Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 28

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Betrachte die Matrix

und die drei Zerlegungen

und

Welche ist (sind) die kanonische additive Zerlegung im Sinne von Satz 28.1 (und bezüglich welcher Basis)?




Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei

Zeige, dass mit jeder anderen -Matrix genau dann kommutiert, wenn alle Diagonaleinträge übereinstimmen.


Aufgabe

Beschreibe die direkte Summenzerlegung der bezüglich der Haupträume aus dem Beweis zu Satz 28.1.


Aufgabe

Eine lineare Abbildung

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix

beschrieben wird.


Aufgabe

Eine lineare Abbildung

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix

beschrieben wird.


Aufgabe *

Bestimme zur reellen Matrix

die jordansche Normalform. (Es muss keine Basis angegeben werden, bezüglich der jordansche Normalform vorliegt.)


Aufgabe *

Es sei eine nilpotente -Jordanmatrix. Zeige, dass die Kerne eine Fahne in bilden.


Aufgabe

Es sei eine -Jordanmatrix zum Eigenwert . Bestimme das Minimalpolynom von .


Aufgabe

Es sei eine -Matrix mit den Jordanblöcken , wobei die Diagonaleinträge konstant gleich seien. Bestimme das Minimalpolynom von .


Aufgabe *

Es sei eine Matrix in jordanscher Normalform, wobei nur ein Eigenwert auftrete. Zeige, dass die Anzahl der Jordanblöcke in gleich der Dimension des Eigenraumes ist.


Aufgabe

Zeige, dass das Produkt von zwei Matrizen in jordanscher Normalform nicht in jordanscher Normalform sein muss.


Aufgabe

Es sei eine -Matrix in jordanscher Normalform und es sei die zugehörige Diagonalmatrix. Zeige, dass die kanonische additive Zerlegung im Sinne von Satz 28.1 gleich

ist.


Aufgabe *

Es sei

mit . Zeige durch Induktion, dass

ist.


Man sagt, dass ein Körper positive Charakteristik besitzt, wenn für eine positive natürliche Zahl die Gleichung gilt. Die Körper haben diese Eigenschaft nicht, man sagt, dass sie Charakteristik haben. Endliche Körper haben positive Charakteristik, und zwar ist die Charakteristik immer eine Primzahl.

Aufgabe

Es sei ein Körper mit positiver Charakteristik . Zeige, dass die Matrix

die endliche Ordnung besitzt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Eine lineare Abbildung

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix

beschrieben wird.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme eine Basis, bezüglich der die durch

gegebene lineare Abbildung jordansche Normalform besitzt.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine Jordanmatrix zum Eigenwert . Zeige, dass der Eigenraum von zum Eigenwert eindimensional ist und dass es keine weiteren Eigenvektoren gibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

ein Endomorphismus, der bezüglich einer geeigneten Basis durch eine -Jordanmatrix beschrieben wird. Zeige, dass es keine direkte Summenzerlegung

in -invariante Untervektorräume gibt.


Aufgabe (8 (4+2+2) Punkte)

Es seien und ein Körper der Charakteristik fixiert. Zu einer nilpotenten -Matrix sei durch

definiert.

a) Zeige, dass für vertauschbare nilpotente Matrizen die Gleichheit

gilt.

b) Zeige, dass für eine nilpotente Matrix die Matrix invertierbar ist.

c) Zeige, dass für eine nilpotente Matrix die Matrix unipotent ist.


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