Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Vorlesung 14/latex
\setcounter{section}{14}
\epigraph { ... der Vorwurf, das moderne Gedicht sei \anfuehrung{unverständlich}{.} An ihm ist bemerkenswert, daß er nicht spezifisch, im Hinblick auf den einen oder anderen Text, sondern stets pauschal erhoben wird. Das legt den Verdacht nahe, daß er nicht in wirklichen Leseerfahrungen, sondern im Ressentiment gründet. } { Hans Magnus Enzensberger }
\zwischenueberschrift{Linearformen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {} {V } {K } {} heißt eine \definitionswort {Linearform}{} auf $V$.
}
\inputbeispiel{}
{
Eine
\definitionsverweis {Linearform}{}{}
auf dem $K^n$ ist von der Form
\maabbeledisp {} {K^n} {K
} { \left( x_1 , \, \ldots , \, x_n \right) } { \sum_{i =1 }^n a_ix_i
} {,}
zu einem Tupel
\mathl{\left( a_1 , \, \ldots , \, a_n \right)}{.} Besonders einfache Linearformen sind die Projektionen
\maabbeledisp {p_j} {K^n} {K
} { \left( x_1 , \, \ldots , \, x_n \right) } { x_j
} {.}
Die Nullabbildung nach $K$ ist ebenfalls eine Linearform, die man auch die \stichwort {Nullform} {} nennt.
}
Wir haben schon eine Vielzahl von Linearformen kennengelernt, beispielsweise die Preisfunktion bei einem Einkauf verschiedener Produkte oder der Vitamingehalt von Obstsalaten aus verschiedenen Obstsorten. Bezüglich einer Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} von $V$ und einer Basis $w$ von $K$
\zusatzklammer {dabei ist $w$ einfach ein von $0$ verschiedenes Element aus $K$} {} {}
besteht die beschreibende Matrix zu einer Linearform einfach aus einer Zeile mit $n$ Einträgen.
\inputbemerkung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Zu einer
\definitionsverweis {Linearform}{}{}
\maabbdisp {f} {V} {K
} {}
und einem Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Abbildung
\maabbeledisp {fw} {V} {W
} {v} {f(v) w
} {,}
\definitionsverweis {linear}{}{.}
Es handelt sich einfach um die Hintereinanderschaltung
\mathdisp {V \stackrel{f}{\longrightarrow} K \stackrel{\iota_w}{\longrightarrow} W} { , }
wobei $\iota_w$ die Abbildung
\maabb {} {s} {sw
} {}
bezeichnet.
}
\inputbeispiel{}
{
Eine Reihe von prominenten Bespielen von Linearformen auf unendlichdimensionalen Vektorräumen finden sich in der Analysis. Zu einem reellen Intervall
\mathl{[a,b]}{} sind die Menge der Funktionen
\mathl{\operatorname{Abb} ( [a,b], \R)}{} bzw. die Menge der stetigen Funktionen
\mathl{C([a,b],\R)}{} bzw. die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen
\mathl{C^1([a,b],\R)}{} reelle
\zusatzklammer {ineinander enthaltene} {} {}
Vektorräume. Zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist jeweils die Auswertung
\mathl{f \mapsto f(P)}{} eine Linearform
\zusatzklammer {wegen der punktweise definierten Addition und Skalarmultiplikation auf diesen Räumen} {} {.}
Ebenso ist die Auswertung der Ableitung
\maabbeledisp {} { C^1([a,b],\R) } {\R
} {f} {f'(P)
} {,}
eine Linearform. Für
\mathl{C([a,b],\R)}{} ist ferner das Integral, also die Abbildung
\maabbeledisp {} { C([a,b],\R)} { \R
} {f} { \int_a^b f(t) dt
} {,}
eine Linearform. Dies beruht auf der Linearität des Integrals.
}
Der Kern der Nullform ist der gesamte Raum, ansonsten besitzt der Kern einer jeden Linearform
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , K \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Dimension
\mathl{\dim_{ K } { \left( V \right) } -1}{.} Dies folgt aus
der Dimensionsformel.
