Kurs:Lineare Algebra/Teil I/18/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 10 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 5 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 8 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Assoziativität} {} einer \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} \maabbeledisp {\circ} {M \times M} {M } {(x,y)} {x \circ y } {.}
}{Der \stichwort {Kern} {} einer linearen Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen zwei $K$-Vektorräumen \mathkor {} {V} {und} {W} {.}
}{Der
\stichwort {Homomorphismenraum} {}
\mathl{\operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) }}{} zu
$K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathkor {} {V} {und} {W} {.}
}{Das von den Elementen
\mathl{a_1, a_2 , \ldots , a_n \in R}{} in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ \stichwort {erzeugte Ideal} {.}
}{Eine \stichwort {alternierende Abbildung} {} \maabbdisp {\Phi} {V^n = \underbrace{V \times \cdots \times V}_{n\text{-mal} } } {W } {,} wobei \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$ sind.
}{Die \stichwort {algebraische Vielfachheit} {} von einem \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $\lambda$ zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Eine
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\maabbeledisp {\circ} {M \times M} {M
} {(x,y)} {x \circ y
} {,}
heißt assoziativ, wenn für alle
\mathl{x,y,z \in M}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x \circ y ) \circ z
}
{ =} { x \circ (y \circ z)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man nennt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ \defeq} {{ \left\{ v \in V \mid \varphi(v) = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den Kern von $\varphi$.
}{Unter dem Homomorphismenraum versteht man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) }
}
{ =} {{ \left\{ f:V \rightarrow W \mid f \text{ lineare Abbildung} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
versehen mit der Addition, die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f+g)(v)
}
{ \defeq} {f(v) +g(v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert wird, und der Skalarmultiplikation, die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\lambda f)(v)
}
{ \defeq} {\lambda \cdot f(v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert wird.
}{Zu einer Familie von Elementen
\mathl{a_1, a_2 , \ldots , a_n \in R}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ bezeichnet
\mathl{(a_1, a_2 , \ldots , a_n)}{} das von diesen Elementen erzeugte Ideal. Es besteht aus allen Linearkombinationen
\mathdisp {r_1 a_1 + r_2a_2 + \cdots + r_na_n} { , }
wobei
\mathl{r_1, r_2 , \ldots , r_n \in R}{} sind.
}{Die Abbildung
\maabbdisp {\Phi} {V^n = \underbrace{V \times \cdots \times V}_{n\text{-mal} } } {W
} {}
heißt alternierend, wenn $\Phi$ multilinear ist und wenn folgendes gilt: falls in
\mathl{v= (v_1 , \ldots , v_{ n })}{} zwei Einträge übereinstimmen, also
\mathl{v_i=v_j}{} für ein Paar
\mathl{i \neq j}{,} so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Phi (v)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Den Exponenten des linearen Polynoms
\mathl{X - \lambda}{} im
\definitionsverweis {charakteristischen Polynom}{}{}
$\chi_{ \varphi }$ nennt man die
algebraische Vielfachheit
von $\lambda$.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über das direkte Komplement in einem endlichdimensionalen $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.}{Der Satz über die Dualbasis.}{Der Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebra\-ischer Vielfachheit zu einer linearen Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Zu einem Untervektorraum
\mathl{U \subseteq V}{} gibt es einen Untervektorraum
\mathl{W \subseteq V}{} derart, dass eine direkte Summenzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {U \oplus W
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vorliegt.}{Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum mit einer Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{.} Dann bildet die Dualbasis
\mathdisp {v_1^* , \ldots , v_n^* \in { V }^{ * }} { }
eine Basis des Dualraums.}{Es sei
\mathl{\lambda \in K}{.} Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) } \right) }
}
{ \leq} { \mu_\lambda(\varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Heinz Ngolo und Mustafa Müller wollen wissen, wie viele Kaulquappen sich im Teich im Wald befinden. Der Teich ist einen Meter tief und ist quadratisch mit einer Seitenlänge von zehn Metern, die Kaulquappen sind darin gleichmäßig verteilt. Heinz hat eine Teekanne dabei, in die ein halber Liter Wasser hineinpasst. Sie trinken den Tee leer und füllen die Kanne mit Teichwasser. Sie zählen, dass in der Kanne genau
\mathl{23}{} Kaulquappen sind und schütten alles zurück. Wie viele Kaulquappen befinden sich im Teich?
