Kurs:Lineare Algebra/Teil I/21/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 7 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 1 }
\renewcommand{\aneun}{ 8 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Die
\stichwort {Vereinigung} {}
zu einer Mengenfamilie
\mathbed {M_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
in einer Grundmenge $G$.
}{Die \stichwort {Fakultät} {} einer natürlichen Zahl $n$.
}{Ein \stichwort {Untervektorraum} {}
\mathl{U \subseteq V}{} in einem $K$-Vektorraum $V$.
}{Die \stichwort {Spur} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Eine \stichwort {Fahne} {} in einem $n$-\definitionsverweis {dimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Die
\stichwort {baryzentrischen Koordinaten} {}
zu einem Punkt
\mathl{P \in E}{} in einem
\definitionsverweis {affinen Raum}{}{}
$E$ über dem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ bezüglich einer
\definitionsverweis {affinen Basis}{}{}
\mathbed {P_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {.}
}
}
{
\aufzaehlungsechs{Man nennt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigcup_{i \in I} M_i
}
{ =} { { \left\{ x \in G \mid \text{es gibt ein } i \in I \text{ mit } x \in M_i \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Vereinigung der Mengen.
}{Unter der Fakultät von $n$ versteht man die Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n!
}
{ \defeq} { n(n-1)(n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Die Teilmenge
\mathl{U \subseteq V}{} heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
\aufzaehlungdrei{
\mathl{0 \in U}{.}
}{Mit
\mathl{u,v \in U}{}
ist auch
\mathl{u+v \in U}{.}
}{Mit
\mathl{u \in U}{} und
\mathl{s \in K}{} ist auch
\mathl{s u \in U}{.} }
}{Die
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
werde bezüglich einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
$M$ beschrieben. Dann nennt man
\mathl{\operatorname{Spur} { \left( M \right) }}{} die
Spur
von $\varphi$.
}{Eine Kette von
\definitionsverweis {Untervektorräumen}{}{}
\mathdisp {0=V_0 \subset V_1 \subset \ldots \subset V_{n-1} \subset V_n=V} { }
heißt eine Fahne in $V$.
}{Man nennt die zu $P$ eindeutig bestimmten Zahlen
\mathdisp {(a_i, i \in I) \text{ mit } \sum_{i \in I} a_i =1} { }
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { \sum_{i \in I} a_i P_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
baryzentrischen Koordinaten
von $P$.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der
\stichwort {Charakterisierungssatz} {}
für eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} in einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.}{Der Satz über den Zusammenhang von Zeilenumformungen und Elementarmatrizen.}{Der Satz über die
\stichwort {Charakterisierung von trigonalisierbaren Abbildungen} {}
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n \in V}{} eine Familie von Vektoren. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
\aufzaehlungvier{Die Familie ist eine Basis von $V$.
}{Die Familie ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. sobald man einen Vektor $v_i$ weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor.
}{Für jeden Vektor
\mathl{u \in V}{} gibt es genau eine Darstellung
\mathdisp {u= s_1 v_1 + \cdots + s_n v_n} { . }
}{Die Familie ist maximal linear unabhängig, d.h. sobald man irgendeinen Vektor dazunimmt, ist die Familie nicht mehr linear unabhängig.
}}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und $M$ eine
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
mit Einträgen in $K$. Dann hat die
\definitionsverweis {Multiplikation}{}{}
mit den
$m \times m$-\definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{}
von links mit $M$ folgende Wirkung.
\aufzaehlungdrei{$V_{ij} \circ M =$ Vertauschen der $i$-ten und der $j$-ten Zeile von $M$.
}{$(S_k (s)) \circ M =$ Multiplikation der $k$-ten Zeile von $M$ mit $s$.
}{$(A_{ij}(a)) \circ M =$ Addition des $a$-fachen der $j$-ten Zeile von $M$ zur $i$-ten Zeile (\mathlk{i \neq j}{}).
}}{Folgende Aussagen sind äquivalent.
