Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 26

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von und sowie eine Darstellung davon.




Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von und sowie eine Darstellung davon.


Aufgabe

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von und sowie eine Darstellung davon.


Aufgabe

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome und .


Aufgabe *

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome und .


Aufgabe

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome und .


Aufgabe

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome und .


Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über und seien zwei Polynome. Es sei eine Körpererweiterung. Zeige, dass ein Teiler von in genau dann ist, wenn ein Teiler von in ist.


Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den euklidischen Algorithmus für ganze Zahlen, der völlig analog zum euklidischen Algorithmus für Polynome läuft.

Aufgabe

Die Wasserspedition „Alles im Eimer“ verfügt über einen - und einen -Liter-Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Kann sie diesen Auftrag erfüllen?


Aufgabe *

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .


Aufgabe

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .


Aufgabe *

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von und und gebe eine Darstellung des von und mittels dieser Zahlen an.


Aufgabe

Bestimme die Kerne der Potenzen zur Matrix


Aufgabe

Bestimme die Kerne der Potenzen zur Matrix


Aufgabe

Es sei

Bestimme die Kerne zu den Potenzen


Aufgabe

Bestimme die Haupträume zur Matrix


Aufgabe

Zeige, dass für eine diagonalisierbare Abbildung

und jedes die Gleichheit

gilt.


Aufgabe

Es sei

eine trigonalisierbare Abbildung. Zeige, dass genau dann diagonalisierbar ist, wenn für jedes die Gleichheit

gilt.


Aufgabe

Es sei

ein trigonalisierbarer Endomorphismus und

die direkte Summenzerlegung in Haupträume im Sinne von Satz 26.12. Zeige, dass es eine -invariante Fahne derart gibt, dass in der Fahne die Untervektorräume

für auftreten.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome und .


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten eine digitale Uhr, die Stunden, Minuten und Sekunden anzeigt. Zur Karnevalszeit läuft sie aber nicht in Sekundenschritten, sondern addiert, ausgehend von der Nullstellung, in jedem Zählschritt immer Stunden, Minuten und Sekunden dazu. Wird bei dieser Zählweise jede mögliche digitale Anzeige erreicht? Nach wie vielen Schritten kehrt zum ersten Mal die Nullstellung zurück?


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Es sei ein Polynom. Zeige, dass

ein -invarianter Untervektorraum ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Haupträume zur Matrix


<< | Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)