Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 31

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass das Standardskalarprodukt auf dem in der Tat ein Skalarprodukt ist.


Aufgabe

Sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt und sei ein Untervektorraum. Zeige, dass die Einschränkung des Skalarproduktes auf ebenfalls ein Skalarprodukt ist.


Aufgabe *

Es sei ein komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass der Realteil dieses Skalarproduktes ein Skalarprodukt auf dem zugrunde liegenden reellen Vektorraum ist.


Aufgabe

Es seien

mit und . Berechne im Sinne von Beispiel 31.6.


Aufgabe

Es sei ein abgeschlossenes reelles Intervall mit und sei . Zu und sei

Welche Eigenschaften eines Skalarproduktes erfüllt , welche nicht? Welche Beziehung besteht zwischen und dem Skalarprodukt aus Beispiel 31.6?


Aufgabe

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm . Zeige, dass die sogenannte Parallelogrammgleichung

gilt.


Aufgabe

Sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass in der Abschätzung

von Cauchy-Schwarz genau dann die Gleichheit gilt, wenn und linear abhängig sind.


Aufgabe

Es sei ein -Vektorraum mit Skalarprodukt und der zugehörigen Norm .

a) Zeige, dass bei die Beziehung

gilt.

b) Zeige, dass bei die Beziehung


Aufgabe

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften besitzt (dabei sind ).

  1. Es ist .
  2. Es ist genau dann, wenn .
  3. Es ist .
  4. Es ist


Aufgabe

Es seien und reelle Vektorräume mit Skalarprodukten. Zeige, dass auf dem Produktraum durch

ein Skalarprodukt definiert ist.


Aufgabe

Sei . Zeige, dass für die Norm auf dem kein Skalarprodukt existiert mit der Eigenschaft .


Aufgabe *

Zeige, dass ein normierter -Vektorraum durch

zu einem metrischen Raum wird.


Aufgabe *

Es seien und zwei Punkte im . Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in

a) der euklidischen Metrik,

b) der Summenmetrik,

c) der Maximumsmetrik.

d) Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach.


Aufgabe *

Es sei eine nichtleere Menge, und das -fache Produkt der Menge mit sich selbst.

a) Zeige, dass auf durch

eine Metrik definiert wird.

b) Bestimme zu und den Abstand .

c) Liste für und alle Elemente aus der offenen Kugel auf.


Aufgabe

Es sei die Menge aller (Personen)-Bahnhöfe in Deutschland. Zu sei

die (zeitlich) kürzeste fahrplanmäßige Verbindung von nach . Handelt es sich dabei um eine Metrik?


Es sei eine Menge und

eine Funktion. Dann nennt man

das Supremum (oder die Supremumsnorm) von . Es ist eine nichtnegative reelle Zahl oder .


Aufgabe

Es sei eine Menge und

die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf . Zeige, dass ein komplexer Vektorraum ist.


Aufgabe

Es sei eine Menge und

die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf . Zeige, dass die Supremumsnorm auf folgende Eigenschaften erfüllt.

  1. für alle .
  2. genau dann, wenn ist.
  3. Für und gilt
  4. Für gilt


Aufgabe

Es sei eine Menge und ein euklidischer Vektorraum. Es sei

die Menge der beschränkten Abbildungen von nach . Zeige, dass die Supremumsnorm auf eine Norm ist.


Aufgabe

Es sei eine Menge, ein euklidischer Vektorraum und

die Menge der beschränkten Abbildungen von nach . Zeige, dass eine Folge aus genau dann gegen gleichmäßig konvergiert, wenn diese Folge im durch die Supremumsnorm gegebenen metrischen Raum konvergiert.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien

mit und . Berechne

im Sinne von Beispiel 31.6.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Bestätige


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei . Zeige, dass versehen mit der Abbildung

ein euklidischer Vektorraum ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien Punkte in der Kreisscheibe mit Mittelpunkt und Radius , also in , gegeben. Zeige, dass es einen Punkt mit der Eigenschaft

gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien mit und . Zeige, dass es ein mit gibt.


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