\aufzaehlungvier{$\varphi$ ist
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{.}
}{Es gibt eine
$\varphi$-\definitionsverweis {invariante Fahne}{}{.}
}{Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
\mathl{\chi_{ \varphi }}{} zerfällt in
\definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{.}
}{Das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
\mathl{\mu_\varphi}{} zerfällt in
\definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{.}
}}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & 0 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & 0 \end{matrix}} { }
ein homogenes
\definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{}
über $K$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
des $K^n$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?
}
{
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{j = 1}^n a_{ij} 0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ i
}
{ =} { 1 , \ldots , m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist das Nulltupel
\mathl{(0 , \ldots , 0)}{} eine Lösung. Es seien
\mathl{\left( x_1 , \, \ldots , \, x_n \right)}{} und
\mathl{\left( y_1 , \, \ldots , \, y_n \right)}{} Lösungen des linearen Gleichungssystems. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dann für jedes $i$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{j = 1}^n a_{ij} { \left( s x_j \right) }
}
{ =} { s \cdot { \left( \sum_{j = 1}^n a_{ij} x_j \right) }
}
{ =} { s \cdot 0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Entsprechend ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sum_{j = 1}^n a_{ij} { \left( x_j +y_j \right) }
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n { \left( a_{ij} x_j +a_{ij} y_j \right) }
}
{ =} { { \left( \sum_{j = 1}^n a_{ij} x_j \right) } + { \left( \sum_{j = 1}^n a_{ij} x_j \right) }
}
{ =} { 0 +0
}
{ =} { 0
}
}
{}
{}{}
für alle $i$. Somit ist der Lösungsraum unter Multiplikation mit einem Skalar und unter Addition abgeschlossen und bildet demnach einen Untervektorraum.
Der Gesamtlösungsraum ist der Durchschnitt der Lösungsräume zu den einzelnen Gleichungen.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5 (1+1+1+1+1)}
{
Der
$\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$\R^2$ sei zusätzlich mit der komponentenweisen Multiplikation versehen. Bestimme, welche der folgenden Teilmengen unter dieser Multiplikation abgeschlossen sind.
\aufzaehlungfuenf{Die Punktmenge
\mathl{\{ \left( 0 , \, 0 \right), \left( 0 , \, 1 \right), \left( 1 , \, 0 \right) , \left( 1 , \, 1 \right) \}}{.}
}{Die Gerade
\mathdisp {{ \left\{ \left( x , \, y \right) \mid y = 3x \right\} }} { . }
}{Das Achsenkreuz
\mathdisp {{ \left\{ \left( x , \, y \right) \mid x = 0 \text{ oder } y = 0 \right\} }} { . }
}{Die Hyperbel
\mathdisp {{ \left\{ \left( x , \, y \right) \mid xy = 1 \right\} }} { . }
}{Die Parabel
\mathdisp {{ \left\{ \left( x , \, y \right) \mid y = x^2 \right\} }} { . }
}
}
{
\aufzaehlungfuenf{Ist multiplikativ abgeschlossen. Bei jedem möglichen Produkt sind die Komponenten $0$ oder $1$, gehören also wieder zu der Punktmenge.
}{Ist nicht multiplikativ abgeschlossen. Es ist
\mathl{(1,3)}{} ein Punkt der Geraden, aber
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (1,3) \cdot (1,3)
}
{ =} { (1,9)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist kein Punkt der Geraden.
}{Ist multiplikativ abgeschlossen. Ein Produkt von zwei Punkten des Achsenkreuzes hat in mindestens einer Komponenten den Wert $0$ und gehört somit wieder zum Achsenkreuz.
}{Ist multiplikativ abgeschlossen. Es seien
\mathl{(x,y)}{} und
\mathl{(z,w)}{} Punkte der Hyperbel, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xy
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{zw
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Das Produkt der Punkte ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x,y) \cdot (z,w)
}
{ =} { (xz,yw)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(xz ) \cdot (yw)
}
{ =} { xzyw
}
{ =} { xy zw
}
{ =} { 1 \cdot 1
}
{ =} {1
}
}
{}{}{}
liegt das Produkt wieder auf der Hyperbel.