}
{
Der Teich enthält
\mathl{100}{} Kubikmeter Wasser. In einen Kubikmeter passen
\mathl{1000}{} Liter und somit der Inhalt von
\mathl{2000}{} Teekannen. In den Teich passen also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{100 \cdot 1000 \cdot 2
}
{ =} {200 000
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Teekannen. Somit befinden sich im Teich ca.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{200 000 \cdot 23
}
{ =} { 4 600 000
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Kaulquappen.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3 (1+1+1)}
{
Die Funktionen
\maabbdisp {f,g,h} {\R} {\R
} {}
seien durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^3+x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(y)
}
{ =} {y^2-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(z)
}
{ =} { 3z+4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben.
\aufzaehlungdrei{Berechne
\mathl{g \circ f}{.}
}{Berechne
\mathl{h \circ g}{.}
}{Berechne
\mathl{h \circ g \circ f}{} auf zwei unterschiedliche Arten.
}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( g \circ f \right) } (x)
}
{ =} { g(f(x))
}
{ =} { (f(x))^2 -1
}
{ =} { { \left( x^3+x \right) }^2 -1
}
{ =} { x^6 +2x^4 +x^2 -1
}
}
{}
{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( h \circ g \right) } (y)
}
{ =} { h(g(y))
}
{ =} { 3(g(y)) +4
}
{ =} { 3{ \left( y^2-1 \right) } +4
}
{ =} { 3y^2 -3+4
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 3y^2+1
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}{Es ist einerseits
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (h \circ g \circ f)(x)
}
{ =} { h( (g \circ f)(x) )
}
{ =} { h( x^6 +2x^4 +x^2 -1 )
}
{ =} { 3 ( x^6 +2x^4 +x^2 -1 ) +4
}
{ =} { 3 x^6 +6x^4 +3x^2 -3 +4
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 3 x^6 +6x^4 +3x^2 +1
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}
und andererseits
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{(h \circ g \circ f)(x)
}
{ =} { (h \circ g)( f(x))
}
{ =} { 3 ( f(x))^2+1
}
{ =} { 3 (x^3+x)^2+1
}
{ =} {3(x^6 +2x^4 +x^2) +1
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {3x^6 +6x^4 +3x^2 +1
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Man gebe ein Beispiel für einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$, eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
\mathl{(V , +, 0)}{} und eine Abbildung
\maabbeledisp {} {K \times V} {V
} { (s,v)} { s v
} {,}
derart, dass diese Struktur alle
\definitionsverweis {Vektorraumaxiome}{}{}
außer
\mathdisp {(8) \,\, \, ( r+s) u = ru +su} { }
erfüllt.
}
{
Es sei $K=V=\R$ der Körper der reellen Zahlen. Wir betrachten die \anfuehrung{Skalarmultiplikation}{}
\maabbeledisp {} {K \times K} { K
} {(r,u)} { r \bullet u
} {,}
die jedes Paar
\mathl{(r,u)}{} auf $u$ abbildet, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r \bullet u
}
{ =} { u
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\zusatzklammer {für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (1+1) \bullet u
}
{ =} { 2 \bullet u
}
{ =} { u
}
{ \neq} { 2 u
}
{ =} { 1 \bullet u + 1 \bullet u
}
}
{}{}{}
und somit ist diese Skalarmultiplikation nicht distributiv in den Skalaren. Alle anderen Vektorraumaxiome sind hingegen erfüllt. Es ist ja
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ r \bullet (s \bullet u)
}
{ =} { r \bullet u
}
{ =} { u
}
{ =} { (r \cdot s) u
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ r \bullet (u+v)
}
{ =} { u+v
}
{ =} { r \bullet u + r \bullet v
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Ferner ist natürlich auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1 \bullet u
}
{ =} {u
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}
{
Es sei
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
ein Erzeugendensystem von $V$ mit einer
\definitionsverweis {endlichen}{}{}
Indexmenge $I$. Wir wollen mit der Charakterisierung aus
Satz 7.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) (2)
argumentieren.
