Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 26
- Die Pausenaufgabe
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von und sowie eine Darstellung davon.
- Übungsaufgaben
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von und sowie eine Darstellung davon.
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von und sowie eine Darstellung davon.
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome und .
![{\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05854fb7f5090d865105d7297fa178c8eb802fbf)
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome und .
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome und .
![{\displaystyle {}\mathbb {R} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52a170b822ae65cbe9d1cb122f493fcd88305b7f)
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome und .
![{\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{5}[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/331da43c9199a772b8d62e29d2918754f18351de)
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über und seien zwei Polynome. Es sei eine Körpererweiterung. Zeige, dass ein Teiler von in genau dann ist, wenn ein Teiler von in ist.
![{\displaystyle {}K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7861df9df3d7463835d927c4d0d4c27f5e2f8416)
![{\displaystyle {}F,G\in K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d2554b15433a4f1cc8f6ec612b0369190dbb2bf)
![{\displaystyle {}L[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d5815a5136aa33922f4b4abca07494764a41de7)
Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den euklidischen Algorithmus für ganze Zahlen, der völlig analog zum euklidischen Algorithmus für Polynome läuft.
Die Wasserspedition „Alles im Eimer“ verfügt über einen - und einen -Liter-Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Kann sie diesen Auftrag erfüllen?
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .
Man bestimme den größten gemeinsamen Teiler von und und man gebe eine Darstellung des von und mittels dieser Zahlen an.
Bestimme die Kerne der Potenzen zur Matrix
Bestimme die Haupträume zur Matrix
Es sei
eine trigonalisierbare Abbildung. Zeige, dass genau dann diagonalisierbar ist, wenn für jedes die Gleichheit
gilt.
Es sei
ein trigonalisierbarer Endomorphismus und
die direkte Summenzerlegung in Haupträume im Sinne von Satz 26.12. Zeige, dass es eine - invariante Fahne derart gibt, dass in der Fahne die Untervektorräume
für auftreten.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome und .
![{\displaystyle {}{\mathbb {C} }[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c156a1899277cd3bf3b7edc239bc1abafd7339a7)
Aufgabe (5 Punkte)
Wir betrachten eine digitale Uhr, die Stunden, Minuten und Sekunden anzeigt. Zur Karnevalszeit läuft sie aber nicht in Sekundenschritten, sondern addiert, ausgehend von der Nullstellung, in jedem Zählschritt immer Stunden, Minuten und Sekunden dazu. Wird bei dieser Zählweise jede mögliche digitale Anzeige erreicht? Nach wie vielen Schritten kehrt zum ersten Mal die Nullstellung zurück?
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und
eine lineare Abbildung. Es sei ein Polynom. Zeige, dass
![{\displaystyle {}P\in K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4692e3ffcbd66e900f8975113ff3f32f1cabc21a)
ein - invarianter Untervektorraum ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme die Haupträume zur Matrix
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