Kurs:Lineare Algebra/Teil I/21/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 4 5 7 4 3 1 8 4 3 3 4 3 4 2 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Vereinigung zu einer Mengenfamilie , , in einer Grundmenge .
  2. Die Fakultät einer natürlichen Zahl .
  3. Ein Untervektorraum in einem -Vektorraum .
  4. Die Spur zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .
  5. Eine Fahne in einem -dimensionalen -Vektorraum .
  6. Die baryzentrischen Koordinaten zu einem Punkt in einem affinen Raum über dem -Vektorraum bezüglich einer affinen Basis , .


Lösung

  1. Man nennt

    die Vereinigung der Mengen.

  2. Unter der Fakultät von versteht man die Zahl
  3. Die Teilmenge heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
    1. .
    2. Mit ist auch .
    3. Mit und ist auch .
  4. Die lineare Abbildung werde bezüglich einer Basis durch die Matrix beschrieben. Dann nennt man die Spur von .
  5. Eine Kette von Untervektorräumen

    heißt eine Fahne in .

  6. Man nennt die zu eindeutig bestimmten Zahlen

    mit

    die baryzentrischen Koordinaten von .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Charakterisierungssatz für eine Basis in einem -Vektorraum .
  2. Der Satz über den Zusammenhang von Zeilenumformungen und Elementarmatrizen.
  3. Der Satz über die Charakterisierung von trigonalisierbaren Abbildungen
    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .


Lösung

  1. Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es sei eine Familie von Vektoren. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
    1. Die Familie ist eine Basis von .
    2. Die Familie ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. sobald man einen Vektor weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor.
    3. Für jeden Vektor gibt es genau eine Darstellung
    4. Die Familie ist maximal linear unabhängig, d.h. sobald man irgendeinen Vektor dazunimmt, ist die Familie nicht mehr linear unabhängig.
  2. Es sei ein Körper und eine -Matrix mit Einträgen in . Dann hat die Multiplikation mit den -Elementarmatrizen von links mit folgende Wirkung.
    1. Vertauschen der -ten und der -ten Zeile von .
    2. Multiplikation der -ten Zeile von mit .
    3. Addition des -fachen der -ten Zeile von zur -ten Zeile ().
  3. Folgende Aussagen sind äquivalent.
    1. ist trigonalisierbar.
    2. Es gibt eine -invariante Fahne.
    3. Das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren.
    4. Das Minimalpolynom zerfällt in Linearfaktoren.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und

ein homogenes lineares Gleichungssystem über . Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?


Lösung

Wegen

für alle ist das Nulltupel eine Lösung. Es seien und Lösungen des linearen Gleichungssystems. Zu ist dann für jedes

Entsprechend ist

für alle . Somit ist der Lösungsraum unter Multiplikation mit einem Skalar und unter Addition abgeschlossen und bildet demnach einen Untervektorraum.

Der Gesamtlösungsraum ist der Durchschnitt der Lösungsräume zu den einzelnen Gleichungen.


Aufgabe (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Der -Vektorraum sei zusätzlich mit der komponentenweisen Multiplikation versehen. Bestimme, welche der folgenden Teilmengen unter dieser Multiplikation abgeschlossen sind.

  1. Die Punktmenge .
  2. Die Gerade
  3. Das Achsenkreuz
  4. Die Hyperbel
  5. Die Parabel


Lösung

  1. Ist multiplikativ abgeschlossen. Bei jedem möglichen Produkt sind die Komponenten oder , gehören also wieder zu der Punktmenge.
  2. Ist nicht multiplikativ abgeschlossen. Es ist ein Punkt der Geraden, aber

    ist kein Punkt der Geraden.

  3. Ist multiplikativ abgeschlossen. Ein Produkt von zwei Punkten des Achsenkreuzes hat in mindestens einer Komponenten den Wert und gehört somit wieder zum Achsenkreuz.
  4. Ist multiplikativ abgeschlossen. Seien und Punkte der Hyperbel, also und . Das Produkt der Punkte ist

    und wegen

    liegt das Produkt wieder auf der Hyperbel.

