei

ein Ringhomomorphismus. Dann ist der Kern

ein Ideal in .

Beweis  

Sei

Wegen . ist . Seien . Das bedeutet und . Dann ist

und daher .

Sei nun und beliebig. Dann ist

also ist .




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