Kurs:Lineare Algebra/Teil I/16/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 9 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 6 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 7 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 5 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Familie von Mengen} {.}
}{Die \stichwort {lineare Unabhängigkeit} {} einer
\zusatzklammer {nicht notwendigerweise endlichen} {} {}
Familie von Vektoren
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
in einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.
}{Eine \stichwort {Projektion} {} von einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ auf einen \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} $U \subseteq V$.
}{Der
\stichwort {Orthogonalraum} {}
zu einem
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq} {V
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.
}{Der \stichwort {Grad} {} eines Polynoms
\mathbed {P \in K[X]} {}
{P \neq 0} {}
{} {} {} {,}
über einem Körper $K$.
}{Ein \stichwort {Eigenvektor} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Unter einer Familie von Mengen versteht man die Situation, in der eine Indexmenge $I$ fixiert ist und in der zu jedem
\mathl{i \in I}{} eine Menge $M_i$ gegeben ist.
}{Eine Familie von Vektoren
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
heißt linear unabhängig, wenn eine Gleichung
\mathdisp {\sum_{i \in J} a_i v_i =0 \text{ mit } a_i \in K \text{ für eine endliche Teilmenge } J \subseteq I} { }
nur bei
\mathl{a_i=0}{} für alle $i$ möglich ist.
}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathl{U \subseteq V}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
heißt
Projektion
von $V$ auf $U$, wenn
\mathl{U= \operatorname{bild} \varphi}{} und
\mathl{\varphi {{|}}_U =
\operatorname{Id}_{ U }}{} ist.
}{Man nennt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U^{ { \perp } }
}
{ =} { { \left\{ f \in { V }^{ * } \mid f(u) = 0 \text{ für alle } u \in U \right\} }
}
{ \subseteq} { { V }^{ * }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den
Orthogonalraum
zu $U$.
}{Der Grad eines von
\mathl{0}{} verschiedenen Polynoms
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {a_0 + a_1X+a_2X^2 + \cdots + a_nX^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{a_n \neq 0}{} ist $n$.
}{Ein Element
\mathbed {v \in V} {}
{v \neq 0} {}
{} {} {} {,}
heißt ein Eigenvektor von $\varphi$,
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(v)
}
{ =} { \lambda v
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem gewissen
\mathl{\lambda \in K}{} gilt.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Die Dimensionsabschätzung für den Lösungsraum eines linearen Gleicungssystems.}{Der Satz über die Beziehung zwischen Homomorphismenraum und Matrizenraum.}{Der Satz über die Dimension der Haupträume.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei ein
\definitionsverweis {homogenes lineares Gleichungssystem}{}{}
aus $k$ Gleichungen in $n$ Variablen gegeben. Dann ist die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
des Lösungsraumes des Systems mindestens gleich
\mathl{n-k}{.}}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-räume}{}{.} Es sei
\mathl{\mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
und
\mathl{\mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_m}{} eine Basis von $W$. Dann ist die Zuordnung
\maabbeledisp {} {\operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } } { \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)
} {f} { M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (f)
} {,}
ein
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
von $K$-Vektorräumen.}{Sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und sei
\mathl{\lambda \in K}{.} Dann ist die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
des
\definitionsverweis {Hauptraumes}{}{}
\mathl{\operatorname{Haupt}_{ \lambda } (\varphi)}{} gleich der
\definitionsverweis {algebraischen Vielfachheit}{}{}
von $\lambda$.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2 (1+1)}
{
Person $A$ wird $80$ Jahre alt und Person $B$ wird $70$ Jahre alt. Vergleiche die Gesamtlebenswachzeit und die Gesamtlebensschlafzeit der beiden Personen bei folgendem Schlafverhalten. \aufzaehlungzwei {$A$ schläft jede Nacht $7$ Stunden und $B$ schläft jede Nacht $8$ Stunden. } {$A$ schläft jede Nacht $8$ Stunden und $B$ schläft jede Nacht $7$ Stunden. }
}
{
\aufzaehlungzwei {Person $A$ schläft in seinem Leben insgesamt
\mathdisp {80 \cdot 7 \cdot 365} { }
Stunden, Person $B$ schläft insgesamt
\mathdisp {70 \cdot 8 \cdot 365} { }
Stunden, sie schlafen also gleich lang. Die Wachzeit der beiden ist
\mathdisp {80 \cdot 17 \cdot 365} { }
bzw.