}{Ist multiplikativ abgeschlossen. Die Punkte auf der Parabel sind die Punkte der Form
\mathl{(x,x^2)}{,} und das Produkt von zwei solchen Punkten ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x,x^2) \cdot (u,u^2)
}
{ =} { (xu, x^2u^2)
}
{ =} { (xu, (xu)^2)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und hat also wieder diese Form.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7 (5+2)}
{
Es sei $M$ eine
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ mit dem
\definitionsverweis {Rang}{}{}
$r$.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass es eine
\mathl{r \times n}{-}Matrix $A$ und eine
\mathl{m \times r}{-}Matrix $B$, beide mit dem Rang $r$, mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{B \circ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
} {Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ < }{r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es nicht möglich ist,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{B \circ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer
\mathl{s \times n}{-}Matrix $A$ und einer
\mathl{m \times s}{-}Matrix $B$ zu schreiben.
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Wir fassen die Matrix als
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {} {K^n} { K^m
} {.}
Nach
Lemma 12.14
ist der
\definitionsverweis {Rang}{}{}
dieser Abbildung gleich $r$, d.h. das Bild
\mathl{V \subseteq K^m}{} besitzt die Dimension $r$. Es gibt also eine Faktorisierung
\mathdisp {K^n \longrightarrow V \longrightarrow K^m} { , }
wobei die erste Abbildung die durch $M$ gegebene Abbildung mit dem Bild $V$ ist und die zweite Abbildung die Inklusion
\mathl{V \subseteq K^m}{.} Mit einer Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_r}{} von $V$ und den Standardbasen links und rechts werden diese beiden linearen Abbildungen durch eine
\mathl{r \times n}{-}Matrix $A$ und eine
\mathl{m \times r}{-}Matrix $B$ beschrieben. Somit gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {B \circ A
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da die durch $A$ beschriebene lineare Abbildung surjektiv auf $V$ abbildet, ist ihr Rang gleich $r$. Da das Bild der durch $B$ beschriebenen linearen Abbildung wegen der Injektivität ebenfalls die Dimension $r$ besitzt, ist ihr Rang auch $r$.
} {Wir nehmen an, dass es eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {B \circ A
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer
\mathl{s \times n}{-}Matrix $A$ und einer
\mathl{m \times s}{-}Matrix $B$ gibt. Dann ergibt sich eine Faktorisierung
\mathdisp {K^n \stackrel{A}{\longrightarrow} K^s \stackrel{B}{\longrightarrow} K^m} { . }
Das Bild der Gesamtabbildung ist im Bild der hinteren Abbildung enthalten, und ist somit höchstens $s$-dimensional. Da $r$ die Dimension des Bildes der Gesamtabbildung ist, ergibt sich aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ < }{r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Widerspruch.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} mit $q$ Elementen. Bestimme die Anzahl der nicht \definitionsverweis {invertierbaren}{}{} $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} über $K$.
}
{
Die $2\times 2$-Matrizen haben die Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}} { }
mit
\mathl{x,y,z,w \in K}{.} Die Eigenschaft, nicht invertierbar zu sein, kann man mit der Determinante durch die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ xw-yz
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ausdrücken. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein. Im ersten Fall gibt es für $x$ und $z$ jeweils $q$ Möglichkeiten. Im zweiten Fall gibt es für $x$ und $y$ ebenfalls jeweils $q$ Möglichkeiten, allerdings darf man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht doppelt zählen. Somit erhalten wir bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
insgesamt
\mathl{q^2 + q(q-1)}{} Möglichkeiten. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ =} { { \frac{ yz }{ w } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
d.h. $x$ ist durch die drei anderen Belegungen eindeutig bestimmt. Von dieser Art gibt es
\mathl{(q-1)q^2}{} Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ q^2 + q(q-1) + (q-1)q^2
}
{ =} { q^2 + q^2 -q + q^3 -q^2
}
{ =} { q^3 +q^2-q
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
nichtinvertierbare $2 \times 2$-Matrizen.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Man gebe ein Beispiel für einen $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ und eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {V} {V } {,} die \definitionsverweis {surjektiv}{}{,} aber nicht \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.