\fallunterscheidungzwei {Falls die Familie schon minimal ist, so liegt eine Basis vor.}
{Andernfalls gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die um $v_k$ reduzierte Familie, also
\mathbed {v_i} {}
{i \in I \setminus \{k\}} {}
{} {} {} {,}
ebenfalls ein Erzeugendensystem ist. In diesem Fall kann man mit der kleineren Indexmenge weiterargumentieren.}
Mit diesem Verfahren gelangt man letztlich zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mathbed {v_i} {}
{i \in J} {}
{} {} {} {,}
ein minimales Erzeugendensystem, also eine Basis ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5 (1+1+1+1+1)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ = }{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
eines
$K$-\definitionsverweis {Vektorraumes}{}{}
$V$. Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1 , \ldots , a_n
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $0$ verschiedene Elemente.
a) Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ w }
}
{ = }{ a_1 v_1, a_2 v_2, a_3v_3 , \ldots , a_nw_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ebenfalls eine Basis von $V$ ist.
b) Bestimme die
\definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{}
\mathl{M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ v } }}{.}
c) Bestimme die Übergangsmatrix
\mathl{M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }}{.}
d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis $\mathfrak{ v }$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis $\mathfrak{ w }$ die Koordinaten
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\2\\ 3\\\vdots\\ n \end{pmatrix}}{} besitzt.
e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis $\mathfrak{ w }$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis $\mathfrak{ v }$ die Koordinaten
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\2\\ 2^2\\\vdots\\ 2^n \end{pmatrix}}{} besitzt.
}
{
a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_i
}
{ =} {a_i^{-1} w_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{i=1 , \ldots , n}{.} Daher ist $w_1 , \ldots , w_n$ ebenfalls ein Erzeugendensystem von $V$ und somit eine Basis, da die Dimension $n$ ist und $n$ Vektoren vorliegen.
b) In den Spalten von
\mathl{M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ v } }}{} müssen die Koordinaten der Vektoren $w_j$ bezüglich der Basis $v_i$ stehen, also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ v } }
}
{ =} { \begin{pmatrix} a_1 & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\0 & 0 & a_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }
}
{ =} { \begin{pmatrix} a_1^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\0 & 0 & a_n^{-1} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
d) Die Koordinaten ergeben sich aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ v } } \begin{pmatrix} 1 \\2\\ \vdots\\n \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} a_1 & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\0 & 0 & a_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\2\\ \vdots\\n \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} a_1 \\2 a_2\\ \vdots\\n a_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
e) Die Koordinaten ergeben sich aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } \begin{pmatrix} 1 \\2\\ \vdots\\2^n \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} a_1^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\0 & 0 & a_n^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\2\\ \vdots\\2^n \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} a^{-1} \\2 a^{-1}\\ \vdots\\2^n a_n^{-1} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{weiter}
{
Es sei $n \in \N_+$ und es sei $M$ der reelle \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} aller $n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{.}
a) Zeige, dass die Menge $S$ der \definitionsverweis {symmetrischen}{}{} $n \times n$-Matrizen ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} von $M$ ist.
b) Bestimme die Dimension von $S$.
c) Zeige, dass die Menge $A$ der \definitionsverweis {antisymmetrischen}{}{} $n \times n$-Matrizen ein Untervektorraum von $M$ ist.
d) Bestimme die Dimension von $A$.
e) Schreibe die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}} { }
als Summe einer symmetrischen und einer antisymmetrischen Matrix.
f) Zeige, dass $M$ die \definitionsverweis {direkte Summe}{}{} aus \mathkor {} {S} {und} {A} {} ist.