\mathdisp {70 \cdot 16 \cdot 365} { , }
wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 8 \cdot 17
}
{ >} { 7 \cdot 16
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
ist $A$ länger wach.
} {Person $A$ schläft in seinem Leben insgesamt
\mathdisp {80 \cdot 8 \cdot 365} { }
Stunden, Person $B$ schläft insgesamt
\mathdisp {70 \cdot 7 \cdot 365} { }
Stunden, Person $A$ schläft also insgesamt mehr. Die Wachzeit der beiden ist
\mathdisp {80 \cdot 16 \cdot 365} { }
bzw,
\mathdisp {70 \cdot 17 \cdot 365} { , }
wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 8 \cdot 16
}
{ =} {128
}
{ >} { 119
}
{ =} {7 \cdot 17
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist $A$ auch länger wach.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei \maabbdisp {f} {L} {M } {} eine Abbildung mit dem \definitionsverweis {Graphen}{}{} $\Gamma_f \subseteq L \times M$. Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {\psi= \operatorname{Id}_{ L } \times f} {L} {L\times M } {x} {(x, f(x)) } {,} eine Bijektion zwischen $L$ und dem Graphen $\Gamma_f$ induziert. Was ist die Verknüpfung von $\psi$ mit der zweiten Projektion \maabbeledisp {p_2} {L \times M} {M } {(x,y)} {y } {?}
}
{
Zur Injektivität: Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{x'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi (x)
}
{ =} { (x,f(x))
}
{ \neq} { (x',f(x'))
}
{ =} { \psi(x')
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da ja jedenfalls die erste Komponente verschieden ist. Zur Surjektivität: Wenn
\mathl{y \in \Gamma_f}{} ist, so hat $y$ die Gestalt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{ (x,f(x))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\psi(x)
}
{ = }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Hintereinanderschaltung
\mathl{p_2 \circ \psi}{} stimmt wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( p_2 \circ \psi \right) } (x)
}
{ =} { p_2( \psi(x))
}
{ =} { p_2 ( (x,f(x)) )
}
{ =} { f(x)
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit $f$ überein.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Beweise die \stichwort {Nichtnullteilereigenschaft} {} für einen Körper $K$.
}
{
Nehmen wir an, dass
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
beide von $0$ verschieden sind. Dann gibt es dazu
\definitionsverweis {inverse Elemente}{}{}
\mathkor {} {a^{-1}} {und} {b^{-1}} {}
und daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (ab) { \left( b^{-1} a^{-1} \right) }
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Andererseits ist aber nach Voraussetzung
\mathl{ab=0}{} und daher ist nach
Lemma 3.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) (1)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (ab) { \left( b^{-1}a^{-1} \right) }
}
{ =} { 0 { \left( b^{-1}a^{-1} \right) }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,} so dass sich der Widerspruch
\mathl{0=1}{} ergibt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Bestimme in Abhängigkeit vom Parameter
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den Lösungsraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L_a
}
{ \subseteq }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
des linearen Gleichungssystems
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5 x +a y + (1-a) z
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2a x +a^2 y + 3 z
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wird das Gleichungssystem zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5x +z
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3z
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {z
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und $y$ beliebig, somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L_0
}
{ =} { { \left\{ y \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 0 \end{pmatrix} \mid y \in K \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir rechnen
\mathl{II-aI}{} und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -3a x +( 3 -a (1-a) ) z
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ =} { { \frac{ 3-a+a^2 }{ 3a } } z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die erste Gleichung liefert
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{y
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ a } } { \left( - 5 x +(a-1) z \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ a } } { \left( - 5 { \frac{ 3-a+a^2 }{ 3a } } z +(a-1) z \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3a^2 } }{ \left( -5(3-a+a^2) +3a (a-1) \right) } z
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3a^2 } }{ \left( - 2a^2 + 2a -15 \right) } z
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ - 2a^2 + 2a -15 }{ 3a^2 } } z
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L_a
}
{ =} { { \left\{ z \begin{pmatrix} { \frac{ 3-a+a^2 }{ 3a } } \\ { \frac{ - 2a^2 + 2a -15 }{ 3a^2 } } \\ 1 \end{pmatrix} \mid z \in K \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Bestimme für die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \mid a_{11} \leq a_{22} \right\} }
}
{ \subseteq} { \operatorname{Mat}_{ 2 \times 2 } (\R)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
welche der Untervektorraumaxiome erfüllt sind und welche nicht.
