Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 25/latex
\setcounter{section}{25}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme, ob die reelle Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 7 & -3 \\ 2 & 7 & 5 \\0 & 0 & -6 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{}
ist oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}} { }
über
\mathl{\R}{} nicht
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme, ob die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\3 & 0 & 4 \end{pmatrix}} { }
über dem
\definitionsverweis {Körper mit fünf Elementen}{}{} \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{}
ist oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$, seien
\maabbdisp {\varphi_i} {V_i} {V_i
} {}
\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi = \varphi_1 \times \cdots \times \varphi_n} {V_1 \times \cdots \times V_n } {V_1 \times \cdots \times V_n
} {}
die
\definitionsverweis {Produktabbildung}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{}
ist, wenn dies für alle $\varphi_i$ gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {trigonalisierbarer Endomorphismus}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{P(\varphi)}{} ebenfalls trigonalisierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und \maabbdisp {{ \varphi }^{ * }} { { V }^{ * } } { { V }^{ * } } {} die \definitionsverweis {duale Abbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist, wenn ${ \varphi }^{ * }$ trigonalisierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{}
ist, wenn $\varphi$ bezüglich einer geeigneten
\definitionsverweis {Basis}{}{}
durch eine
\definitionsverweis {untere Dreiecksmatrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \ast & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \ast & \cdots & \ast & a_{ n-1} & 0 \\ \ast & \cdots & \cdots & \ast & a_{ n } \end{pmatrix}} { }
beschrieben wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige dass die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} von zwei \definitionsverweis {diagonalisierbaren}{}{} Abbildungen im Allgemeinen nicht \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige folgende Eigenschaften.
\aufzaehlungfuenf{Der
\definitionsverweis {Nullraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
$\varphi$-\definitionsverweis {invariant}{}{.}
}{
\mathl{V}{} ist
$\varphi$-\definitionsverweis {invariant}{}{.}
}{\definitionsverweis {Eigenräume}{}{}
sind $\varphi$-invariant.
}{Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1,U_2
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
$\varphi$-invariante Unterräume. Dann sind auch
\mathl{U_1 \cap U_2}{} und
\mathl{U_1 + U_2}{} $\varphi$-invariant.
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein $\varphi$-invarianter Unterraum. Dann sind auch der
\definitionsverweis {Bild\-raum}{}{}
\mathl{\varphi(U)}{} und der
\definitionsverweis {Urbildraum}{}{}
\mathl{\varphi^{-1}(U)}{} $\varphi$-invariant.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass der kleinste
$\varphi$-\definitionsverweis {invariante Unterraum}{}{}
von $V$, der $v$ enthält, gleich
\mathdisp {\langle \varphi^n(v) ,\, n \in \N \rangle} { }
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
$\varphi$-\definitionsverweis {invarianter Unterraum}{}{}
von $V$. Zeige, dass zu einem Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Raum $U$ ebenfalls
\mathl{P(\varphi)}{-}invariant ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$, bezüglich der die Matrix zur
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {obere Dreiecksmatrix}{}{}
sei. Zeige, dass die
\definitionsverweis {erzeugten Untervektorräume}{}{}
\mathdisp {\langle v_1 , \ldots , v_i \rangle} { }
$\varphi$-\definitionsverweis {invariant}{}{}
für jedes $i$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi
}
{ \in }{ S_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
und $M_\pi$ die zugehörige
\definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ J
}
{ \subseteq }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_J
}
{ =} { \langle e_j ,\, j \in J \rangle
}
{ \subseteq} { K^n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Zeige, dass $V_J$ genau dann
$M_\pi$-\definitionsverweis {invariant}{}{}
ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi(J)
}
{ \subseteq }{ J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
b) Zeige, dass es $M_\pi$-invariante Unterräume geben kann, die nicht von der Form $V_J$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Minimalpolynome}{}{}
der
\zusatzklammer {links oben} {} {}
Untermatrizen zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass es \definitionsverweis {Fahnen}{}{} in $V$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} {V_0
}
{ \subset} {V_1
}
{ \subset \ldots \subset} { V_{n-1}
}
{ \subset} { V_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {V
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
eine
\definitionsverweis {Fahne}{}{}
in $V$. Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{}
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
derart gibt, dass diese Fahne die einzige
$\varphi$-\definitionsverweis {invariante Fahne}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} mit $q$ Elementen und $V$ ein \definitionsverweis {zweidimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Bestimme die Anzahl der \definitionsverweis {Fahnen}{}{} in $V$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ der \definitionsverweis {Körper mit drei Elementen}{}{} und $V$ ein \definitionsverweis {dreidimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Bestimme die Anzahl der \definitionsverweis {Fahnen}{}{} in $V$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Matrix über einem Körper $K$.
a) Zeige, dass es eine zu $M$ \definitionsverweis {ähnliche Matrix}{}{} gibt, in der mindestens ein Eintrag gleich $0$ ist.
b) Zeige, dass es nicht unbedingt eine zu $M$ ähnliche Matrix geben muss, in der mindestens zwei Einträge gleich $0$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} ein \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. Zeige, dass $\varphi$ genau dann eine \definitionsverweis {Streckung}{}{} ist, wenn die beschreibende Matrix unabhängig von den gewählten Basen ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
\definitionsverweis {Trigonalisiere}{}{}
die komplexe Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2+ { \mathrm i} & 3 \\ 5 { \mathrm i} & 1- { \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 5 & -1 & 3 \\ 7 & 9 & 8 \\ 6 & 2 & -7 \end{pmatrix}} { }
über $\R$
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme, ob die reelle Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 5 & 6 & 2 \\ 5 & 7 & -4 & -3 \\ 0 & 0 & -2 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 9 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{}
ist oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathl{M}{} eine
\definitionsverweis {reelle}{}{}
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{,}
die über $\R$ nicht
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{}
ist. Zeige, dass $M$ über ${\mathbb C}$
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Matrix über $\Q$, deren
\definitionsverweis {Spur}{}{}
gleich $0$ sei. Zeige, dass es eine zu $M$
\definitionsverweis {ähnliche Matrix}{}{}
$N$ der Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & r \\ s & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
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