Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 26

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von $X^2-1$ und $X^3-1$ sowie eine Darstellung davon.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von $X-1$ und $X-2$ sowie eine Darstellung davon.

Aufgabe

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von $X^4-X^3+7X^2-5X+11$ und $X^3-6X^2+4X+6$ sowie eine Darstellung davon.

Aufgabe

Bestimme in $\mathbb{Q}[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome $P=X^3+2X^2+5X+2$ und $Q=X^2+4X-3$.

Aufgabe *

Bestimme in $\mathbb{Q}[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome $P=X^9-1$ und $Q=X^3-1$.

Aufgabe

Bestimme in $ℝ[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome $P=X^3+\pi X^2+7$ und $Q=X^2+\sqrt{7}X-\sqrt{2}$.

Aufgabe

Bestimme in ${𝔽}_5[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome $P=X^4+3X^3+X^2+4X+2$ und $Q=2X^3+4X^2+X+3$.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$ und seien  $F,G\in K[X]$  zwei Polynome. Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung. Zeige, dass $F$ ein Teiler von $G$ in $K[X]$ genau dann ist, wenn $F$ ein Teiler von $G$ in $L[X]$ ist.

Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den euklidischen Algorithmus für ganze Zahlen, der völlig analog zum euklidischen Algorithmus für Polynome läuft.

Aufgabe

Die Wasserspedition „Alles im Eimer“ verfügt über einen $7$- und einen $10$-Liter-Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Kann sie diesen Auftrag erfüllen?

Aufgabe *

Bestimme in $\mathbb{Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $1071$ und $1029$.

Aufgabe

Bestimme in $\mathbb{Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $2956$ und $2444$.

Aufgabe *

Man bestimme den größten gemeinsamen Teiler von $3146$ und $1515$ und man gebe eine Darstellung des $\mathrm{ggT}$ von $3146$ und $1515$ mittels dieser Zahlen an.

Aufgabe

Bestimme die Kerne der Potenzen $M^i$ zur Matrix

$M=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$

Aufgabe

Bestimme die Kerne der Potenzen $M^i$ zur Matrix

$M=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$

Aufgabe

Es sei

$M=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 7\\ 0& 3& 5\\ 0& 0& 3\end{array}\right).$

Bestimme die Kerne zu den Potenzen

${(3E_3-M)}^i.$

Aufgabe

Bestimme die Haupträume zur Matrix

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2& 3\\ 0& 0& 0& 2\end{array}\right).$

Aufgabe

Zeige, dass für eine diagonalisierbare Abbildung

$\phi :V⟶V$

und jedes  $\lambda \in K$  die Gleichheit

${\mathrm{Eig}}_{\lambda }\left(\phi \right)={\mathrm{Haupt}}_{\lambda }(\phi )$

gilt.

Aufgabe

Es sei

$\phi :V⟶V$

eine trigonalisierbare Abbildung. Zeige, dass $\phi$ genau dann diagonalisierbar ist, wenn für jedes  $\lambda \in K$  die Gleichheit

${\mathrm{Eig}}_{\lambda }\left(\phi \right)={\mathrm{Haupt}}_{\lambda }(\phi )$

gilt.

Aufgabe

Es sei

$\phi :V⟶V$

ein trigonalisierbarer Endomorphismus und

$V=H_1\oplus \cdots \oplus H_m$

die direkte Summenzerlegung in Haupträume im Sinne von Satz 26.12. Zeige, dass es eine $\phi$-invariante Fahne $V_i$ derart gibt, dass in der Fahne die Untervektorräume

$H_1,H_1\oplus H_2,\dots ,H_1\oplus \cdots \oplus H_j$

für  $j=1,\dots ,m$  auftreten.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in $ℂ[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome $X^3+(2-\mathrm{i})X^2+4$ und $(3-\mathrm{i})X^2+5X-3$.

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten eine digitale Uhr, die $24$ Stunden, $60$ Minuten und $60$ Sekunden anzeigt. Zur Karnevalszeit läuft sie aber nicht in Sekundenschritten, sondern addiert, ausgehend von der Nullstellung, in jedem Zählschritt immer $11$ Stunden, $11$ Minuten und $11$ Sekunden dazu. Wird bei dieser Zählweise jede mögliche digitale Anzeige erreicht? Nach wie vielen Schritten kehrt zum ersten Mal die Nullstellung zurück?

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und

$\phi :V⟶V$

eine lineare Abbildung. Es sei  $P\in K[X]$  ein Polynom. Zeige, dass

$\mathrm{kern}(P(\phi ))$

ein $\phi$-invarianter Untervektorraum ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Haupträume zur Matrix

$\left(\begin{array}{cccccc}4& 0& 0& 5& 0& 0\\ 0& 1& 3& 0& 6& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 5& 2& 7\\ 0& 0& 0& 0& 5& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 5\end{array}\right).$