}
{
Wir betrachten den Vektorraum
\mathl{K^{(\N)}}{} mit der
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathbed {e_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {.}
Wir betrachten die durch den Festlegungssatz gegebene lineare Abbildung, die das Basiselement $e_0$ auf sich selbst und die weiteren Basiselemente $e_n$ auf $e_{n-1}$ schickt. Dann werden
\mathl{e_0}{} und $e_1$ beide auf $e_0$ abgebildet und die Abbildung ist daher nicht injektiv. Hingegen wird jedes Basiselement $e_n$ durch $e_{n+1}$ getroffen, und somit ist diese lineare Abbildung surjektiv.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Bestimme, abhängig von
\mathl{a,b,c,d}{,} den
\definitionsverweis {Rang}{}{}
der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & 4b & a-c & d \\ 0 & b & b^2 & b^3 \\ 0 & 0 & c^2 & a^2 \\ 0 & 0 & 0 & d \end{pmatrix}} { . }
}
{
Da eine obere Dreiecksmatrix vorliegt, ist der Rang der Matrix gleich der Anzahl der von $0$ verschiedenen Elemente in der Hauptdiagonalen. Dies ist einfach die Anzahl der
\mathl{a,b,c,d}{,} die von $0$ verschieden sind.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{8 (3+3+2)}
{
\aufzaehlungdrei{Beweise den Determinantenmultiplikationssatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \left( A \circ B \right)
}
{ =} { \det \left( A \right) \det \left( B \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für den Fall, dass $A$ eine Elementarmatrix ist.
}{Beweise den Determinantenmultiplikationssatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \left( A \circ B \right)
}
{ =} { \det \left( A \right) \det \left( B \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für den Fall, dass $A$ ein Produkt aus Elementarmatrizen ist.
}{Beweise den Determinantenmultiplikationssatz mit Hilfe von (2).
}
}
{
\aufzaehlungdrei{Wir gehen die verschiedenen Elementarmatrizen durch. Wenn $E$ eine Vertauschungsmatrix ist, so ist ihre Determinante gleich $-1$ und $E \circ M$ entsteht aus $M$, indem die $i$-te und die $j$-te Zeile vertauscht werden. Das ändert die Determinante um das Vorzeichen. Wenn $E$ eine Skalierungsmatrix zum Faktor $s$ ist, so ist ihre Determinante gleich $s$ und $E \circ M$ entsteht aus $M$, indem die $i$-te mit $s$ multipliziert. Das ändert die Determinante um den Faktor $s$. Wenn $E$ eine Additionsmatrix ist, so ist ihre Determinante gleich $1$ und $E \circ M$ entsteht aus $M$, indem das $a$-fache der $j$-ten Zeile zur $i$-ten Zeile hinzuaddiert wird. Das ändert die Determinante nicht.
}{Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} { E_1 \circ \cdots \circ E_s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Produkt von Elementarmatrizen. Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach $s$, wobei sich der Induktionsanfang zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus Teil (1) ergibt. Es sei die Aussage für ein Produkt aus $s-1$ Elementarmatrizen schon bewiesen. Dann ist nach Teil (1) und der Induktionsvoraussetzung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \det \left( AB \right)
}
{ =} { \det \left( E_1 \circ \cdots \circ E_s \circ B \right)
}
{ =} { \det E_1 \circ { \left( E_2 \circ \cdots \circ E_s \circ B \right) }
}
{ =} { \det E_1 \cdot \det \left( E_2 \circ \cdots \circ E_s \circ B \right)
}
{ =} { \det E_1 \cdot \det E_2 \cdots \det E_s \cdot \det B
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \det A \cdot \det B
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
wobei sich die letzte Gleichung aus dem Spezialfall zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B
}
{ = }{ E_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ergibt.