  5. Ist multiplikativ abgeschlossen. Die Punkte auf der Parabel sind die Punkte der Form , und das Produkt von zwei solchen Punkten ist

    und hat also wieder diese Form.


Aufgabe (7 (5+2) Punkte)

Es sei eine -Matrix über dem Körper mit dem Rang .

  1. Zeige, dass es eine -Matrix und eine -Matrix , beide mit dem Rang , mit gibt.
  2. Sei . Zeige, dass es nicht möglich ist, mit einer -Matrix und einer -Matrix zu schreiben.


Lösung

  1. Wir fassen die Matrix als lineare Abbildung

    Nach Lemma 12.14 ist der Rang dieser Abbildung gleich , d.h. das Bild besitzt die Dimension . Es gibt also eine Faktorisierung

    wobei die erste Abbildung die durch gegebene Abbildung mit dem Bild ist und die zweite Abbildung die Inklusion . Mit einer Basis von und den Standardbasen links und rechts werden diese beiden linearen Abbildungen durch eine -Matrix und eine -Matrix beschrieben. Somit gilt

    Da die durch beschriebene lineare Abbildung surjektiv auf abbildet, ist ihr Rang gleich . Da das Bild der durch beschriebenen linearen Abbildung wegen der Injektivität ebenfalls die Dimension besitzt, ist ihr Rang auch .

  2. Wir nehmen an, dass es eine Darstellung

    mit einer -Matrix und einer -Matrix gibt. Dann ergibt sich eine Faktorisierung

    Das Bild der Gesamtabbildung ist im Bild der hinteren Abbildung enthalten, und ist somit höchstens -dimensional. Da die Dimension des Bildes der Gesamtabbildung ist, ergibt sich aus ein Widerspruch.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein endlicher Körper mit Elementen. Bestimme die Anzahl der nicht invertierbaren -Matrizen über .


Lösung

Die -Matrizen haben die Form

mit . Die Eigenschaft, nicht invertierbar zu sein, kann man mit der Determinante durch die Bedingung

ausdrücken. Wenn ist, so muss oder sein. Im ersten Fall gibt es für und jeweils Möglichkeiten. Im zweiten Fall gibt es für und ebenfalls jeweils Möglichkeiten, allerdings darf man nicht doppelt zählen. Somit erhalten wir bei insgesamt Möglichkeiten. Sei also . Dann gilt

d.h. ist durch die drei anderen Belegungen eindeutig bestimmt. Von dieser Art gibt es Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also

nichtinvertierbare -Matrizen.


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen -Vektorraum und eine lineare Abbildung , die surjektiv, aber nicht injektiv ist.


Lösung

Wir betrachten den Vektorraum mit der Basis , . Wir betrachten die durch den Festlegungssatz gegebene lineare Abbildung, die das Basiselement auf sich selbst und die weiteren Basiselemente auf schickt. Dann werden und beide auf abgebildet und die Abbildung ist daher nicht injektiv. Hingegen wird jedes Basiselement durch getroffen, und somit ist diese lineare Abbildung surjektiv.


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme, abhängig von , den Rang der Matrix


Lösung

Da eine obere Dreiecksmatrix vorliegt, ist der Rang der Matrix gleich der Anzahl der von verschiedenen Elemente in der Hauptdiagonalen. Dies ist einfach die Anzahl der , die von verschieden sind.


Aufgabe (8 (3+3+2) Punkte)

  1. Beweise den Determinantenmultiplikationssatz

    für den Fall, dass eine Elementarmatrix ist.

  2. Beweise den Determinantenmultiplikationssatz

    für den Fall, dass ein Produkt aus Elementarmatrizen ist.