}
{
Die Nullmatrix erfüllt wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die angegebene Bedingung und gehört somit zu $T$. Wenn zwei Matrizen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} { \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{B
}
{ =} { \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu $T$ gehören, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_{11}
}
{ \leq }{ a_{22}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_{11}
}
{ \leq }{ b_{22}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_{11} +b_{11}
}
{ \leq} { a_{22} +b_{22}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit gehört auch die Summe dieser Matrizen zu $T$. Dagen ist $T$ nicht unter Skalarmultiplikation abgeschlossen. Beispielsweise gehört
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu $T$, aber
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (-1) C
}
{ =} { - \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Wir betrachten das kleine Einmaleins \zusatzklammer {ohne die Zehnerreihe} {} {} als eine Familie von $9$-Tupeln der Länge $9$. Welche \definitionsverweis {Dimension}{}{} besitzt der durch diese Tupel \definitionsverweis {aufgespannte Untervektorraum}{}{} des $\R^9$?
}
{
Die Einerreihe ist das Tupel
\mathdisp {\left( 1 , \, 2 , \, 3 , \, 4 , \, 5 , \, 6 , \, 7 , \, 8 , \, 9 \right)} { . }
Jede weitere Reihe im kleinen Einmaleins ergibt sich durch Multiplikation dieser Reihe mit einer natürlichen Zahl
\mathl{n \in \{2,3,4,5,6,7,8,9\}}{,} sie gehören also schon zu dem von der Einerreihe erzeugten Untervektorraum. Daher ist die Dimension gleich $1$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{9 (1+1+6+1)}
{
Aus den Rohstoffen $R_1,R_2$ und $R_3$ werden verschiedene Produkte
\mathl{P_1,P_2,P_3,P_4}{} hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist,
um die verschiedenen Produkte herzustellen
\zusatzklammer {jeweils in geeigneten Einheiten} {} {.}
\tabellefuenfvier {\zeileundvier {} { $R_1$ } {$R_2$ } {$R_3$} }
{\zeileundvier { $P_1$ } {11} {5} {3} }
{\zeileundvier {$P_2$ } {8} {4} {6} }
{\zeileundvier {$P_3$ } {7} {30} {1} }
{\zeileundvier {$P_4$ } {12} {0} {15} }
a) Erstelle eine Matrix, die aus einem Vierertupel von Produkten die benötigten Rohstoffe berechnet.
b) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll.
\wertetabellevierausteilzeilen { }
{\mazeileundvier { P_1 } { P_2 } { P_3 } {P_4 } }
{ }
{\mazeileundvier {8} {5} {7} {4} }
Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt?
c) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird.
\wertetabelledreiausteilzeilen { }
{\mazeileunddrei { R_1 } {R_2 } {R_3 } }
{ }
{\mazeileunddrei {8} {15} {7} }
Zeige, dass man daraus kein Produkttupel ohne Abfall produzieren kann.
d) Wie viel vom Produkt $P_2$ kann man mit den unter c) gelieferten Rohstoffen produzieren, wie viel vom Produkt $P_3$?
}
{
a) Die Matrix ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} 11 & 8 & 7 & 12 \\ 5 & 4 & 30 & 0 \\ 3 & 6 & 1 & 15 \end{pmatrix}} { , }
da in der $i$-ten Spalte die für das $i$-te Produkt benötigte Rohstoffmenge stehen muss.
