Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 28/latex

\setcounter{section}{28}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}} { }
und die drei Zerlegungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Welche ist \zusatzklammer {sind} {} {} die kanonische additive Zerlegung im Sinne von Satz 28.1 \zusatzklammer {und bezüglich welcher Basis} {} {?}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D }
{ =} { \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_{ n-1\, n-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_{ n n} \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass $D$ mit jeder anderen
\mathl{n \times n}{-}Matrix $M$ genau dann kommutiert, wenn alle Diagonaleinträge übereinstimmen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe die \definitionsverweis {direkte Summenzerlegung}{}{} der $p_i$ bezüglich der Haupträume aus dem Beweis zu Satz 28.1.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^2} {\R^2 } {} werde bezüglich der \definitionsverweis {Standardbasis}{}{} durch die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}} { }
beschrieben. Finde eine \definitionsverweis {Basis}{}{,} bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}} { }
beschrieben wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3 } {} werde bezüglich der Standardbasis durch die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} -2 & 2 & 7 \\ 0 & -2 & -6 \\0 & 0 & -2 \end{pmatrix}} { }
beschrieben. Finde eine \definitionsverweis {Basis}{}{,} bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\0 & 0 & -2 \end{pmatrix}} { }
beschrieben wird.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme zur reellen Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} {\begin{pmatrix} 3 & 5 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & 6 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionsverweis {jordansche Normalform}{}{.} \zusatzklammer {Es muss keine Basis angegeben werden, bezü\-glich der jordansche Normalform vorliegt.} {} {}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {nilpotente}{}{} $n \times n$-\definitionsverweis {Jordanmatrix}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Kerne}{}{}
\mathl{\operatorname{kern} M^{i}}{} eine \definitionsverweis {Fahne}{}{} in $K^n$ bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine $n \times n$-\definitionsverweis {Jordanmatrix}{}{} zum \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $\lambda$. Bestimme das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} von $M$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} mit den \definitionsverweis {Jordanblöcken}{}{}
\mathl{J_1 , \ldots , J_k}{,} wobei die Diagonaleinträge konstant gleich $\lambda$ seien. Bestimme das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} von $M$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $M$ eine Matrix in \definitionsverweis {jordanscher Normalform}{}{,} wobei nur ein \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} auftrete. Zeige, dass die Anzahl der Jordanblöcke in $M$ gleich der Dimension des \definitionsverweis {Eigenraumes}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das Produkt von zwei Matrizen in \definitionsverweis {jordanscher Normalform}{}{} nicht in jordanscher Normalform sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} in \definitionsverweis {jordanscher Normalform}{}{} und es sei $D$ die zugehörige Diagonalmatrix. Zeige, dass die kanonische additive Zerlegung im Sinne von Satz 28.1 gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} {D+(M-D) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} {\begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige durch Induktion, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^n }
{ =} {\begin{pmatrix} \lambda^n & n \lambda^{n-1} \\ 0 & \lambda^n \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

Man sagt, dass ein Körper $K$ \stichwort {positive Charakteristik} {} besitzt, wenn für eine positive natürliche Zahl
\mathl{p \in \N_+}{} die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. Die Körper $\Q,\R,{\mathbb C}$ haben diese Eigenschaft nicht, man sagt, dass sie Charakteristik $0$ haben. Endliche Körper haben positive Charakteristik, und zwar ist die Charakteristik immer eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} mit \definitionsverweis {positiver Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}} { }
die \definitionsverweis {endliche Ordnung}{}{} $p$ besitzt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3 } {} werde bezüglich der Standardbasis durch die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 5 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix}} { }
beschrieben. Finde eine \definitionsverweis {Basis}{}{,} bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix}} { }
beschrieben wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme eine Basis, bezüglich der die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & -6 & 0 & -1 \\ 0 & 5 & 2 & 7 \\ 0 & 0 & 4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebene lineare Abbildung \definitionsverweis {jordansche Normalform}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {Jordanmatrix}{}{} zum \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $\lambda$. Zeige, dass der \definitionsverweis {Eigenraum}{}{} von $M$ zum Eigenwert $\lambda$ eindimensional ist und dass es keine weiteren \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} ein \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{,} der bezüglich einer geeigneten \definitionsverweis {Basis}{}{} durch eine $n \times n$-\definitionsverweis {Jordanmatrix}{}{} beschrieben wird. Zeige, dass es keine \definitionsverweis {direkte Summenzerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V }
{ =} { U \oplus W }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in $\varphi$-\definitionsverweis {invariante}{}{} \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U,W }
{ \subset }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{8 (4+2+2)}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und ein \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$ fixiert. Zu einer \definitionsverweis {nilpotenten}{}{} $n \times n$-Matrix $M$ sei
\mathl{\exp M}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp M }
{ =} { \sum_{k = 0}^{n} { \frac{ 1 }{ k! } } M^{k} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert.

a) Zeige, dass für \definitionsverweis {vertauschbare}{}{} nilpotente Matrizen
\mathl{M,N}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp { \left( M+N \right) } }
{ =} { \exp M \circ \exp N }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

b) Zeige, dass für eine nilpotente Matrix $M$ die Matrix
\mathl{\exp M}{} \definitionsverweis {invertierbar}{}{} ist.

c) Zeige, dass für eine nilpotente Matrix $M$ die Matrix
\mathl{\exp M}{} \definitionsverweis {unipotent}{}{} ist.

}
{} {}