Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 33/latex

\setcounter{section}{33}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {Kreuzprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 \\7\\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 6 \\-5\\ 8 \end{pmatrix}} { }
im $\R^3$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {Kreuzprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 \\5\\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -4 \\6\\ -5 \end{pmatrix}} { }
im $\R^3$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {Kreuzprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 \\1\\ 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\4\\ 3 \end{pmatrix}} { }
im $K^3$, wobei $K$ den Körper mit fünf Elementen bezeichnet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {Kreuzprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 \\6\\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 \\2\\ 5 \end{pmatrix}} { }
im $K^3$, wobei $K$ den Körper mit sieben Elementen bezeichnet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Kreuzprodukt}{}{} auf dem $K^3$ \definitionsverweis {bilinear}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für das \definitionsverweis {Kreuzprodukt}{}{} für Vektoren
\mathl{x,y,z \in K^3}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x \times (y \times z) + y \times (z \times x) + z \times (x \times y) }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} der \definitionsverweis {Dimension}{}{} $n$. Zeige, dass eine Vektorfamilie
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_1 , \ldots , u_n }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} von $V$ ist, wenn die zugehörige \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^n} {V } {e_i} {u_i } {,} eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} zwischen \mathkor {} {\R^n} {und} {V} {} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien $V$ und $W$ \definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{$\varphi$ ist eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{.} }{Für jede \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} $u_i, i = 1 , \ldots , n$, von $V$ ist $\varphi(u_i), i = 1 , \ldots , n$, Teil einer Orthonormalbasis von $W$. }{Es gibt eine Orthonormalbasis $u_i, i = 1 , \ldots , n$, von $V$ derart, dass $\varphi(u_i), i = 1 , \ldots , n$, Teil einer Orthonormalbasis von $W$ ist.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} mit der Eigenschaft, dass die \definitionsverweis {Determinante}{}{} von $\varphi$ gleich \mathkor {} {1} {oder} {-1} {} ist. Ferner besitze $\varphi$ die Eigenschaft, dass zueinander \definitionsverweis {orthogonale}{}{} Vektoren stets auf orthogonale Vektoren abgebildet werden. Zeige, dass $\varphi$ eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {bijektiven}{}{} \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3 } {} an, die keine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} ist, für die aber für alle $u,v \in V$ die Beziehung
\mathdisp {\left\langle u , v \right\rangle = 0 \text{ genau dann, wenn } \left\langle \varphi(u) , \varphi(v) \right\rangle =0} { }
gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^2} {\R^2 } {} derart, dass $\varphi$ \definitionsverweis {flächentreu}{}{,} aber keine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $n \in \N$. Zeige, dass die Menge $\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }$ der \definitionsverweis {invertierbaren Matrizen}{}{} eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} ist. Zeige ferner, dass diese Gruppe bei $n \geq 2$ nicht \definitionsverweis {kommutativ}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $V$ ein reeller \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und sei
\mathbed {u_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} von $V$. Zeige, dass für Vektoren
\mathl{v= \sum_{i \in I}a_i u_i}{} und
\mathl{w= \sum_{i \in I}b_i u_i}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle }
{ =} { \sum_{i \in I} a_ib_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Berechne das \definitionsverweis {Kreuzprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 \\2\\ 5 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 \\6\\ 2 \end{pmatrix}} { }
im $K^3$, wobei $K$ den Körper mit sieben Elementen bezeichnet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{.} Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Isometrien}{}{} auf $V$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} unter der Hintereinanderschaltung von Abbildungen bildet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R^n} {\R^n } {} eine \definitionsverweis {eigentliche Isometrie}{}{.} Es sei vorausgesetzt, dass $f$ \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist. Zeige, dass dann $f$ sogar \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es seien
\mathl{V,W}{} komplexe Vektorräume mit \definitionsverweis {Skalarprodukten}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} bezüglich der gegebenen komplexen Skalarprodukte ist, wenn $\varphi$ eine Isometrie bezüglich der zugehörigen reellen Skalarprodukte ist.

}
{} {}