b) Die benötigte Rohstoffmenge ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 11 & 8 & 7 & 12 \\ 5 & 4 & 30 & 0 \\ 3 & 6 & 1 & 15 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\5\\ 7\\4 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 88 + 40 +49 +48 \\ 40 +20 + 210 \\ 24 + 30 +7 +60 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 225 \\ 270 \\ 121 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Es geht um das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 11 & 8 & 7 & 12 \\ 5 & 4 & 30 & 0 \\ 3 & 6 & 1 & 15 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 11x+8y+7z+12w \\ 5x+4y+30z\\ 3x + 6y +z +15w \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 8 \\ 15 \\ 7 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
das wir zunächst ohne Berücksichtigung der Tatsache, dass nur nichtnegative Tupel sinnvoll interpretiert werden können. Wir ziehen vom $4$-fachen der dritten Zeile das $5$-fache der ersten Zeile ab und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 11x+8y+7z+12w \\ 5 x+4y+30z\\ -43x - 16y -31 z \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 8 \\ 15 \\ -12 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Jetzt addieren wir zur dritten Zeile das $4$-fache der zweiten Zeile hinzu und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 11x+8y+7z+12w \\5 x+4y+30z\\ -23 x + 89 z \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 8 \\ 15 \\ 48 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erhalten wir die eindeutige Lösung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { - { \frac{ 48 }{ 23 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { { \frac{ 15 }{ 4 } } + { \frac{ 5 }{ 4 } } \cdot { \frac{ 48 }{ 23 } }
}
{ =} { { \frac{ 585 }{ 92 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ 3 } } - { \frac{ 2 }{ 3 } } \cdot { \frac{ 585 }{ 92 } } + { \frac{ 11 }{ 12 } } \cdot { \frac{ 48 }{ 23 } }
}
{ =} { { \frac{ 184 - 1170 +528 }{ 276 } }
}
{ =} { - { \frac{ 458 }{ 276 } }
}
{ =} { - { \frac{ 229 }{ 138 } }
}
}
{}{}{.}
Mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erhalten wir die eindeutige Lösung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} { { \frac{ 48 }{ 89 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { { \frac{ 15 }{ 4 } } - { \frac{ 30 }{ 4 } } \cdot { \frac{ 48 }{ 89 } }
}
{ =} { - { \frac{ 105 }{ 356 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ 3 } } + { \frac{ 2 }{ 3 } } \cdot { \frac{ 105 }{ 356 } } - { \frac{ 7 }{ 12 } } \cdot { \frac{ 48 }{ 89 } }
}
{ =} { { \frac{ 712 +210 - 336 }{ 1068 } }
}
{ =} { { \frac{ 586 }{ 1068 } }
}
{ =} { { \frac{ 291 }{ 534 } }
}
}
{}{}{.}
Alle Lösungen haben somit die Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 \\ - { \frac{ 105 }{ 356 } } \\ { \frac{ 48 }{ 89 } }\\ { \frac{ 291 }{ 534 } } \end{pmatrix} + s { \left( \begin{pmatrix} 0 \\ - { \frac{ 105 }{ 356 } } \\ { \frac{ 48 }{ 89 } }\\ { \frac{ 291 }{ 534 } } \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} - { \frac{ 48 }{ 23 } } \\ { \frac{ 585 }{ 92 } }\\ 0\\ - { \frac{ 229 }{ 138 } } \end{pmatrix} \right) }} { }
mit
\mathl{s \in \R}{.} Wegen der ersten Zeile muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein. Dann ergibt die zweite Zeile aber einen negativen Wert und daher gibt es keine Lösung.
d) Vom Produkt $P_2$ kann man maximal eine Einheit produzieren, vom Produkt $P_3$ maximal eine halbe Einheit.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.}
Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n} {und} {\mathfrak{ u } =u_1 , \ldots , u_n} {}
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $V$ und
\mathkor {} {\mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_m} {und} {\mathfrak{ z } = z_1 , \ldots , z_m} {}
Basen von $W$. Es seien
\mathkor {} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {und} {M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ z } }} {}
die
\definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{.}
Durch welche Übergangsmatrix wird der Basiswechsel von der Basis
\mathl{(v_1 ,0) , \ldots , (v_n,0),(0, w_1) , \ldots , (0, w_m)}{} zur Basis
\mathl{(u_1 ,0) , \ldots , (u_n,0),(0, z_1) , \ldots , (0, z_m)}{} vom
\definitionsverweis {Produktraum}{}{}
\mathl{V \times W}{} beschrieben?
