Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 11

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Maximale Ideale

Definition  

Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt maximales Ideal, wenn ist und wenn es zwischen und keine weiteren Ideale gibt.




Lemma  

Sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in .

Dann ist ein maximales Ideal genau dann, wenn der Restklassenring ein Körper ist.

Beweis  

Nach Aufgabe ***** entsprechen die Ideale im Restklassenring eindeutig den Idealen in zwischen und . Nun ist ein Körper genau dann, wenn es genau nur zwei Ideale gibt, und dies ist genau dann der Fall, wenn ist und es dazwischen kein weiteres Ideal gibt. Dies bedeutet, dass maximal ist.




Lemma  

In einem kommutativen Ring

gibt es maximale Ideale.

Beweis  

Wir betrachten die Menge

Diese Menge enthält das Nullideal und ist somit nicht leer. Wir wollen das Lemma von Zorn auf (mit der Inklusion als Ordnungsrelation) anwenden. Dazu sei eine total geordnete Teilmenge. Wir setzen

Man zeigt nun, dass ein Ideal ist, das nicht die enthält. Also gehört es zu und es bildet eine obere Schranke für . Das Lemma von Zorn liefert dann maximale Elemente in , und dies sind maximale Ideale.


Beispiel  

Wir betrachten die Menge

Diese Menge ist mit komponentenweiser Addition und Multiplikation ein kommutativer Ring (mit der konstanten Nullfolge bzw. Einsfolge als und ). Zu jedem festen ist die Menge

ein maximales Ideal. Die Idealeigenschaft kann man unmittelbar nachprüfen, die Maximalität ergibt sich daraus, dass ein größeres Ideal

ein Element mit enthält. Dann ist

mit und daher ist . Mit dieser Konstruktion bekommt man also direkt maximale Ideale. Die Restklassenkörper zu diesen maximalen Idealen sind (isomorph zu) , der Restklassenhomomorphismus ist einfach die Projektion auf die -te Komponente.

Wir betrachten nun das Ideal

das ist also die Menge aller Folgen, die bis auf endlich viele Glieder mit der Nullfolge übereinstimmen. Es gibt daher nach (einer Variante von) Fakt ***** maximale Ideale mit

Es ist

da die Folge, die an der -ten Stelle eine und sonst überall eine stehen hat, links dazu gehört, aber nicht rechts. Ein solches maximales Ideal kann man nicht explizit beschreiben. Selbst wenn man sich auf Folgen beschränkt, die lediglich die beiden Werte oder annehmen, so ist kein explizites Verfahren bekannt, zu bestimmen, ob die Folge zu gehören soll oder nicht. Für jede Folge mit unendlich vielen Nullen und mit unendlich vielen Einsen gibt es ein solches maximales Ideal , das diese Folge enthält, und auch eines, das sie nicht enthält.

Die Restklassenkörper zu einem solchen maximalen Ideal sind nicht isomorph zu . Die dabei auftretenden Körper sind vielmehr der Gegenstand der sogenannten Nichtstandardanalysis.




Primideale

Definition  

Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt Primideal, wenn ist und wenn für mit folgt: oder .



Lemma

Sei ein Integritätsbereich und , . Dann ist genau dann ein Primelement, wenn das von erzeugte Hauptideal ein Primideal ist.

Beweis

Siehe Aufgabe *****.




Lemma  

Sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in .

Dann ist ein Primideal genau dann, wenn der Restklassenring ein Integritätsbereich ist.

Beweis  

Sei zunächst ein Primideal. Dann ist insbesondere und somit ist der Restklassenring nicht der Nullring. Sei in wobei durch Elemente in repräsentiert seien. Dann ist und damit oder , was in gerade oder bedeutet.

Ist umgekehrt ein Integritätsbereich, so handelt es sich nicht um den Nullring und daher ist . Sei . Dann ist in und daher in , also ist .




Korollar  

Sei ein kommutativer Ring und ein maximales Ideal in .

Dann ist ein Primideal.

Beweis  

Dies folgt sofort aus den Charakterisierungen für Primideale und für maximale Ideale mit den Restklassenringen.




Lemma  

Sei ein kommutativer Ring und sei nicht nilpotent.

Dann gibt es ein Primideal in mit .

Beweis  

Wir betrachten die Menge der Ideale

Diese Menge ist nicht leer, da sie das Nullideal enthält. Ferner ist sie induktiv geordnet (bezüglich der Inklusion). Ist nämlich , , eine total geordnete Teilmenge von , so ist deren Vereinigung ebenfalls ein Ideal, das keine Potenz von enthält. Nach dem Lemma von Zorn gibt es daher maximale Elemente in .

Wir behaupten, dass ein solches maximales Element ein Primideal ist. Sei dazu und , und sei angenommen. Dann hat man echte Inklusionen

Wegen der Maximalität können die beiden Ideale rechts nicht zu gehören, und das bedeutet, dass es Exponenten gibt mit

Dann ergibt sich der Widerspruch



Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring, ein Ideal und eine endliche Familie von Primidealen. Es gelte .

Dann ist für ein .

Beweis  

Wir führen Induktion über . Bei ist die Aussage trivial. Sei die Aussage für Primideale bewiesen, und seien Primideale gegeben. Für jedes können wir annehmen, dass ist, da andernfalls die Aussage nach Induktionsvoraussetzung bewiesen ist. Demnach gibt es jeweils ein mit . Dann muss insbesondere sein. Das Element gehört zu und damit ist auch für ein . Dies ist aber sowohl bei als auch bei ein Widerspruch.



Definition  

Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt Radikal (oder Radikalideal), wenn folgendes gilt: Falls ist für ein , so ist bereits .


Definition  

Sei ein kommutativer Ring und ein Ideal. Dann nennt man die Menge

das Radikal zu . Es wird mit bezeichnet.

Das Radikal zu einem Ideal ist selbst ein Radikal und insbesondere ein Ideal.



Lemma  

Sei ein kommutativer Ring und ein Ideal.

Dann ist das Radikal zu ein Radikalideal.

Beweis  

Wir zeigen zunächst, dass ein Ideal vorliegt. gehört offenbar zum Radikal und mit , sagen wir , ist auch , also gehört zum Radikal. Zur Summeneigenschaft seien mit und . Dann ist

Sei nun . Dann ist , also .


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