Kurs:Lineare Algebra/Teil I/16/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 2 3 3 4 2 2 9 2 6 4 7 5 3 2 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Familie von Mengen.
  2. Die lineare Unabhängigkeit einer (nicht notwendigerweise endlichen) Familie von Vektoren , , in einem -Vektorraum .
  3. Eine Projektion von einem -Vektorraum auf einen Untervektorraum .
  4. Der Orthogonalraum zu einem Untervektorraum

    in einem -Vektorraum .

  5. Der Grad eines Polynoms , , über einem Körper .
  6. Ein Eigenvektor zu einer linearen Abbildung

    auf einem -Vektorraum .


Lösung

  1. Unter einer Familie von Mengen versteht man die Situation, in der eine Indexmenge fixiert ist und in der zu jedem eine Menge gegeben ist.
  2. Eine Familie von Vektoren , , heißt linear unabhängig, wenn eine Gleichung

    nur bei für alle möglich ist.

  3. Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und ein Untervektorraum. Eine lineare Abbildung

    heißt Projektion von auf , wenn und ist.

  4. Man nennt

    den Orthogonalraum zu .

  5. Der Grad eines von verschiedenen Polynoms

    mit ist .

  6. Ein Element , , heißt ein Eigenvektor von , wenn

    mit einem gewissen gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Dimensionsabschätzung für den Lösungsraum eines linearen Gleicungssystems.
  2. Der Satz über die Beziehung zwischen Homomorphismenraum und Matrizenraum.
  3. Der Satz über die Dimension der Haupträume.


Lösung

  1. Es sei ein homogenes lineares Gleichungssystem aus Gleichungen in Variablen gegeben. Dann ist die Dimension des Lösungsraumes des Systems mindestens gleich .
  2. Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale -Vektorräume. Es sei eine Basis und eine Basis von . Dann ist die Zuordnung

    ein Isomorphismus

    von -Vektorräumen.
  3. Sei

    ein Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen -Vektorraum und sei . Dann ist die Dimension des Hauptraumes gleich der algebraischen Vielfachheit

    von .


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Person wird Jahre alt und Person wird Jahre alt. Vergleiche die Gesamtlebenswachzeit und die Gesamtlebensschlafzeit der beiden Personen bei folgendem Schlafverhalten.

  1. schläft jede Nacht Stunden und schläft jede Nacht Stunden.
  2. schläft jede Nacht Stunden und schläft jede Nacht Stunden.


Lösung

  1. Person schläft in seinem Leben insgesamt

    Stunden, Person schläft insgesamt

    Stunden, sie schlafen also gleich lang. Die Wachzeit der beiden ist

    bzw.

    wegen

    ist länger wach.

  2. Person schläft in seinem Leben insgesamt

    Stunden, Person schläft insgesamt

    Stunden, Person schläft also insgesamt mehr. Die Wachzeit der beiden ist

    bzw,

    wegen

    ist auch länger wach.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung mit dem Graphen . Zeige, dass die Abbildung

eine Bijektion zwischen und dem Graphen induziert. Was ist die Verknüpfung von mit der zweiten Projektion


Lösung

Zur Injektivität: Wenn , so ist

da ja jedenfalls die erste Komponente verschieden ist. Zur Surjektivität: Wenn ist, so hat die Gestalt . Also ist . Die Hintereinanderschaltung stimmt wegen

mit überein.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Nichtnullteilereigenschaft für einen Körper .


Lösung

 Nehmen wir an, dass und beide von verschieden sind. Dann gibt es dazu inverse Elemente und und daher ist . Andererseits ist aber nach Voraussetzung und daher ist nach Lemma 3.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))  (1)

 so dass sich der Widerspruch ergibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme in Abhängigkeit vom Parameter den Lösungsraum der linearen Gleichungssystems


Lösung

Bei wird das Gleichungssystem zu

Also ist

und beliebig, somit ist

Sei also . Wir rechnen und erhalten

bzw.

Die erste Gleichung liefert

Somit ist


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme für die Teilmenge

welche der Untervektorraumaxiome erfüllt sind und welche nicht.


Lösung

Die Nullmatrix erfüllt wegen

die angegebene Bedingung und gehört somit zu . Wenn zwei Matrizen

und

zu gehören, so ist und . Damit ist auch

und somit gehört auch die Summe dieser Matrizen zu . Dagen ist nicht unter Skalarmultiplikation abgeschlossen. Beispielsweise gehört zu , aber

nicht.


Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten das kleine Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) als eine Familie von -Tupeln der Länge . Welche Dimension besitzt der durch diese Tupel aufgespannte Untervektorraum des ?


Lösung

Die Einerreihe ist das Tupel

Jede weitere Reihe im kleinen Einmaleins ergibt sich durch Multiplikation dieser Reihe mit einer natürlichen Zahl , sie gehören also schon zu dem von der Einerreihe erzeugten Untervektorraum. Daher ist die Dimension gleich .


Aufgabe (9 (1+1+6+1) Punkte)

Aus den Rohstoffen und werden verschiedene Produkte hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist, um die verschiedenen Produkte herzustellen (jeweils in geeigneten Einheiten).

11 5 3
8 4 6
7 30 1
12 0 15

a) Erstelle eine Matrix, die aus einem Vierertupel von Produkten die benötigten Rohstoffe berechnet.

b) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll.

Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt?

c) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird.

Zeige, dass man daraus kein Produkttupel ohne Abfall produzieren kann.

d) Wie viel vom Produkt kann man mit den unter c) gelieferten Rohstoffen produzieren, wie viel vom Produkt ?


Lösung

a) Die Matrix ist

da in der -ten Spalte die für das -te Produkt benötigte Rohstoffmenge stehen muss.

b) Die benötigte Rohstoffmenge ist

c) Es geht um das lineare Gleichungssystem

das wir zunächst ohne Berücksichtigung der Tatsache, dass nur nichtnegative Tupel sinnvoll interpretiert werden können. Wir ziehen vom -fachen der dritten Zeile das -fache der ersten Zeile ab und erhalten

Jetzt addieren wir zur dritten Zeile das -fache der zweiten Zeile hinzu und erhalten

Mit

erhalten wir die eindeutige Lösung

und

Mit

erhalten wir die eindeutige Lösung

und

Alle Lösungen haben somit die Form

mit . Wegen der ersten Zeile muss sein. Dann ergibt die zweite Zeile aber einen negativen Wert und daher gibt es keine Lösung.

d) Vom Produkt kann man maximal eine Einheit produzieren, vom Produkt maximal eine halbe Einheit.


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien und endlichdimensionale -Vektorräume. Es seien und Basen von und und Basen von . Es seien und die Übergangsmatrizen. Durch welche Übergangsmatrix wird der Basiswechsel von der Basis zur Basis vom Produktraum beschrieben?


Lösung

Die Übergangsmatrix ist die Blockmatrix

da die Koordinaten von (und entsprechend ) bezüglich und unmittelbar und nur von den Koordinaten von bezüglich abhängen.


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Determinante

für beliebiges und beliebige Vektoren , für und für die Gleichheit

gilt.


Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach , wobei der Fall klar ist. Es sei

wobei wir die Einträge mit bezeichnen, und

wobei wir die Einträge mit bezeichnen. Für ist und nach Induktionsvoraussetzung ist

Für ist und

Insgesamt ist somit


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige für die Gleichung


Lösung

Bei steht links und rechts das leere Produkt, dessen Wert gleich ist. Bei steht links allein und rechts einfach . Wir führen Induktion nach , sei die Aussage also für schon bewiesen. Dann ist


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise die Division mit Rest im Polynomring über einem Körper .


Lösung

Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über den Grad von . Wenn der Grad von größer als der Grad von ist, so ist und eine Lösung, so dass wir dies nicht weiter betrachten müssen. Bei ist nach der Vorbemerkung auch , also ist ein konstantes Polynom, und damit ist (da und ein Körper ist) und eine Lösung. Sei nun und die Aussage für kleineren Grad schon bewiesen. Wir schreiben und mit . Dann gilt mit die Beziehung

Dieses Polynom hat einen Grad kleiner als und darauf können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden, d.h. es gibt und mit

Daraus ergibt sich insgesamt

so dass also und eine Lösung ist. Zur Eindeutigkeit sei mit den angegebenen Bedingungen. Dann ist . Da die Differenz einen Grad kleiner als besitzt, ist aufgrund der Gradeigenschaften diese Gleichung nur bei und lösbar.


Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

Es sei ein endlicher Körper mit Elementen.

  1. Zeige, dass die Polynomfunktionen

    mit linear unabhängig sind.

  2. Zeige, dass die Exponentialfunktionen

    mit linear unabhängig sind.


Lösung

  1. Nach dem Interpolationssatz kann man jede Abbildung

    eindeutig als ein Polynom vom Grad schreiben. Wegen der Eindeutigkeit sind die Potenzfunktionen linear unabhängig.

  2. Wir betrachten die -Matrix

    In der -ten Spalte stehen alle Werte (eine vollständige Wertetabelle) von (an den Stellen ). Diese Tupel sind nach Teil (1) linear unabhängig. In der -ten Zeile stehen alle Werte der Exponentialfunktion zur Basis (an den Stellen ). Nach Fakt ***** sind mit den Spalten auch die Zeilen linear unabhängig. Somit sind die Exponentialfunktionen linear unabhängig.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Beschreibung eines Eigenraums als Kern.


Lösung

Sei . Dann ist genau dann, wenn ist, und dies ist genau bei der Fall, was man als schreiben kann.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Matrizen

zueinander ähnlich sind.


Lösung

Die Matrix bildet

ab. Wir setzen , , , . Bezüglich dieser Basis wird die durch gegebene lineare Abbildung durch die Matrix beschrieben, die Matrizen sind also zueinander ähnlich.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein -Vektorraum, den wir auch als affinen Raum über sich selbst auffassen. Es seien . Zeige, dass die Familie dieser Vektoren genau dann ein Erzeugendensystem des Vektorraumes ist, wenn die Familie ein affines Erzeugendensystem von ist.


Lösung

Es sei zunächst ein Erzeugendensystem für den Vektorraum . Dann lässt sich jeder Vektor als eine Linearkombination

darstellen. Mit

kann man

schreiben, und dies ist eine baryzentrische Darstellung von mit den Punkten .

Wenn umgekehrt ein affines Erzeugendensystem vorliegt, so lässt sich jeder Vektor als baryzentrische Kombination

mit schreiben. Interpretiert man diese Gleichung mit dem Aufpunkt , so erhält man direkt