}
{
a) Die Nullmatrix ist symmetrisch und antisymmetrisch. Für zwei symmetrische Matrizen $T_1 = (a_{ij})_{ij}$ und
\mathl{T_2=(b_{ij})_{ij}}{} und Skalare $r,s \in \R$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r T_1+ sT_2
}
{ =} { (ra_{ij} +sb_{ij})_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
offenbar wieder symmetrisch, daher liegt eine Untervektorraum vor.
b) Alle Diagonalmatrizen sind symmetrisch und die Diagonalmatrizen $D_i$, für die der $i$-te Diagonaleintrag eine $1$ ist und für die alle anderen Einträge $0$ sind, bilden eine Basis davon. Ferner sind für
\mathl{i>j}{} die Matrizen
\mathl{E_{ij}}{,} für die
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_{ij}
}
{ =} { a_{ji}
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und alle übrigen Einträge $0$ sind, ebenfalls symmetrisch. Diese bilden eine Basis aller symmetrischen Matrizen, wie man sieht, wenn man von allen Matrizen die oberen Dreiecksausschnitte betrachtet. Die Dimension dieses Raumes ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n +1+2 + \cdots + n-1
}
{ =} { { \frac{ n(n+1) }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Für eine Linearkombination zweier antisymmetrischer Matrizen wie in a) ist der Eintrag $c_{ij}$ gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ra_{ij} +sb_{ij}
}
{ =} {
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und der Eintrag
\mathl{c_{ji}}{} gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_{ji}
}
{ =} { ra_{ji} +sb_{ji}
}
{ =} { r (-a_{ij}) +s (- b_{ij})
}
{ =} {- (r a_{ij} +s b_{ij})
}
{ =} {- c_{ij}
}
}
{}{}{,}
daher ergibt dies wieder antisymmetrische Matrizen.
d) Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_{ii}
}
{ =} { -a_{ii}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
müssen die Diagonaleinträge von antisymmetrischen Matrizen gleich $0$ sein. Für
\mathl{i>j}{} legt der Eintrag
\mathl{a_{ij}}{} den Eintrag
\mathl{a_{ji}}{} fest. Für
\mathl{i>j}{} seien $F_{ij}$ die antisymmetrischen Matrizen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_{ij}
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_{ji}
}
{ = }{- 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei alle übrigen Einträge gleich $0$ seien. Diese bilden eine Basis des Raumes aller antisymmetrischen Matrizen, dessen Dimension somit
\mathl{{ \frac{ n(n-1) }{ 2 } }}{} ist.
e) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & { \frac{ 7 }{ 2 } } \\ { \frac{ 7 }{ 2 } } & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & { \frac{ 5 }{ 2 } } \\ - { \frac{ 5 }{ 2 } } & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
f) Es sei $T$ eine sowohl symmetrische als auch antisymmetrische Matrix. Dann ist direkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_{ij}
}
{ =} { -a_{ji}
}
{ =} { -a_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_{ij}
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es liegt also die Nullmatrix vor und somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S \cap A
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ n(n+1) }{ 2 } }+ { \frac{ n(n-1) }{ 2 } }
}
{ =} { n^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist die Summe der Dimensionen der beiden Unterräume gleich der Dimension des Matrizenraumes, daher liegt eine direkte Summenzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {S \oplus A
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vor.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4 (2+2)}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} {\R^2} { \R^2
} {,}
die durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}}{} gegeben ist.
\aufzaehlungzwei {Bestimme das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
der durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3x-7y
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen Geraden.
} {Bestimme das
\definitionsverweis {Urbild}{}{}
der durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4x-3y
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen Geraden.
