Kurs:Lineare Algebra/Teil I/18/Klausur mit Lösungen

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 2 3 3 4 5 10 4 3 5 3 3 5 8 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Assoziativität einer Verknüpfung
  2. Der Kern einer linearen Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .

  3. Der Homomorphismenraum zu -Vektorräumen und .
  4. Das von den Elementen in einem kommutativen Ring erzeugte Ideal.
  5. Eine alternierende Abbildung

    wobei und Vektorräume über sind.

  6. Die algebraische Vielfachheit von einem Eigenwert zu einer linearen Abbildung

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .


Lösung

  1. Eine Verknüpfung

    heißt assoziativ, wenn für alle die Gleichheit

    gilt.

  2. Man nennt

    den Kern von .

  3. Unter dem Homomorphismenraum versteht man

    versehen mit der Addition, die durch

    definiert wird, und der Skalarmultiplikation, die durch

    definiert wird.

  4. Zu einer Familie von Elementen in einem kommutativen Ring bezeichnet das von diesen Elementen erzeugte Ideal. Es besteht aus allen Linearkombinationen

    wobei sind.

  5. Die Abbildung

    heißt alternierend, wenn multilinear ist und wenn folgendes gilt: falls in zwei Einträge übereinstimmen, also für ein Paar , so ist

  6. Den Exponenten des linearen Polynoms im charakteristischen Polynom nennt man die algebraische Vielfachheit von .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über das direkte Komplement in einem endlichdimensionalen -Vektorraum .
  2. Der Satz über die Dualbasis.
  3. Der Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit zu einer linearen Abbildung
    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .


Lösung

  1. Zu einem Untervektorraum gibt es einen Untervektorraum derart, dass eine direkte Summenzerlegung
    vorliegt.
  2. Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit einer Basis . Dann bildet die Dualbasis
    eine Basis des Dualraums.
  3. Es sei . Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung


Aufgabe (2 Punkte)

Heinz Ngolo und Mustafa Müller wollen wissen, wie viele Kaulquappen sich im Teich im Wald befinden. Der Teich ist einen Meter tief und ist quadratisch mit einer Seitenlänge von zehn Metern, die Kaulquappen sind darin gleichmäßig verteilt. Heinz hat eine Teekanne dabei, in die ein halber Liter Wasser hineinpasst. Sie trinken den Tee leer und füllen die Kanne mit Teichwasser. Sie zählen, dass in der Kanne genau Kaulquappen sind und schütten alles zurück. Wie viele Kaulquappen befinden sich im Teich?


Lösung

Der Teich enthält Kubikmeter Wasser. In einen Kubikmeter passen Liter und somit der Inhalt von Teekannen. In den Teich passen also

Teekannen. Somit befinden sich im Teich ca.

Kaulquappen.


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Die Funktionen

seien durch

und

gegeben.

  1. Berechne .
  2. Berechne .
  3. Berechne auf zwei unterschiedliche Arten.


Lösung

  1. Es ist
  2. Es ist
  3. Es ist einerseits
    und andererseits


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen Körper , eine kommutative Gruppe und eine Abbildung

derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer

erfüllt.


Lösung

Es sei der Körper der reellen Zahlen. Wir betrachten die „Skalarmultiplikation“

die jedes Paar auf abbildet, also

Dann ist (für )

und somit ist diese Skalarmultiplikation nicht distributiv in den Skalaren. Alle anderen Vektorraumaxiome sind hingegen erfüllt. Es ist ja

und

Ferner ist natürlich auch


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten -Vektorraum .


Lösung

Es sei , , ein Erzeugendensystem von mit einer endlichen Indexmenge . Wir wollen mit der Charakterisierung aus Satz 7.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))  (2) argumentieren. Falls die Familie schon minimal ist, so liegt eine Basis vor. Andernfalls gibt es ein derart, dass die um reduzierte Familie, also , , ebenfalls ein Erzeugendensystem ist. In diesem Fall kann man mit der kleineren Indexmenge weiterargumentieren.
Mit diesem Verfahren gelangt man letztlich zu einer Teilmenge derart, dass , , ein minimales Erzeugendensystem, also eine Basis ist.


Aufgabe (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Es sei eine Basis eines -Vektorraumes . Es seien von verschiedene Elemente.


a) Zeige, dass ebenfalls eine Basis von ist.

b) Bestimme die Übergangsmatrix .

c) Bestimme die Übergangsmatrix .

d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitzt.

e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitzt.


Lösung

a) Es ist

für alle . Daher ist ebenfalls ein Erzeugendensystem von und somit eine Basis, da die Dimension ist und Vektoren vorliegen.

b) In den Spalten von müssen die Koordinaten der Vektoren bezüglich der Basis stehen, also ist

c) Es ist

d) Die Koordinaten ergeben sich aus

e) Die Koordinaten ergeben sich aus


Aufgabe weiter

Es sei und es sei der reelle Vektorraum aller -Matrizen.

a) Zeige, dass die Menge der symmetrischen -Matrizen ein Untervektorraum von ist.

b) Bestimme die Dimension von .

c) Zeige, dass die Menge der antisymmetrischen -Matrizen ein Untervektorraum von ist.

d) Bestimme die Dimension von .

e) Schreibe die Matrix

als Summe einer symmetrischen und einer antisymmetrischen Matrix.

f) Zeige, dass die direkte Summe aus und ist.