Abgesehen von der Nullform ist eine Linearform stets surjektiv.
{Hyperfläche/Kern einer Linearform/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein $n-1$-dimensionaler
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine
\definitionsverweis {Linearform}{}{}
\maabb {f} {V} {K
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ \operatorname{kern} f
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 14.5. }
\inputfaktbeweis
{Vektor/Linearform/Nulltest/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein von $0$ verschiedener Vektor.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine
\definitionsverweis {Linearform}{}{}
\maabb {f} {V} {K
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(v)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Der eindimensionale
$K$-\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Kv
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt ein
\definitionsverweis {direktes Komplement}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { Kv \oplus U
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Projektion auf $Kv$ zu dieser Zerlegung bildet $v$ auf $1$ ab.
{Lineare Unabhängigkeit/Test mit Linearformen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Zu jedem $k$ gebe es eine
\definitionsverweis {Linearform}{}{}
\maabbdisp {\varphi_k} { V} {K
} {}
mit
\mathdisp {\varphi_k(v_k) \neq 0 \text{ und } \varphi_k(v_i) = 0 \text{ für } i \neq k} { . }
}
\faktfolgerung {Dann sind die
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{}
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 14.6. }
\zwischenueberschrift{Der Dualraum}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Dann heißt der
\definitionsverweis {Homomorphismenraum}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { V }^{ * }
}
{ =} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , K \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der \definitionswort {Dualraum}{} zu $V$.
}
Die Addition und die Skalarmultiplikation sind wie allgemein im Fall von Homomorphismenräumen definiert, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(f+g)(v)
}
{ \defeq }{f(v)+g(v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(s f)(v)
}
{ \defeq }{s \cdot f(v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bei endlichdimensionalem $V$ ist nach
Korollar 13.12
die Dimension des Dualraumes ${ V }^{ * }$ gleich der Dimension von $V$.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{.} Dann nennt man die
\definitionsverweis {Linearformen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_1^* , \ldots , v_n^*
}
{ \in} { { V }^{ * }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die durch\zusatzfussnote {Das so definierte Symbol heißt
\definitionsverweis {Kronecker-Delta}{}{}} {.} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_i^* (v_j)
}
{ =} { \delta_{ij}
}
{ =} { \begin{cases} 1, \text{ falls } i = j\, ,\\ 0, \text{ falls } i \neq j\, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
festgelegt sind, die
\definitionswort {Dualbasis}{}
zur gegebenen Basis.
}
Wegen
Satz 10.9
ist durch die Vorschrift in der Tat jeweils eine Linearform festgelegt. Die Linearform $v_i^*$ ordnet einem beliebigen Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die $i$-te Koordinate von $v$ bezüglich der gegebenen Basis zu. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{\sum_{j = 1}^n s_jv_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist ja
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_i^*(v)
}
{ =} { v_i^* { \left( \sum_{j = 1}^n s_jv_j \right) }
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n s_j v_i^*(v_j)
}
{ =} { s_i
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist wichtig zu betonen, dass $v_i^*$ nicht nur von dem Vektor $v_i$, sondern von der gesamten Basis abhängt. Es gibt keinen \anfuehrung{dualen Vektor}{} zu einem Vektor. Dies sieht beispielsweise anders aus, wenn auf $V$ ein Skalarprodukt gegeben ist.