  3. Beweise den Determinantenmultiplikationssatz mit Hilfe von (2).


Lösung

  1. Wir gehen die verschiedenen Elementarmatrizen durch. Wenn eine Vertauschungsmatrix ist, so ist ihre Determinante gleich und entsteht aus , indem die -te und die -te Zeile vertauscht werden. Das ändert die Determinante um das Vorzeichen. Wenn eine Skalierungsmatrix zum Faktor ist, so ist ihre Determinante gleich und entsteht aus , indem die -te mit multipliziert. Das ändert die Determinante um den Faktor . Wenn eine Additionsmatrix ist, so ist ihre Determinante gleich und entsteht aus , indem das -fache der -ten Zeile zur -ten Zeile hinzuaddiert wird. Das ändert die Determinante nicht.
  2. Sei

    ein Produkt von Elementarmatrizen. Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach , wobei sich der Induktionsanfang zu aus Teil (1) ergibt. Sei die Aussage für ein Produkt aus Elementarmatrizen schon bewiesen. Dann ist nach Teil (1) und der Induktionsvoraussetzung

    wobei sich die letzte Gleichung aus dem Spezialfall zu ergibt.

  3. Es sei zunächst . Dann ist nach Satz 16.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) die Matrix nicht invertierbar und damit ist auch nicht invertierbar und somit wiederum . Sei nun invertierbar. Dann gibt es eine Zerlegung

    in Elementarmatrizen, und die Aussage folgt aus Teil (2).


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Beschreibung des Signums mit Fehlständen.


Lösung

Wir schreiben

da nach dieser Umordnung sowohl im Zähler als auch im Nenner das Produkt aller positiven Differenzen steht.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme im Polynomring über einem Körper die invertierbaren Elemente, also Polynome , für die es ein weiteres Polynom mit gibt.


Lösung

Es sind genau die konstanten Polynome , invertierbar. Wegen besitzen diese ein Inverses. Das Nullpolynom ist sicher nicht invertierbar. Sei nun

ein nichtkonstantes Polynom, also und . Dann besitzt für jedes Polynom das Polynom

einen Grad , ist also nicht (und ).


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

eine quadratische Gleichung über einem Körper , und es sei eine Lösung davon. Zeige, dass auch eine Lösung der Gleichung ist.


Lösung

Wir behaupten, dass das Polynom die Faktorzerlegung

besitzt. Wenn man die rechte Seite ausmultipliziert, so stimmt der konstante Koeffizient und der Leitkoeffizient mit den Koeffizienten der linken Seite überein. Der lineare Koeffizient ist

so dass hier auch Überstimmung vorliegt. Wenn man nun rechts einsetzt, kommt offenbar raus, es liegt also eine Lösung vor.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Diagonalisierbarkeit und Eigenräume.


Lösung

Wenn diagonalisierbar ist, so gibt es eine Basis von aus Eigenvektoren. Es ist dann

Daher ist

wobei die Direktheit sich aus Lemma 22.2 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) ergibt. Wenn umgekehrt

vorliegt, so kann man in jedem der Eigenräume eine Basis wählen. Diese Basen bestehen aus Eigenvektoren und ergeben zusammen eine Basis von .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .


Lösung

Der Euklidische Algorithmus liefert:

Die Zahlen und sind also teilerfremd.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien und Vektorräume über der gleichen Dimension und es seien

und

Fahnen in bzw. . Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung

mit

für alle gibt.


Lösung

Aufgrund des Basisergänzungssatzes gibt es eine Basis

von mit

für alle . Entsprechend gibt es eine Basis

von mit

für alle . Aufgrund des Basisfestlegungssatzes gibt es eine lineare Abbildung

mit . Diese ist surjektiv, da das Bild ein Erzeugendensystem enthält, und somit bijektiv, da die Räume gleichdimensional sind. Nach Konstruktion gilt

wobei wegen der Dimension hier Gleichheit gilt.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, ob die Matrix

nilpotent ist.


Lösung

Wegen

ist ein Eigenwert der Matrix, sie kann also nicht nilpotent sein.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Matrizen

zueinander ähnlich sind.


Lösung

Die Matrix bildet

daher ist . Die Matrix bildet

daher ist . Die beiden Matrizen können also nicht die gleiche lineare Abbildung beschreiben und sind somit nicht zueinander ähnlich.