Lösung

a) Die Nullmatrix ist symmetrisch und antisymmetrisch. Für zwei symmetrische Matrizen und und Skalare ist

offenbar wieder symmetrisch, daher liegt eine Untervektorraum vor.

b) Alle Diagonalmatrizen sind symmetrisch und die Diagonalmatrizen , für die der -te Diagonaleintrag eine ist und für die alle anderen Einträge sind, bilden eine Basis davon. Ferner sind für die Matrizen , für die

und alle übrigen Einträge sind, ebenfalls symmetrisch. Diese bilden eine Basis aller symmetrischen Matrizen, wie man sieht, wenn man von allen Matrizen die oberen Dreiecksausschnitte betrachtet. Die Dimension dieses Raumes ist somit

c) Für eine Linearkombination zweier antisymmetrischer Matrizen wie in a) ist der Eintrag gleich

und der Eintrag gleich

daher ergibt dies wieder antisymmetrische Matrizen.

d) Wegen

müssen die Diagonaleinträge von antisymmetrischen Matrizen gleich sein. Für legt der Eintrag den Eintrag fest. Für seien die antisymmetrischen Matrizen mit und , wobei alle übrigen Einträge gleich seien. Diese bilden eine Basis des Raumes aller antisymmetrischen Matrizen, dessen Dimension somit ist.

e) Es ist

f) Es sei eine sowohl symmetrische als auch antisymmetrische Matrix. Dann ist direkt

und daher ist

Es liegt also die Nullmatrix vor und somit ist

Wegen

ist die Summe der Dimensionen der beiden Unterräume gleich der Dimension des Matrizenraumes, daher liegt eine direkte Summenzerlegung

vor.


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten die lineare Abbildung , die durch die Matrix gegeben ist.

  1. Bestimme das Bild der durch die Gleichung

    gegebenen Geraden.

  2. Bestimme das Urbild der durch die Gleichung

    gegebenen Geraden.


Lösung

  1. Die Gerade kann man auch als

    auffassen. Das Bild des erzeugenden Vektors ist

    Alle Vielfache von werden auf Vielfache von abgebildet, somit ist die Bildgerade gleich

  2. Wir schreiben die Koordinaten des ersten Raumes als und die Koordinaten den zweiten Raumes als . Aus der Beziehung

    ergibt sich

    Somit wird die Urbildgerade durch die Gleichung

    beschrieben.


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen -Vektorraum und eine lineare Abbildung , die injektiv, aber nicht surjektiv ist.


Lösung

Wir betrachten den Vektorraum mit der Basis , . Wir betrachten die durch den Festlegungssatz gegebene lineare Abbildung, die das Basiselement auf schickt. Dann wird nicht getroffen und die Abbildung ist daher nicht surjektiv. Eine Linearkombination wird dabei auf abgebildet, und dies ist nur dann , wenn alle Koeffizienten sind. Somit ist nach dem Kernkriterium diese lineare Abbildung injektiv.


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die Cramersche Regel zur Lösung eines linearen Gleichungssystems.


Lösung

Für eine invertierbare Matrix ergibt sich die Lösung für das lineare Gleichungssystem , indem man anwendet, d.h. es ist . Unter Verwendung von Satz 17.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) bedeutet dies . Für die -te Komponente bedeutet dies

Der rechte Faktor ist dabei die Entwicklung der Determinante der Matrix im Zähler nach der -ten Spalte.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

die Variable durch die -Matrix

ersetzt.


Lösung

Es ist

und

Dies gilt auch für die höheren Potenzen. Daher ergibt die Einsetzung


Aufgabe (3 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Lösung

Es ist


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei das charakteristische Polynom zu einer linearen Abbildung

auf einem reellen Vektorraum endlicher Dimension. Kann man daraus das charakteristische Polynom zu den Hintereinanderschaltungen bestimmen?


Lösung

Es sei eine beschreibende Matrix. Diese können wir auch über den komplexen Zahlen auffassen, dadurch ändert sich weder das charakteristische Polynom noch die Matrizenmultiplikation. Wir können also über arbeiten. Über ist die Matrix trigonalisierbar, d.h. es gibt eine Basis, bezüglich der die beschreibende Matrix obere Dreiecksgestalt hat, sagen wir

Das charakteristische Polynom hat somit die Form

Die -te Potenz dieser Matrix hat die Form

Daher ist deren charakteristisches Polynom gleich

Das charakteristische Polynom der Potenzen hängt also nur vom charakteristischen Polynom der Ausgangsmatrix ab.


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Satz über die Dimension der Haupträume.


Lösung

Wir schreiben das charakteristische Polynom zu als

wobei in nicht als Linerarfaktor vorkommt, d.h. ist die algebraische Vielfachheit von . Dann sind und teilerfremd und nach Lemma 26.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) ist dann

und

ist eine Bijektion. Es ist ferner

wobei die Inklusion klar ist und die andere Inklusion sich daraus ergibt, dass höhere Potenzen von wegen der eben erwähnten Bijektivität auf keine weiteren Elemente annullieren. Für das charakteristische Polynom gilt wegen der direkten Summenzerlegung nach Lemma 23.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) die Beziehung

wobei das charakteristische Polynom zu und das charakteristische Polynom zu ist. Da auf die Nullabbildung ist, ist das Minimalpolynom zu und damit auch das charakteristische Polynom eine Potenz von , sagen wir

wobei

sei. Insbesondere ist somit , da ein Teiler von ist. Bei müsste eine Nullstelle von sein und wäre ein Eigenwert von . Dies ist aber ein Widerspruch dazu, dass auf diesem Raum eine Bijektion ist.