Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 12

Lokale Ringe

Definition

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt lokal, wenn ${}R$ genau ein maximales Ideal besitzt.

Dazu ist äquivalent, dass das Komplement der Einheitengruppe von ${}R$ abgeschlossen unter der Addition ist. Die einfachsten lokalen Ringe sind die Körper. Zu jedem lokalen Ring ${}R$ gehört der Restklassenkörper ${}R/{\mathfrak {m}}$, den man den Restekörper von ${}R$ nennt.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann nennt man die Nenneraufnahme an  ${}S=R\setminus {\mathfrak {p}}$  die Lokalisierung von ${}R$ an ${}{\mathfrak {p}}$. Man schreibt dafür ${}R_{\mathfrak {p}}$. Es ist also

${}R_{\mathfrak {p}}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\not \in {\mathfrak {p}}\right\}}\,.$

Der folgende Satz zeigt, dass diese Namensgebung Sinn macht.

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal in ${}R$.

Dann ist die Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal

${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in {\mathfrak {p}},\,g\notin {\mathfrak {p}}\right\}}\,.$

Beweis

Die angegebene Menge ist in der Tat ein Ideal in der Lokalisierung

${}R_{\mathfrak {p}}={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\not \in {\mathfrak {p}}\right\}}\,.$

Wir zeigen, dass das Komplement von ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ nur aus Einheiten besteht, sodass es sich um ein maximales Ideal handeln muss. Es sei also  ${}q={\frac {f}{g}}\in R_{\mathfrak {p}}$,  aber nicht in ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$. Dann sind  ${}f,g\notin {\mathfrak {p}}$  und somit gehört der inverse Bruch ${}{\frac {g}{f}}$ ebenfalls zur Lokalisierung.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$.

Dann ist

${}R=\bigcap _{{\mathfrak {p}}{\text{ Primideal }}}R_{\mathfrak {p}}=\bigcap _{{\mathfrak {m}}{\text{ maximales Ideal }}}R_{\mathfrak {m}}\,.$

Beweis

Die Inklusionen ${}\subseteq$ sind klar. Zu  ${}q\in Q(R)$  betrachten wir das Nennerideal

${}{\mathfrak {a}}={\left\{f\in R\mid fq\in R\right\}}\,.$

Wenn ${}q$ nicht zu ${}R$ gehört, so ist das Nennerideal nicht das Einheitsideal. Dann gibt es auch ein maximales Ideal  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}$.  Aus  ${}q\in R_{\mathfrak {m}}$  würde sich direkt ein Widerspruch ergeben.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal.

Dann ist der Quotientenkörper des Restklassenringes ${}R/{\mathfrak {p}}$ in natürlicher Weise isomorph zum Restekörper der Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$.

Es ist also

${}Q(R/{\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\,.$

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Lemma 11.15.

$\Box$

Definition

Ein Ringhomomorphismus

$(R,{\mathfrak {m}})\longrightarrow (S,{\mathfrak {n}})$

zwischen lokalen Ringen heißt lokal, wenn  ${}\varphi ({\mathfrak {m}})\subseteq {\mathfrak {n}}$  gilt.

Symbolische Potenzen

Definition

Zu einem Primideal  ${}{\mathfrak {p}}\subseteq R$  in einem kommutativen Ring nennt man

${}{\mathfrak {p}}^{(n)}={\mathfrak {p}}^{n}R_{\mathfrak {p}}\cap R\,$

die ${}n$-te symbolische Potenz von ${}{\mathfrak {p}}$.

Es gilt

${}{\mathfrak {p}}^{(n)}={\left\{f\in R\mid \exists g\notin {\mathfrak {p}}{\text{ mit }}gf\in {\mathfrak {p}}^{n}\right\}}\,$

und insbesondere

${}{\mathfrak {p}}^{n}\subseteq {\mathfrak {p}}^{(n)}\,.$

Beispiel

Wir betrachten im Ring  ${}R=K[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{2}\right)}$  das Primideal  ${}{\mathfrak {p}}=(X,Z)$.  Es ist

${}{\mathfrak {p}}^{2}={\left(X^{2},XZ,Z^{2}\right)}={\left(X^{2},XZ,XY\right)}=(X){\left(X,Z,Y\right)}\,.$

Dagegen gilt wegen

${}X={\frac {1}{Y}}\cdot Z^{2}\,$

in ${}R_{\mathfrak {p}}$ die Zugehörigkeit ${}X\in {\mathfrak {p}}^{(2)}$ und somit

${}{\mathfrak {p}}^{2}=(X){\left(X,Y,Z\right)}\subset (X)={\mathfrak {p}}^{(2)}\,.$

Definition

Zu einem Primideal  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$  in einem kommutativen Ring ${}R$ nennt man

${}{\mathfrak {a}}^{(n)}=\bigcap _{{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}{\text{ minimales Primoberideal}}}{\mathfrak {a}}^{n}R_{\mathfrak {p}}\cap R\,$

die ${}n$-te symbolische Potenz von ${}{\mathfrak {a}}$.

Beispiel

Wir betrachten das Ideal

${}{\mathfrak {a}}=(XY,XZ,YZ)=(X,Y)\cap (X,Z)\cap (Y,Z)\,$

im Polynomring ${}K[X,Y,Z]$. Daran kann man direkt die minimalen Primoberideale ablesen. Es ist

${}{\mathfrak {a}}^{(2)}=(X,Y)^{2}\cap (X,Z)^{2}\cap (Y,Z)^{2}\,$

und da gehört ${}XYZ$ dazu. Allerdings gehört ${}XYZ$ nicht zu ${}{\mathfrak {a}}^{2}$, es liegt also eine echte Inklusion  ${}{\mathfrak {a}}^{2}\subset {\mathfrak {a}}^{(2)}$  vor.

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