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Die Gerade kann man auch als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \R \begin{pmatrix} 7 \\3 \end{pmatrix}
}
{ =} { { \left\{ t \begin{pmatrix} 7 \\3 \end{pmatrix} \mid t \in \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auffassen. Das Bild des erzeugenden Vektors ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\3 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 29 \\33 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Alle Vielfache von
\mathl{\begin{pmatrix} 7 \\3 \end{pmatrix}}{} werden auf Vielfache von
\mathl{\begin{pmatrix} 29 \\33 \end{pmatrix}}{} abgebildet, somit ist die Bildgerade gleich
\mathdisp {\R \begin{pmatrix} 29 \\33 \end{pmatrix}} { . }
} {Wir schreiben die Koordinaten des ersten Raumes als
\mathl{(x,y)}{} und die Koordinaten den zweiten Raumes als
\mathl{(u,v)}{.} Aus der Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} u \\v \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 4u-3v
}
{ =} { 4 ( 2x+5y) -3 ( 3x+4y )
}
{ =} { -x + 8y
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit wird die Urbildgerade durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -x+8y
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschrieben.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Man gebe ein Beispiel für einen $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ und eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {V} {V } {,} die \definitionsverweis {injektiv}{}{,} aber nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{
Wir betrachten den Vektorraum
\mathl{K^{(\N)}}{} mit der
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathbed {e_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {.}
Wir betrachten die durch den Festlegungssatz gegebene lineare Abbildung, die das Basiselement $e_n$ auf $e_{n+1}$ schickt. Dann wird
\mathl{e_0}{} nicht getroffen und die Abbildung ist daher nicht surjektiv.
Eine Linearkombination
\mathl{\sum a_n e_n}{} wird dabei auf
\mathl{\sum a_n e_{n+1}}{} abgebildet, und dies ist nur dann $0$, wenn alle Koeffizienten $0$ sind. Somit ist nach dem Kernkriterium diese lineare Abbildung injektiv.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Beweise die Cramersche Regel zur Lösung eines linearen Gleichungssystems.
}
{
Für eine invertierbare Matrix $M$ ergibt sich die Lösung für das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Mx
}
{ = }{c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
indem man
\mathl{M^{-1}}{} anwendet, d.h. es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ = }{ M^{-1} c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Unter Verwendung von
Satz 17.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
bedeutet dies
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ = }{ \frac{1}{ \det M } ( M^{ \operatorname{adj} }) c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für die $j$-te Komponente bedeutet dies
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_j
}
{ =} { \frac{1}{ \det M } { \left( \sum_{ k = 1 }^{ n } (-1)^{k+j} ( \det M_{kj} ) \cdot c_k \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der rechte Faktor ist dabei die Entwicklung der Determinante der Matrix im Zähler nach der $j$-ten Spalte.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Berechne das Ergebnis, wenn man im
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {X^7-3X^6+4X^4+5X^3+7X^2-4X+5} { }
die Variable $X$ durch die
$3 \times 3$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} { }
ersetzt.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}^2
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}^3
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies gilt auch für die höheren Potenzen. Daher ergibt die Einsetzung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 7 \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}^2-4 \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} +5 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { 7 \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} -4 \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} +5 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 5 & -8 & -2 \\ 0 & 5 & -4 \\0 & 0 & 5 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Führe in $\Z/(7)[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=2X^3+4X^2+5} {und} {T=3X^2+X+1} {} durch.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2X^3+4X^2+5
}
{ =} { { \left( 3X^2+X+1 \right) } { \left( 3X+5 \right) } +6X
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Es sei
\mathl{\chi_{ \varphi } \in \R[X]}{} das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
zu einer
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
auf einem reellen
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ endlicher Dimension. Kann man daraus das charakteristische Polynom zu den Hintereinanderschaltungen $\varphi^n$ bestimmen?