\inputbeispiel{}
{
Zur
\definitionsverweis {Standardbasis}{}{}
\mathl{e_1 , \ldots , e_n}{} im $K^n$ besteht die
\definitionsverweis {Dualbasis}{}{}
aus den Projektionen auf eine Komponente, also
gleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e_i^*
}
{ = }{p_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\maabbeledisp {p_i} { K^n} { K
} { \left( x_1 , \, \ldots , \, x_n \right) } { x_i
} {.}
Sie heißt die \stichwort {Standarddualbasis} {.}
}
\inputfaktbeweis
{Endlichdimensionaler Vektorraum/Dualbasis ist Basis/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{.}}
\faktfolgerung {Dann bildet die
\definitionsverweis {Dualbasis}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_1^* , \ldots , v_n^*
}
{ \in} { { V }^{ * }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Basis des
\definitionsverweis {Dualraums}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sum_{j = 1}^n a_jv_j^*
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_j
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn wir diese Linearform auf $v_i$ anwenden, ergibt sich direkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_i
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die
\mathl{v_1^* , \ldots , v_n^*}{} sind also
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{.}
Nach
Korollar 13.12
besitzt der Dualraum die Dimension $n$, daher muss bereits eine Basis vorliegen.
\inputfaktbeweis
{Basis/Dualbasis/Tautologisches Lemma/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} und der
\definitionsverweis {Dualbasis}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_1^* , \ldots , v_n^*
}
{ \in} { { V }^{ * }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt für jeden Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} { \sum_{i = 1 }^n v_i^*(v) v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {D.h. die Linearformen $v_i^*$ ergeben die Skalare
\zusatzklammer {Koordinaten} {} {}}
\faktzusatz {}
eines Vektors bezüglich einer Basis.
}
{
Der Vektor $v$ hat eine eindeutige Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} { \sum_{j =1}^n s_j v_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_j
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die rechte Seite der behaupteten Gleichheit ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1 }^n v_i^*(v) v_i
}
{ =} { \sum_{i = 1 }^n v_i^* { \left( \sum_{j =1}^n s_j v_j \right) } v_i
}
{ =} { \sum_{i = 1 }^n s_i v_i
}
{ =} { v
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Dualbasis/Basiswechsel/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$ mit der
\definitionsverweis {Dualbasis}{}{}
\mathl{v_1^* , \ldots , v_n^*}{.} Es sei
\mathl{w_1 , \ldots , w_n}{} eine weitere Basis mit der
Dualbasis
\mathl{w_1^* , \ldots , w_n^*}{} und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w_r
}
{ =} { \sum_{ k = 1}^n a_{kr} v_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w_j^*
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n b_{ij} v_i^*
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( b_{ij} \right) }_{ij}
}
{ = }{ { { \left( A^{-1} \right) } ^{ \text{tr} } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Transponierte}{}{}
der
\definitionsverweis {inversen Matrix}{}{}
von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{ { \left( a_{kr} \right) }_{kr}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( \sum_{i = 1}^n b_{ij} v_i^* \right) } (w_r)
}
{ =} { { \left( \sum_{i = 1}^n b_{ij} v_i^* \right) } { \left( \sum_{k = 1}^n a_{kr} v_k \right) }
}
{ =} { \sum_{1 \leq i,k \leq n} b_{ij} a_{kr} v_i^*(v_k)
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n b_{ij} a_{ir}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Hier steht das \anfuehrung{Produkt}{} aus der $j$-ten Spalte von $B$ und der $r$-ten Spalte von $A$, also das Produkt aus der $j$-ten Zeile von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { B^{ \text{tr} } }
}
{ = }{ A^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der $r$-ten Spalte von $A$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dies $1$ und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \neq }{j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dies $0$. Daher stimmt die angegebene Linearform mit $w_j^*$ überein.
