Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 31/latex

\setcounter{section}{31}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das \definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{} auf dem $\R^n$ in der Tat ein \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {reeller}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} $\left\langle - , - \right\rangle$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Zeige, dass die Einschränkung des Skalarproduktes auf $U$ ebenfalls ein Skalarprodukt ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {komplexer Vektorraum}{}{} mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Realteil}{}{} dieses Skalarproduktes ein \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} auf dem zugrunde liegenden reellen Vektorraum ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {[0,1]} {\R } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{-x^2+1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(x) }
{ = }{x^2+x+3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Berechne $\left\langle f , g \right\rangle$ im Sinne von Beispiel 31.6.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{[a,b]}{} ein abgeschlossenes reelles Intervall mit
\mathl{a<b}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V }
{ = }{ { \left\{ f :[a,b] \rightarrow \R \mid f \text{ stetig} \right\} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zu
\mathl{n \in \N_+}{} und
\mathl{f,g \in V}{} sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle f , g \right\rangle_n }
{ \defeq} { \sum_{i = 0 }^n f { \left( a+ i { \frac{ b-a }{ n } } \right) } g { \left( a+i { \frac{ b-a }{ n } } \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Welche Eigenschaften eines \definitionsverweis {Skalarproduktes}{}{} erfüllt
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle_n}{,} welche nicht? Welche Beziehung besteht zwischen
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle_n}{} und dem Skalarprodukt aus Beispiel 31.6?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über ${\mathbb K}$ mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und der zugehörigen \definitionsverweis {Norm}{}{}
\mathl{\Vert {-} \Vert}{.} Zeige, dass die sogenannte \stichwort {Parallelogrammgleichung} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v+w} \Vert ^2 + \Vert {v-w} \Vert ^2 }
{ =} { 2 \Vert {v} \Vert ^2 +2 \Vert {w} \Vert ^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass in der Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \left\langle v , w \right\rangle } }
{ \leq} { \Vert {v} \Vert \cdot \Vert {w} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} von Cauchy-Schwarz genau dann die Gleichheit gilt, wenn \mathkor {} {v} {und} {w} {} \definitionsverweis {linear abhängig}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über ${\mathbb K}$ mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und der zugehörigen \definitionsverweis {Norm}{}{}
\mathl{\Vert {-} \Vert}{.}

a) Zeige, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K} }
{ = }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \Vert {v+w} \Vert^2 - \Vert {v} \Vert^2 - \Vert {w} \Vert^2 \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

b) Zeige, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K} }
{ = }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( \Vert {v+w} \Vert^2 - \Vert {v-w} \Vert^2 + { \mathrm i} \Vert {v+ { \mathrm i}w} \Vert^2 - { \mathrm i} \Vert {v- { \mathrm i} w} \Vert^2 \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über ${\mathbb K}$ mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass der zugehörige \definitionsverweis {Abstand}{}{} die folgenden Eigenschaften besitzt \zusatzklammer {dabei sind $u,v,w \in V$} {} {.} \aufzaehlungvier{Es ist $d( v , w ) \geq 0$. }{Es ist $d( v , w ) = 0$ genau dann, wenn
\mathl{v=w}{.} }{Es ist $d( v , w ) = d( w , v )$. }{Es ist
\mathdisp {d( u , w ) \leq d( u , v ) + d( v , w )} { . }
}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {(V_1, \left\langle - , - \right\rangle_1)} {und} {(V_2, \left\langle - , - \right\rangle_2)} {} reelle Vektorräume mit \definitionsverweis {Skalarprodukten}{}{.} Zeige, dass auf dem \definitionsverweis {Produktraum}{}{}
\mathl{V_1 \times V_2}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle (v_1,v_2) , (w_1,w_2) \right\rangle }
{ \defeq} { \left\langle v_1 , w_1 \right\rangle_1 + \left\langle v_2 , w_2 \right\rangle_2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein Skalarprodukt definiert ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass für die Norm
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {x} \Vert }
{ \defeq }{ \operatorname{max} \{ \betrag { x_i }:1 \leq i \leq n \} }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} auf dem $\R^n$ kein Skalarprodukt $\left\langle - , - \right\rangle$ mit der Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {x} \Vert }
{ = }{ \sqrt{ \left\langle x , x \right\rangle } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} existiert.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {normierter}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(u,v) }
{ \defeq} { \Vert {u-v} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zu einem \definitionsverweis {metrischen Raum}{}{} wird.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {P=\left( \frac{3}{4} , \, -1 \right)} {und} {Q= \left( 2 , \, \frac{1}{5} \right)} {} zwei Punkte im $\R^2$. Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in

a) der euklidischen Metrik,

b) der Summenmetrik,

c) der Maximumsmetrik.

d) Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $A$ eine nichtleere Menge,
\mathl{n \in \N_+}{} und
\mathl{M=A^n}{} das $n$-fache Produkt der Menge mit sich selbst.