}
{
Es sei $M$ eine beschreibende Matrix. Diese können wir auch über den komplexen Zahlen ${\mathbb C}$ auffassen, dadurch ändert sich weder das charakteristische Polynom noch die Matrizenmultiplikation. Wir können also über ${\mathbb C}$ arbeiten. Über ${\mathbb C}$ ist die Matrix
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{,}
d.h. es gibt eine Basis, bezüglich der die beschreibende Matrix obere Dreiecksgestalt hat, sagen wir
\mathdisp {\begin{pmatrix} \lambda_1 & \ast & \cdots & \cdots & \ast \\ 0 & \lambda_2 & \ast & \cdots & \ast \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_{ d-1} & \ast \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda_{ d } \end{pmatrix}} { . }
Das charakteristische Polynom hat somit die Form
\mathdisp {{ \left( X- \lambda_1 \right) } \cdots { \left( X- \lambda_d \right) }} { . }
Die $n$-te Potenz dieser Matrix hat die Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} \lambda_1^n & \ast & \cdots & \cdots & \ast \\ 0 & \lambda_2^n & \ast & \cdots & \ast \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_{d-1}^n & \ast \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda_{d}^n \end{pmatrix}} { . }
Daher ist deren charakteristisches Polynom gleich
\mathdisp {{ \left( X- \lambda_1^n \right) } \cdots { \left( X- \lambda_d^n \right) }} { . }
Das charakteristische Polynom der Potenzen hängt also nur vom charakteristischen Polynom der Ausgangsmatrix ab.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{8}
{
Beweise den Satz über die Dimension der Haupträume.
}
{
Wir schreiben das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
zu $\varphi$ als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ \varphi }
}
{ =} { (X- \lambda)^k Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{(X- \lambda)}{} in $Q$ nicht als Linerarfaktor vorkommt, d.h. $k$ ist die algebraische Vielfachheit von $\lambda$. Dann sind
\mathkor {} {P=(X-\lambda)^k} {und} {Q} {}
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{}
und nach
Lemma 26.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V
}
{ =} { \operatorname{kern} P(\varphi) \oplus \operatorname{kern} Q(\varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\maabbdisp {P(\varphi) = { \left( \varphi - \lambda
\operatorname{Id} \right) }^k} { \operatorname{kern} Q(\varphi) } { \operatorname{kern} Q(\varphi)
} {}
ist eine Bijektion. Es ist ferner
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H
}
{ \defeq} { \operatorname{Haupt}_{ \lambda } (\varphi)
}
{ =} { \operatorname{kern} P(\varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die Inklusion
\mathl{\supseteq}{} klar ist und die andere Inklusion sich daraus ergibt, dass höhere Potenzen von
\mathl{X- \lambda}{} wegen der eben erwähnten Bijektivität auf
\mathl{\operatorname{kern} Q(\varphi)}{} keine weiteren Elemente annullieren. Für das charakteristische Polynom gilt wegen der direkten Summenzerlegung nach
Lemma 23.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ \varphi }
}
{ =} { \chi_1 \cdot \chi_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $\chi_1$ das charakteristische Polynom zu
\mathl{\varphi{{|}}_H}{} und $\chi_2$ das charakteristische Polynom zu
\mathl{\varphi{{|}}_{ \operatorname{kern} Q(\varphi) }}{} ist. Da
\mathl{(\varphi-\lambda)^k}{} auf $H$ die Nullabbildung ist, ist das Minimalpolynom zu
\mathl{\varphi{{|}}_H}{} und damit auch das charakteristische Polynom $\chi_1$ eine Potenz von
\mathl{(X-\lambda)}{,} sagen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_1
}
{ =} { (X- \lambda)^d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( H \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sei. Insbesondere ist somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \leq }{ k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da $\chi_1$ ein Teiler von
\mathl{\chi_{ \varphi }}{} ist. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ < }{ k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
müsste $\lambda$ eine Nullstelle von $\chi_2$ sein und $\lambda$ wäre ein Eigenwert von $\varphi{{|}}_{ \operatorname{kern} Q(\varphi) }$. Dies ist aber ein Widerspruch dazu, dass $P(\varphi)$ auf diesem Raum eine Bijektion ist.
}