Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 32

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Sei ein -Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass für die Gleichheit genau dann gilt, wenn ist.


Aufgabe

Diskutiere den Satz des Pythagoras im Sinne von Satz 32.3 im Vergleich zu der elementargeometrischen Version.


Aufgabe

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und sei ein Untervektorraum. Zeige, dass das orthogonale Komplement ebenfalls ein Untervektorraum von ist.


Aufgabe *

Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von erzeugten Untervektorraum im .


Aufgabe

Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von und erzeugten Untervektorraum im .


Aufgabe

Betrachte eine Ecke in einem (rechtwinkligen) Zimmer. Bilden die drei Diagonalvektoren in den beiden anliegenden Wänden und dem Boden der Länge eine Orthonormalbasis?


Aufgabe *

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des an.


Aufgabe *

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des an.


Aufgabe

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des , versehen mit dem Standardskalarprodukt, an.


Aufgabe

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des an.


Aufgabe

Der sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei der Kern der linearen Abbildung

versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine Orthonormalbasis für .


Aufgabe

Der sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei der Kern der linearen Abbildung

versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine Orthonormalbasis für .


Aufgabe

Erstelle eine Orthonormalbasis des , die ein Vielfaches von enthält.


Aufgabe

Formuliere und beweise den „orthonormalen Basisergänzungssatz“.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt und sei eine Orthonormalbasis von . Zeige, dass

eine Orthonormalbasis des reellen Vektorraums bezüglich des zugehörigen reellen Skalarprodukts ist.


Aufgabe

Es sei ein -Vektorraum mit Skalarprodukt und seien Untervektorräume. Zeige, dass für die orthogonalen Komplemente die Gleichheit

gilt.


Aufgabe

Es sei ein -Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Zu Untervektorräumen ist
  2. Es ist und .
  3. Sei endlichdimensional. Dann ist
  4. Sei endlichdimensional. Dann ist


Aufgabe

Es sei ein euklidischer Vektorraum. Zeige, dass durch

eine Isomorphie zwischen und seinem Dualraum gestiftet wird.


Aufgabe

Beweise Korollar 32.13 mit Hilfe von Aufgabe 32.18 und Lemma 15.5.


Aufgabe

Bestimme den Wert des Vektors unter der orthogonalen Projektion auf die von erzeugte Gerade.


Aufgabe

Bestimme den Wert des Vektors unter der orthogonalen Projektion auf den von und erzeugten Untervektorraum.


Aufgabe

Es sei ein -Vektorraum mit Skalarprodukt und es seien

Untervektorräume. Es bezeichne die orthogonale Projektion von auf . Zeige




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von und erzeugten Untervektorraum im .


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Die komplexen Zahlen seien mit dem Standardskalarprodukt versehen.

  1. Bestimme zu dem von erzeugten komplexen Untervektorraum von das orthogonale Komplement bezüglich .
  2. Bestimme zu dem von erzeugten komplexen Untervektorraum von das orthogonale Komplement bezüglich des Realteils zu (also dem zugehörigen reellen Skalarprodukt).
  3. Bestimme zu dem von erzeugten reellen Untervektorraum von das orthogonale Komplement bezüglich des Realteils zu .


Aufgabe (5 Punkte)

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die linear unabhängigen polynomialen Funktionen

mit dem in Beispiel 31.6 beschriebenen Skalarprodukt an.


Aufgabe (2 Punkte)

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des an.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Wert des Vektors unter der orthogonalen Projektion auf den von und erzeugten Untervektorraum.



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