a) Zeige, dass auf $M$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(x,y) }
{ =} {d((x_1 , \ldots , x_n ),(y_1 , \ldots , y_n)) }
{ \defeq} { { \# \left( { \left\{ i \mid x_i \neq y_i \right\} } \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Metrik}{}{} definiert wird.

b) Bestimme zu $A=\{a,b,c\}$ und $n=4$ den Abstand
\mathl{d((a,a,b,c),(c,a,b,a))}{.}

c) Liste für $A=\{a,b,c\}$ und $n=3$ alle Elemente aus der offenen Kugel
\mathl{U { \left( (a,a,b),2 \right) }}{} auf.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ die Menge aller \zusatzklammer {Personen} {} {-}Bahnhöfe in Deutschland. Zu
\mathl{a,b \in M}{} sei
\mathdisp {d(a,b)} { }
die \zusatzklammer {zeitlich} {} {} kürzeste fahrplanmäßige Verbindung von $a$ nach $b$. Handelt es sich dabei um eine \definitionsverweis {Metrik}{}{?}

}
{} {}

Es sei $T$ eine Menge und \maabbdisp {f} {T} {{\mathbb K} } {} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert }
{ \defeq} { \Vert {f} \Vert_T }
{ =} { {\operatorname{sup} \, ( \betrag { f(x) } {{|}} x \in T ) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} das \definitionswort {Supremum}{} \zusatzklammer {oder die \definitionswort {Supremumsnorm}{}} {} {} von $f$. Es ist eine \definitionsverweis {nichtnegative}{}{} \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{} oder $\infty$.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $T$ eine Menge und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { { \left\{ f:T \rightarrow {\mathbb C} \mid \Vert {f} \Vert_T < \infty \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Menge der beschränkten \definitionsverweis {komplexwertigen}{}{} \definitionsverweis {Funktionen}{}{} auf $T$. Zeige, dass $M$ ein \definitionsverweis {komplexer Vektorraum}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $T$ eine Menge und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { { \left\{ f:T \rightarrow {\mathbb C} \mid \Vert {f} \Vert_T < \infty \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Menge der beschränkten \definitionsverweis {komplexwertigen}{}{} \definitionsverweis {Funktionen}{}{} auf $T$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Supremumsnorm}{}{} auf $M$ folgende Eigenschaften erfüllt. \aufzaehlungvier{
\mathl{\Vert {f} \Vert \geq 0}{} für alle $f \in M$. }{
\mathl{\Vert {f} \Vert = 0}{} genau dann, wenn
\mathl{f=0}{} ist. }{Für
\mathl{\lambda \in {\mathbb C}}{} und
\mathl{f \in M}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\lambda f} \Vert }
{ =} {\betrag { \lambda } \cdot \Vert {f} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Für
\mathl{g,f \in M}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {g+f} \Vert }
{ \leq} { \Vert {g} \Vert + \Vert {f} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $T$ eine Menge und $E$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{.} Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { { \left\{ f:T \rightarrow E \mid \Vert {f} \Vert_T < \infty \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Menge der beschränkten \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} von $T$ nach $E$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Supremumsnorm}{}{} auf $M$ eine \definitionsverweis {Norm}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $T$ eine Menge, $E$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { { \left\{ f:T \rightarrow E \mid \Vert {f} \Vert_T < \infty \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Menge der beschränkten \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} von $T$ nach $E$. Zeige, dass eine Folge
\mathl{{ \left( f_n \right) }_{n \in \N }}{} aus $M$ genau dann gegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {gleichmäßig konvergiert}{}{,} wenn diese Folge im durch die \definitionsverweis {Supremumsnorm}{}{} gegebenen \definitionsverweis {metrischen Raum}{}{} $M$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {[0,1]} {\R } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{2x^3-x+3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(x) }
{ = }{-5x^2+4x-7 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Berechne
\mathdisp {\left\langle f , g \right\rangle , \, \Vert {f} \Vert , \, \Vert {g} \Vert} { }
im Sinne von Beispiel 31.6.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Bestätige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {x+y} \Vert^2-\Vert {x-y} \Vert^2 }
{ =} { 4 \left\langle x , y \right\rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mathl{V= \operatorname{Mat}_{ n \times n } (\R)}{.} Zeige, dass $V$ versehen mit der Abbildung \maabbeledisp {\left\langle - , - \right\rangle} {V \times V} {\R } {(A,B)} { \operatorname{Spur} { \left( B^tA \right) } } {} ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es seien $n$ Punkte
\mathl{P_1,P_2 , \ldots , P_n}{} in der Kreisscheibe $B$ mit Mittelpunkt $(0,0)$ und Radius $1$, also in
\mathl{B={ \left\{ P\in \R^2 \mid d(P,0) \leq 1 \right\} }}{,} gegeben. Zeige, dass es einen Punkt
\mathl{Q \in B}{} mit der Eigenschaft
\mathdisp {\sum_{i =1}^n d(P_i,Q) \geq n} { }
gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w }
{ \in }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit \mathkor {} {\Vert {v} \Vert \leq 1} {und} {\Vert {w} \Vert = 1} {.} Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {v+aw} \Vert }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}