}
{
Die Übergangsmatrix ist die
\definitionsverweis {Blockmatrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } } & 0 \\ 0 & M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ z } } \end{pmatrix}} { , }
da die Koordinaten von $(u_j , 0)$
\zusatzklammer {und entsprechend
\mathl{(0,z_k)}{}} {} {}
bezüglich
\mathl{(v_i,0)}{} und
\mathl{(0,w_\ell)}{} unmittelbar und nur von den Koordinaten von $u_j$ bezüglich $v_i$ abhängen.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
\maabbeledisp {} {\operatorname{Mat}_{ n } (K) = (K^n)^n } {K
} {M} { \det M
} {,}
für beliebiges
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und beliebige
\mathl{n-1}{} Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_{k-1} , v_{k+1} , \ldots , v_n
}
{ \in }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\ s u\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix}
}
{ =} { s \det \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\u\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{
Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach $n$, wobei der Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
klar ist. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\u\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei wir die Einträge mit
\mathl{a_{ij}}{} bezeichnen, und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M'
}
{ =} { \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\ s u\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei wir die Einträge mit
\mathl{a'_{ij}}{} bezeichnen. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \neq }{k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a'_{ij}
}
{ = }{ a_{ij}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und nach Induktionsvoraussetzung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M'_i
}
{ =} { s \det M_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a'_{kj}
}
{ = }{ s a_{kj}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M'_k
}
{ =} { M_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Insgesamt ist somit
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \det M'
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n (-1)^{i+1} {a'}_{i1} \det M'_i
}
{ =} { \sum_{i = 1,\, i \neq k}^n (-1)^{i+1} {a'}_{i1} \det M'_i +(-1)^{k+1} {a'}_{k1} \det M'_k
}
{ =} { \sum_{i = 1,\, i \neq k}^n (-1)^{i+1} {a}_{i1} s \det M_i + (-1)^{k+1} s {a}_{k1} \det M_k
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n (-1)^{i+1} s {a}_{i1} \det M_i
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { s \sum_{i = 1}^n (-1)^{i+1} {a}_{i1} \det M_i
}
{ =} { s \det M
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Zeige für
\mathl{n \in \N_+}{} die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \prod_{1 \leq i < j \leq n} (j-i)
}
{ =} { \prod_{ k=1}^{n-1} (k!)
}
{ =} { (n-1)! \cdot (n-2)! \cdots 3! \cdot 2! \cdot 1!
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
steht links und rechts das leere Produkt, dessen Wert gleich $1$ ist. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
steht links allein
\mathl{2-1}{} und rechts einfach $1!$. Wir führen Induktion nach $n \geq 2$, sei die Aussage also für $n$ schon bewiesen. Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \prod_{1 \leq i < j \leq n+1} (j-i)
}
{ =} { \prod_{1 \leq i < j \leq n} (j-i) \cdot \prod_{1 \leq i < j = n+1} (j-i)
}
{ =} { \prod_{ k=1}^{n-1} (k!) \cdot \prod_{1 \leq i \leq n} (n+1-i)
}
{ =} { \prod_{ k=1}^{n-1} (k!) \cdot n!
}
{ =} { \prod_{ k=1}^{n} (k!)
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper $K$.
}
{
Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
von $P$. Wenn der Grad von $T$ größer als der Grad von $P$ ist, so ist
\mathkor {} {Q=0} {und} {R=P} {}
eine Lösung, so dass wir dies nicht weiter betrachten müssen. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nach der Vorbemerkung auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (TP)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also ist $T$ ein konstantes Polynom, und damit ist
\zusatzklammer {da
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{T
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $K$ ein Körper ist} {} {}
\mathkor {} {Q=P/T} {und} {R=0} {}
eine Lösung. Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P)
}
{ = }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Aussage für kleineren Grad schon bewiesen. Wir schreiben
\mathkor {} {P= a_nX^n + \cdots + a_1X+a_0} {und} {T= b_kX^k + \cdots + b_1X+b_0} {}
mit
\mathl{a_n, b_k \neq 0,\, k \leq n}{.} Dann gilt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ = }{ { \frac{ a_n }{ b_k } } X^{n-k}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ P'
}
{ \defeq} { P-TH
}
{ =} { 0X^n + { \left( a_{n-1} - \frac{a_n}{b_k} b_{k-1} \right) } X^{n-1} + \cdots + { \left( a_{n-k} - \frac{a_n}{b_k} b_{0} \right) } X^{n-k} + a_{n-k-1}X^{n-k-1} + \cdots + a_0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Dieses Polynom $P'$ hat einen Grad kleiner als $n$ und darauf können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden, d.h. es gibt
\mathkor {} {Q'} {und} {R'} {}
mit
\mathdisp {P' = T Q' + R' \text{ mit } \operatorname{grad} \, (R') < \operatorname{grad} \, (T)
\text{ oder } R' = 0} { . }
Daraus ergibt sich insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { P'+TH
}
{ =} { TQ'+TH+R'
}
{ =} { T(Q'+H)+R'
}
{ } {}
}
{}{}{,}
so dass also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ = }{ Q'+H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ R'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Lösung ist.