}{Es sei zunächst
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \det A
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist nach
Satz 16.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
die Matrix $A$ nicht
\definitionsverweis {invertierbar}{}{}
und damit ist auch
\mathl{A \circ B}{} nicht invertierbar und somit wiederum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \det A \circ B
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei nun $A$ invertierbar. Dann gibt es eine Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A
}
{ =} { E_1 \circ \cdots \circ E_s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in Elementarmatrizen, und die Aussage folgt aus Teil (2).
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Beschreibung des Signums mit Fehlständen.
}
{
Wir schreiben
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \operatorname{sgn}(\pi)
}
{ =} { \prod_{ i < j } \frac{ \pi( j ) - \pi( i )}{ j - i }
}
{ =} { \prod_{(i,j) \in F} \frac{ \pi (j) - \pi (i) }{ j-i } \prod_{(i,j) \not \in F} \frac{ \pi (j) - \pi (i) }{ j-i }
}
{ =} { (-1)^k \prod_{(i,j) \in F} \frac{ \pi (i) - \pi (j) }{ j-i } \prod_{(i,j) \not \in F} \frac{ \pi (j) - \pi (i) }{ j-i }
}
{ =} { (-1)^k
}
}
{}
{}{,}
da nach dieser Umordnung sowohl im Zähler als auch im Nenner das Produkt aller positiven Differenzen steht.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Bestimme im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X]}{} über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ die
\definitionsverweis {invertierbaren}{}{}
Elemente, also Polynome $P$, für die es ein weiteres Polynom $Q$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{PQ
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{
Es sind genau die konstanten Polynome
\mathbed {a} {}
{a \neq 0} {}
{} {} {} {}
invertierbar. Wegen
\mathl{a \in K}{} besitzen diese ein Inverses. Das Nullpolynom ist sicher nicht invertierbar. Es sei nun
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {a_nX^n + \cdots + a_1X+a_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein nichtkonstantes Polynom, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_n
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann besitzt für jedes Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das Polynom
\mathdisp {PQ} { }
einen Grad
\mathl{\geq 1}{,} ist also nicht $1$
\zusatzklammer {und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P \cdot 0
}
{ = }{ 0
}
{ \neq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 + p x +q
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine quadratische Gleichung über einem Körper $K$, und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Lösung davon. Zeige, dass auch
\mathl{{ \frac{ q }{ r } }}{} eine Lösung der Gleichung ist.
}
{
Wir behaupten, dass das Polynom
\mathl{X^2+pX+q}{} die Faktorzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^2+pX+q
}
{ =} { (X-r) { \left( X- { \frac{ q }{ r } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt. Wenn man die rechte Seite ausmultipliziert, so stimmt der konstante Koeffizient und der Leitkoeffizient mit den Koeffizienten der linken Seite überein. Der lineare Koeffizient ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-r- { \frac{ q }{ r } }
}
{ =} { { \frac{ -r^2- q }{ r } }
}
{ =} { { \frac{ - { \left( -pr-q \right) } - q }{ r } }
}
{ =} { { \frac{ pr +q - q }{ r } }
}
{ =} { p
}
}
{}{}{,}
so dass hier auch Überstimmung vorliegt. Wenn man nun rechts ${ \frac{ q }{ r } }$ einsetzt, kommt offenbar $0$ raus, es liegt also eine Lösung vor.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Diagonalisierbarkeit und Eigenräume.
