Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 29

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Legen Sie den Verbindungsvektor von ihrem linken Ohr zum rechten kleinen Finger ihres Vordermanns parallel an die Nasenspitze Ihres linken Nachbars an. Was ist das Ergebnis?




Übungsaufgaben

Aufgabe

Die Zeit ist eine affine Gerade über . Legen Sie den Verbindungsvektor vom Zeitpunkt Ihres ersten Milchzahns bis zum Zeitpunkt Ihrer Einschulung an den jetzigen Moment an. Was ist das Ergebnis?


Aufgabe

Es sei ein Vektorraum, ein Untervektorraum und ein affiner Unterraum. Zeige, dass man für jeden Punkt auch schreiben kann.


Aufgabe

Es sei ein Vektorraum und ein affiner Unterraum. Zeige, dass genau dann ein Untervektorraum von ist, wenn die enthält.


Aufgabe

Es sei

Bestimme für die Menge

eine Beschreibung mit Hilfe eines Aufpunktes und eines Verschiebungsraumes.


Aufgabe

Es sei

Bestimme für die Menge

eine Beschreibung mit Hilfe eines Aufpunktes und eines Verschiebungsraumes.


Aufgabe

Es sei und ein Körper fixiert. Es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben. Zeige, dass die Menge der Polynome vom Grad maximal mit

für einen affinen Unterraum von bilden. Was ist der zugehörige Untervektorraum? Was kann man über die Dimension von sagen, wann ist leer?


Aufgabe *

Es sei ein affiner Raum über dem -Vektorraum . Zeige die folgenden Identitäten in .

  1. für .
  2. für .
  3. für ,


Aufgabe

Zeige, dass die leere Menge ein affiner Raum im Sinne der Definition 29.4 ist, und zwar über jedem -Vektorraum .


Aufgabe

Es sei ein nichtleerer affiner Raum über einem -Vektorraum . Es sei ein fixierter Punkt und

die zugehörige Bijektion. Mit Hilfe dieser Bijektion identifizieren wir mit

durch die Abbildung

a) Zeige, dass ein affiner Unterraum von ist mit dem Translationsraum .

b) Zeige

für alle .


Aufgabe

Vierpunkte.png

Bestimme zeichnerisch den Punkt, der durch die baryzentrische Kombination

im Bild rechts gegeben ist. Starte dabei mit verschiedenen Aufpunkten.


Aufgabe *

Es sei , , eine Familie von Punkten in einem affinen Raum . Zeige, dass durch eine baryzentrische Kombination ein eindeutiger Punkt in definiert wird.


Aufgabe

Es sei ein Vektorraum über , den wir als einen affinen Raum auffassen. Es sei mit , und eine baryzentrische Kombination. Zeige, dass der dadurch definierte Punkt im affinen Raum gleich der Vektorsumme ist.

Barycentric RGB.png

Aufgabe

Geben Sie die baryzentrischen Koordinaten Ihrer Lieblingsfarbe bei additiver Farbmischung an.


Aufgabe

Es sei ein affiner Raum über einem -Vektorraum und es sei eine endliche Familie von Punkten aus . Für sei durch

mit eine Familie von baryzentrischen Kombinationen der gegeben. Es seien mit . Zeige, dass man

als baryzentrische Kombination der schreiben kann.


Aufgabe

Stellen Sie sich vier Punkte im Anschauungsraum vor, die eine affine Basis bilden.


Aufgabe

Stellen Sie sich vier Punkte im Anschauungsraum vor, die keine affine Basis des Raumes bilden, wo aber je drei der Punkte eine affine Basis einer affinen Ebene bilden.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

Bestimme für die Menge

eine Beschreibung mit Hilfe eines Aufpunktes und eines Verschiebungsraumes.


Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Es sei ein -Vektorraum Wir betrachten die Menge

die ein affiner Raum über ist.

a) Zeige, dass die Punkte

genau dann eine affine Basis von bilden, wenn die (aufgefasst als Vektoren in ) eine Vektorraumbasis von bilden.

b) Zeige, dass in diesem Fall zu einem Punkt die baryzentrischen Koordinaten von bezüglich gleich den Koordinaten von bezüglich der Vektorraumbasis ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und affine Räume über dem Körper . Zeige, dass der Produktraum ebenfalls ein affiner Raum ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und affine Räume über dem Körper mit einer affinen Basis von und einer affinen Basis von . Zeige, dass

eine affine Basis des Produktraumes ist.


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