\teilbeweis {}{}{}
{Zur Eindeutigkeit sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ TQ+R
}
{ = }{ TQ'+R'
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit den angegebenen Bedingungen. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T(Q-Q')
}
{ = }{ R'-R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da die Differenz
\mathl{R'-R}{} einen Grad kleiner als
\mathl{\operatorname{grad} \, (T)}{} besitzt, ist aufgrund der Gradeigenschaften diese Gleichung nur bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ R'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ = }{ Q'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
lösbar.}
{}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5 (2+3)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
mit $q$ Elementen.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass die Polynomfunktionen
\maabbeledisp {\varphi_d} {K} {K
} {x} { x^d
} {,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{ d
}
{ < }{q
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
sind.
} {Zeige, dass die Exponentialfunktionen
\maabbeledisp {\psi_b} {K} {K
} {x} { b^x
} {,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{ b
}
{ < }{q
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
linear unabhängig sind.
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Nach
dem Interpolationssatz
kann man jede Abbildung
\maabbdisp {f} {K} {K
} {}
eindeutig als ein Polynom vom Grad
\mathl{< q}{} schreiben. Wegen der Eindeutigkeit sind die Potenzfunktionen
\mathl{x \mapsto x^d}{} linear unabhängig.
} {Wir betrachten die
\mathl{q \times q}{-}Matrix
\mathdisp {(b^d)_{0 \leq b,d \leq q-1}} { . }
In der $d$-ten Spalte stehen alle Werte
\zusatzklammer {eine vollständige Wertetabelle} {} {}
von $x^d$
\zusatzklammer {an den Stellen $b$} {} {.}
Diese Tupel sind nach Teil (1) linear unabhängig. In der $b$-ten Zeile stehen alle Werte der Exponentialfunktion zur Basis $b$
\zusatzklammer {an den Stellen $d$} {} {.}
Nach
Korollar 12.16 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
sind mit den Spalten auch die Zeilen linear unabhängig. Somit sind die Exponentialfunktionen linear unabhängig.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Beweise den Satz über die Beschreibung eines Eigenraums als Kern.
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{ \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v)
}
{ = }{ \lambda v
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, und dies ist genau bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda v - \varphi(v)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Fall, was man als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( \lambda \cdot
\operatorname{Id}_{ V } - \varphi \right) } (v)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben kann.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Bestimme, ob die beiden Matrizen
\mathdisp {M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \text{ und } N= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} { }
zueinander
\definitionsverweis {ähnlich}{}{}
sind.
}
{
Die Matrix $M$ bildet
\mathdisp {e_3 \mapsto e_2,\, e_2 \mapsto e_1,\, e_1 \mapsto 0, \, e_4 \mapsto 0} { }
ab. Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u_1
}
{ \defeq }{ e_4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u_2
}
{ \defeq }{ e_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u_3
}
{ \defeq }{ e_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u_4
}
{ \defeq }{ e_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bezüglich dieser Basis wird die durch $M$ gegebene lineare Abbildung durch die Matrix $N$ beschrieben, die Matrizen sind also zueinander ähnlich.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,}
den wir auch als
\definitionsverweis {affinen Raum}{}{}
über sich selbst auffassen. Es seien
\mathl{v_1 , \ldots , v_n \in V}{.} Zeige, dass die Familie dieser Vektoren genau dann ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
des Vektorraumes $V$ ist, wenn die Familie
\mathl{0, v_1 , \ldots , v_n \in V}{} ein
\definitionsverweis {affines Erzeugendensystem}{}{}
von $V$ ist.
}
{
Es sei zunächst
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
für den Vektorraum $V$. Dann lässt sich jeder Vektor
\mathl{v \in V}{} als eine
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n a_i v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
darstellen. Mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_0
}
{ =} { 1 - \sum_{i = 1}^n a_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
kann man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} { a_0 0 + \sum_{i = 1}^n a_i v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben, und dies ist eine
\definitionsverweis {baryzentrische Darstellung}{}{}
von $v$ mit den Punkten
\mathl{0 , v_1 , \ldots , v_n}{.}
Wenn umgekehrt ein affines Erzeugendensystem vorliegt, so lässt sich jeder Vektor als baryzentrische Kombination
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} { a_0 0 + \sum_{i = 1}^n a_i v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 0}^n a_i
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben. Interpretiert man diese Gleichung mit dem Aufpunkt $0$, so erhält man direkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n a_i \overrightarrow{ 0 v_i }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n a_i v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}