Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 25

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Zeige, dass die Matrix

trigonalisierbar ist.




Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme, ob die reelle Matrix

trigonalisierbar ist oder nicht.


Aufgabe

Zeige, dass die Matrix

über nicht trigonalisierbar ist.


Aufgabe

Bestimme, ob die Matrix

über dem Körper mit fünf Elementen trigonalisierbar ist oder nicht.


Aufgabe *

Es seien endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper , seien

lineare Abbildungen und es sei

die Produktabbildung. Zeige, dass genau dann trigonalisierbar ist, wenn dies für alle gilt.


Aufgabe

Es sei ein trigonalisierbarer Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen -Vektorraum und sei ein Polynom. Zeige, dass ebenfalls trigonalisierbar ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung und

die duale Abbildung. Zeige, dass genau dann trigonalisierbar ist, wenn trigonalisierbar ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann trigonalisierbar ist, wenn bezüglich einer geeigneten Basis durch eine untere Dreiecksmatrix

beschrieben wird.


Aufgabe

Zeige dass die Hintereinanderschaltung von zwei diagonalisierbaren Abbildungen im Allgemeinen nicht trigonalisierbar sein muss.


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Zeige folgende Eigenschaften.

  1. Der Nullraum ist -invariant.
  2. ist -invariant.
  3. Eigenräume sind -invariant.
  4. Seien -invariante Unterräume. Dann sind auch und -invariant.
  5. Sei ein -invarianter Unterraum. Dann sind auch der Bildraum und der Urbildraum -invariant.


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung und . Zeige, dass der kleinste -invariante Unterraum von , der enthält, gleich

ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Es sei

ein -invarianter Unterraum von . Zeige, dass zu einem Polynom der Raum ebenfalls -invariant ist.


Aufgabe

Es sei eine Basis von , bezüglich der die Matrix zur linearen Abbildung

eine obere Dreiecksmatrix sei. Zeige, dass die erzeugten Untervektorräume

-invariant für jedes sind.


Aufgabe

Es sei eine Permutation und die zugehörige Permutationsmatrix über einem Körper . Zu sei

a) Zeige, dass genau dann -invariant ist, wenn ist.

b) Zeige, dass es -invariante Unterräume geben kann, die nicht von der Form sind.


Aufgabe

Bestimme die Minimalpolynome der (links oben) Untermatrizen zu


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Zeige, dass es Fahnen in gibt.


Aufgabe *

Es sei ein -dimensionaler -Vektorraum über einem Körper . Es sei

eine Fahne in . Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung

derart gibt, dass diese Fahne die einzige -invariante Fahne ist.


Aufgabe

Es sei ein endlicher Körper mit Elementen und ein zweidimensionaler -Vektorraum. Bestimme die Anzahl der Fahnen in .


Aufgabe

Es sei der Körper mit drei Elementen und ein dreidimensionaler -Vektorraum. Bestimme die Anzahl der Fahnen in .


Aufgabe *

Es sei

eine Matrix über einem Körper .

a) Zeige, dass es eine zu ähnliche Matrix gibt, in der mindestens ein Eintrag gleich ist.

b) Zeige, dass es nicht unbedingt eine zu ähnliche Matrix geben muss, in der mindestens zwei Einträge gleich sind.


Aufgabe

Es sei

ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum . Zeige, dass genau dann eine Streckung ist, wenn die beschreibende Matrix unabhängig von den gewählten Basen ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Trigonalisiere die komplexe Matrix


Aufgabe (4 Punkte)

Entscheide, ob die Matrix

über trigonalisierbar ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, ob die reelle Matrix

trigonalisierbar ist oder nicht.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine reelle -Matrix, die über nicht trigonalisierbar ist. Zeige, dass über diagonalisierbar ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine Matrix über , deren Spur gleich sei. Zeige, dass es eine zu ähnliche Matrix der Gestalt

gibt.


<< | Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)