}
{
Wenn $\varphi$ diagonalisierbar ist, so gibt es eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} von $V$ aus
\definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{.}
Es ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) }
}
{ =} { \langle v_i ,\, \text{der Eigenwert zu } v_i \text{ ist } \lambda \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { \operatorname{Eig}_{ \lambda_1 } { \left( \varphi \right) } \oplus \cdots \oplus \operatorname{Eig}_{ \lambda_k } { \left( \varphi \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die Direktheit sich aus
Lemma 22.2 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
ergibt. Wenn umgekehrt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { \operatorname{Eig}_{ \lambda_1 } { \left( \varphi \right) } \oplus \cdots \oplus \operatorname{Eig}_{ \lambda_k } { \left( \varphi \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vorliegt, so kann man in jedem der Eigenräume eine Basis wählen. Diese Basen bestehen aus Eigenvektoren und ergeben zusammen eine Basis von $V$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Bestimme in $\Z$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von $71894$ und $45327$.
}
{
Der Euklidische Algorithmus liefert:
\mathdisp {71894 = 1 \cdot 45327 + 26567} { }
\mathdisp {45327 = 1 \cdot 26567 + 18760} { }
\mathdisp {26567 = 1 \cdot 18760 + 7807} { }
\mathdisp {18760 = 2 \cdot 7807 + 3146} { }
\mathdisp {7807 = 2 \cdot 3146 + 1515} { }
\mathdisp {3146 = 2 \cdot 1515 + 116} { }
\mathdisp {1515 = 13 \cdot 116 + 7} { }
\mathdisp {116 = 16 \cdot 7 + 4} { }
\mathdisp {7 = 1 \cdot 4 + 3} { }
\mathdisp {4 = 1 \cdot 3 + 1} { . }
Die Zahlen
\mathkor {} {71894} {und} {45327} {}
sind also teilerfremd.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$ der gleichen
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$ und es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} {V_0
}
{ \subset} {V_1
}
{ \subset \ldots \subset} {V_{n-1}
}
{ \subset} {V_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {V
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} {W_0
}
{ \subset} {W_1
}
{ \subset \ldots \subset} {W_{n-1}
}
{ \subset} {W_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {W
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
\definitionsverweis {Fahnen}{}{}
in
\mathkor {} {V} {bzw.} {W} {.}
Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{}
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(V_i)
}
{ =} { W_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{0,1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{
Aufgrund
des Basisergänzungssatzes
gibt es eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathdisp {v_1 , \ldots , v_n} { }
von $V$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_i
}
{ =} { \langle v_1 , \ldots , v_i \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $i$. Entsprechend gibt es eine Basis
\mathdisp {w_1 , \ldots , w_n} { }
von $W$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W_i
}
{ =} { \langle w_1 , \ldots , w_i \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $i$. Aufgrund
des Basisfestlegungssatzes
gibt es eine lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(v_i)
}
{ = }{ w_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Diese ist surjektiv, da das Bild ein Erzeugendensystem enthält, und somit bijektiv, da die Räume gleichdimensional sind. Nach Konstruktion gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(V_i)
}
{ \subseteq} {W_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei wegen der Dimension hier Gleichheit gilt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Bestimme, ob die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 3 & 21 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {nilpotent}{}{}
ist.
}
{
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 3 & 21 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\7 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 22 \\ 154 \end{pmatrix}
}
{ =} { 22 \begin{pmatrix} 1 \\7 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist $22$ ein Eigenwert der Matrix, sie kann also nicht nilpotent sein.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Bestimme, ob die beiden Matrizen
\mathdisp {M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \text{ und } N= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} { }
zueinander
\definitionsverweis {ähnlich}{}{}
sind.
}
{
Die Matrix $M$ bildet
\mathdisp {e_2 \mapsto e_1,\, e_1 \mapsto 0, \, e_4 \mapsto e_3,\, e_3 \mapsto 0} { , }
daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M^2
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Matrix $N$ bildet
\mathdisp {e_1 \mapsto 0, \, e_4 \mapsto e_3,\, e_3 \mapsto e_2, \, e_2 \mapsto 0} { , }
daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N^2
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die beiden Matrizen können also nicht die gleiche lineare Abbildung beschreiben und sind somit nicht zueinander ähnlich.
}