Mit Basiswechselmatrizen kann man dies auch als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ w^* } }_{ \mathfrak{ v^* } }
}
{ =} { { ({ \left( M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ v } } \right) }^{-1}) ^{ \text{tr} } }
}
{ =} { { (M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }) ^{ \text{tr} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ausdrücken.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten den $\R^2$ mit der Standardbasis
\mathl{e_1,e_2}{,} seiner Dualbasis
\mathl{e_1^*,e_2^*}{} und die Basis bestehend aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_1
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 2 \\1 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_2
}
{ = }{ \begin{pmatrix} -1 \\3 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir wollen die Dualbasis
\mathkor {} {u_1^*} {und} {u_2^*} {}
als Linearkombinationen der Standarddualbasis ausdrücken, also in
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u_1^*
}
{ =} { ae_1^* + be_2^*
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {bzw. in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u_2^*
}
{ = }{ ce_1^* + de_2^*
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
die Koeffizienten
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
\zusatzklammer {bzw. $c$ und $d$} {} {}
bestimmen. Dabei ist
\mathkor {} {a = u_1^*(e_1)} {und} {b = u_1^*(e_2)} {.}
Um dies berechnen zu können, müssen wir
\mathkor {} {e_1} {und} {e_2} {}
als Linearkombination der
\mathkor {} {u_1} {und} {u_2} {}
ausdrücken. Dies ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e_1
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 7 } } \begin{pmatrix} 2 \\1 \end{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 7 } } \begin{pmatrix} -1 \\3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e_2
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 7 } } \begin{pmatrix} 2 \\1 \end{pmatrix} + { \frac{ 2 }{ 7 } } \begin{pmatrix} -1 \\3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} { u_1^*(e_1)
}
{ =} { u_1^* { \left( { \frac{ 3 }{ 7 } } u_1 - { \frac{ 1 }{ 7 } } u_2 \right) }
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 7 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und entsprechend
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} {u_1^*(e_2)
}
{ =} { u_1^* { \left( { \frac{ 1 }{ 7 } } u_1 + { \frac{ 2 }{ 7 } } u_2 \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 7 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u_1^*
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 7 } } e_1^* + { \frac{ 1 }{ 7 } } e_2^*
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Mit den gleichen Rechnungen ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u_2^*
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ 7 } } e_1^* + { \frac{ 2 }{ 7 } } e_2^*
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{}
von
\mathl{u^*}{} zu
\mathl{e^*}{} ist daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ u^* } }_{ \mathfrak{ e^* } }
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 3 }{ 7 } } & - { \frac{ 1 }{ 7 } } \\ { \frac{ 1 }{ 7 } } & { \frac{ 2 }{ 7 } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die transponierte Matrix davon ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { { \left( M^{ \mathfrak{ u^* } }_{ \mathfrak{ e^* } } \right) } ^{ \text{tr} } }
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 3 }{ 7 } } & { \frac{ 1 }{ 7 } } \\ - { \frac{ 1 }{ 7 } } & { \frac{ 2 }{ 7 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}^{-1}
}
{ =} { { \left( M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ e } } \right) }^{-1}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die umgekehrte Aufgabe, die Standarddualbasis durch
\mathkor {} {u_1^*} {und} {u_2^*} {}
auszudrücken, ist einfacher zu lösen, da man dies aus der Darstellung der $u_i$ bezüglich der Standardbasis direkt ablesen kann. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e_1^*
}
{ =} { 2u_1^* + u_2^*
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e_2^*
}
{ =} { - u_1^* + 3 u_2^*
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wie man überprüft, wenn man beidseitig an
\mathl{u_1,u_2}{} auswertet.
}
\zwischenueberschrift{Die Spur}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{{ \left( a _{ i j } \right) }_{ i j }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über $K$. Dann heißt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Spur} { \left( M \right) }
}
{ \defeq} {\sum_{ i = 1 }^{ n } a_{ii}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die \definitionswort {Spur}{} von $M$.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabb {\varphi} {V} {V
} {} eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
die bezüglich einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
$M$ beschrieben werde. Dann nennt man
\mathl{\operatorname{Spur} { \left( M \right) }}{} die
\definitionswort {Spur}{}
von $\varphi$, geschrieben
\mathl{\operatorname{Spur} { \left( \varphi \right) }}{.}
}
Nach Aufgabe 14.13 ist dies unabhängig von der gewählten Basis. Die Spur ist eine Linearform auf dem Vektorraum der quadratischen Matrizen bzw. auf dem Vektorraum der Endomorphismen.