Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 32

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei $V$ ein $𝕂$ -Vektorraum mit einem Skalarprodukt $⟨ -, - ⟩$ . Zeige, dass für $u, v \in V$ die Gleichheit $‖ v + u ‖ = ‖ v - u ‖$ genau dann gilt, wenn $⟨ v, u ⟩ = 0$ ist.

Aufgabe

Diskutiere den Satz des Pythagoras im Sinne von Fakt ***** im Vergleich zu der elementargeometrischen Version.

Aufgabe

Es sei $V$ ein Vektorraum über $𝕂$ mit einem Skalarprodukt $⟨ -, - ⟩$ und sei $U \subseteq V$ ein Untervektorraum. Zeige, dass das orthogonale Komplement ebenfalls ein Untervektorraum von $V$ ist.

Aufgabe *

Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von $(\begin{matrix} - 2 \\ 8 \\ 9 \end{matrix})$ erzeugten Untervektorraum im $ℝ^{3}$ .

Aufgabe

Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von $(\begin{matrix} 5 \\ 8 \\ - 3 \\ 9 \end{matrix})$ und $(\begin{matrix} 6 \\ 2 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})$ erzeugten Untervektorraum im $ℝ^{4}$ .

Aufgabe

Betrachte eine Ecke in einem (rechtwinkligen) Zimmer. Bilden die drei Diagonalvektoren in den beiden anliegenden Wänden und dem Boden der Länge $1$ eine Orthonormalbasis?

Aufgabe

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

(\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 \\ - 4 \\ 5 \end{matrix}), (\begin{matrix} 7 \\ 3 \\ 1 \end{matrix})

des $ℝ^{3}$ , versehen mit dem Standardskalarprodukt, an.

Aufgabe

Der $ℝ^{3}$ sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei $U \subseteq ℝ^{3}$ der Kern der linearen Abbildung

ℝ^{3} ⟶ ℝ, (x, y, z) ⟼ 3 x + y + 7 z,

versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine Orthonormalbasis für $U$ .

Aufgabe

Der $ℝ^{4}$ sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei $U \subseteq ℝ^{4}$ der Kern der linearen Abbildung

ℝ^{4} ⟶ ℝ, (x, y, z, w) ⟼ 4 x - 3 y + 2 z - 5 w,

versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine Orthonormalbasis für $U$ .

Aufgabe

Erstelle eine Orthonormalbasis des $ℝ^{3}$ , die ein Vielfaches von $(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})$ enthält.

Aufgabe

Formuliere und beweise den „orthonormalen Basisergänzungssatz“.

Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt $⟨ -, - ⟩$ und sei $u_{1}, \dots, u_{n}$ eine Orthonormalbasis von $V$ . Zeige, dass

u_{1}, i u_{1}, u_{2}, i u_{2}, \dots, u_{n}, i u_{n}

eine Orthonormalbasis des reellen Vektorraums $V$ bezüglich des zugehörigen reellen Skalarprodukts ist.

Aufgabe

Es sei $V$ ein $𝕂$ -Vektorraum mit einem Skalarprodukt $⟨ -, - ⟩$ . Zeige die folgenden Aussagen.

Zu Untervektorräumen $U \subseteq U^{'} \subseteq V$ ist
$U^{⊥} \supseteq U'^{⊥} .$
Es ist $0^{⊥} = V$ und $V^{⊥} = 0$ .
Es sei $V$ endlichdimensional. Dann ist
${(U^{⊥})}^{⊥} = U .$
Es sei $V$ endlichdimensional. Dann ist
$\dim_{K} (U^{⊥}) = \dim_{K} (V) - \dim_{K} (U) .$

Aufgabe

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum. Zeige, dass durch

V ⟶ V^{*}, v ⟼ (w \mapsto ⟨ v, w ⟩),

eine Isomorphie zwischen $V$ und seinem Dualraum $V^{*}$ gestiftet wird.

Aufgabe

Beweise Korollar 32.13 mithilfe von Aufgabe 32.18 und Lemma 15.6.

Aufgabe

Bestimme den Wert des Vektors $(\begin{matrix} 3 \\ - 5 \\ - 3 \end{matrix}) \in ℝ^{3}$ unter der orthogonalen Projektion auf die von $(\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 9 \end{matrix})$ erzeugte Gerade.

Bestimme den Wert des Vektors $(\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ - 2 \end{matrix}) \in ℝ^{3}$ unter der orthogonalen Projektion auf den von $(\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 6 \end{matrix})$ und $(\begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 1 \end{matrix})$ erzeugten Untervektorraum.

Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $𝕂$ -Vektorraum mit Skalarprodukt und es seien

U \subseteq W \subseteq V

Untervektorräume. Es bezeichne $p_{U}^{V}$ die orthogonale Projektion von $V$ auf $U$ . Zeige

p_{U}^{V} = p_{U}^{W} \circ p_{W}^{V} .

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von $(\begin{matrix} 8 \\ 3 \\ - 6 \\ - 4 \end{matrix})$ und $(\begin{matrix} 4 \\ - 2 \\ 7 \\ 5 \end{matrix})$ erzeugten Untervektorraum im $ℝ^{4}$ .

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Die komplexen Zahlen $ℂ$ seien mit dem Standardskalarprodukt $⟨ -, - ⟩$ versehen.

a) Bestimme zu dem von $4 + 7 i$ erzeugten komplexen Untervektorraum von $ℂ$ das orthogonale Komplement bezüglich $⟨ -, - ⟩$ .

b) Bestimme zu dem von $4 + 7 i$ erzeugten komplexen Untervektorraum von $ℂ$ das orthogonale Komplement bezüglich des Realteils zu $⟨ -, - ⟩$ (also dem zugehörigen reellen Skalarprodukt).

c) Bestimme zu dem von $4 + 7 i$ erzeugten reellen Untervektorraum von $ℂ$ das orthogonale Komplement bezüglich des Realteils zu $⟨ -, - ⟩$ .

Aufgabe (5 Punkte)

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die linear unabhängigen polynomialen Funktionen

1, x, x^{2}, x^{3} \in V = {f : [0, 1] \to ℝ ∣ f stetig}

mit dem in Beispiel 31.6 beschriebenen Skalarprodukt an.

Aufgabe (2 Punkte)

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

(\begin{matrix} 5 - 2 i \\ 3 - 3 i \end{matrix}), (\begin{matrix} 6 - i \\ - 2 + 4 i \end{matrix})

des $ℂ^{2}$ an.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Wert des Vektors $(\begin{matrix} 7 \\ 6 \\ 8 \end{matrix}) \in ℝ^{3}$ unter der orthogonalen Projektion auf den von $(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{matrix})$ und $(\begin{matrix} 4 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix})$ erzeugten Untervektorraum.

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