Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 34

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige

${}\angle ({\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos \alpha \\\sin \alpha \end{pmatrix}})={\begin{cases}\alpha \,,{\text{ falls }}\alpha \leq \pi \,,\\2\pi -\alpha \,,{\text{ falls }}\alpha >\pi \,.\end{cases}}\,$

Aufgabe *

Es seien ${}u,v\in V$ von ${}0$ verschiedene Vektoren in einem reellen Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt. Zeige, dass der Winkel zu ${}u$ und ${}v$ mit dem Winkel zu ${}su$ und ${}tv$ übereinstimmt, wobei ${}s,t$ positive reelle Zahlen sind.

Die vorstehende Aussage besagt insbesondere, dass der Winkel eine Eigenschaft der durch zwei Vektoren definierten Strahlen (Halbgeraden) ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt. Zeige, dass der Winkel

$\angle (u,v)$

nur von der Einschränkung des Skalarproduktes auf den durch ${}u$ und ${}v$ erzeugten Untervektorraum abhängt.

Aufgabe

Es seien ${}u,v,w\in V$ von ${}0$ verschiedene Vektoren in einem reellen Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt. Zeige

${}\angle (u,w)\leq \angle (u,v)+\angle (v,w)\,.$

Aufgabe

Welche Winkel gibt es auf einer Geraden?

Aufgabe

Es sei

${}K={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,$

der Einheitskreis. Zeige, dass man auf ${}K$ eine Metrik definieren kann, indem man ${}d(P,Q)$ ($P,Q\in K$) als den positiven Winkel zwischen den zugehörigen Strahlen durch den Nullpunkt ${}(0,0)$ ansetzt.

Aufgabe *

Es sei ${}\alpha _{n}$ der Winkel zwischen dem ersten Standardvektor ${}e_{1}$ und dem Vektor ${}v_{n}=\sum _{i=1}^{n}e_{i}$ im ${}\mathbb {R} ^{n}$. Bestimme den Grenzwert

$\lim _{n\rightarrow \infty }\alpha _{n}.$

Die beiden folgenden Aufgaben wurden schon auf dem Arbeitsblatt 10 gestellt.

Aufgabe

Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die (bezüglich der Standardbasis) eine Drehung um ${}30$ Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.

Aufgabe

Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die eine Drehung um ${}45$ Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.

Aufgabe

Bestimme elementargeometrisch, auf welche Vektoren die Standardvektoren ${}e_{1}$ und ${}e_{2}$ bei einer Drehung um den Nullpunkt um den Winkel ${}\alpha$ gegen den Uhrzeigersinn abgebildet werden.

Aufgabe *

Beweise die Additionstheoreme für den Sinus und den Kosinus unter Verwendung von Drehmatrizen.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

die Drehung des Raumes um die ${}z$-Achse um ${}45$ Grad gegen den Uhrzeigersinn. Wie sieht die beschreibende Matrix bezüglich der Basis

${\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\3\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}5\\0\\7\end{pmatrix}}$

aus?

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer Raumdrehung, bei der sämtliche Matrixeinträge ${}\neq 0,1$ sind.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit einem Skalarprodukt,

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine Isometrie und ${}U\subseteq V$ ein ${}\varphi$- invarianter Untervektorraum. Zeige, dass

$\varphi {|}_{U}\colon U\longrightarrow U$

ebenfalls eine Isometrie ist.

Aufgabe

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}{\frac {3}{5}}&-{\frac {4}{5}}\\{\frac {4}{5}}&{\frac {3}{5}}\end{pmatrix}}\,.$

1. Zeige, dass ${}M$ eine Isometrie auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ und dem ${}{\mathbb {C} }^{2}$ definiert.
2. Bestimme die komplexen Eigenwerte zu ${}M$.
3. Bestimme eine Orthonormalbasis von ${}{\mathbb {C} }^{2}$, die aus Eigenvektoren zu ${}M$ besteht.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}u,v\in V$ normierte Vektoren in einem reellen Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt. Zeige, dass der Vektor ${}u+v$ die beiden Vektoren in gleich große Winkel unterteilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten eine Uhr mit Minuten- und Sekundenzeiger, die sich beide kontinuierlich bewegen. Bestimme eine Formel, die aus der Winkelstellung des Minutenzeigers die Winkelstellung des Sekundenzeigers (jeweils ausgehend von der 12-Uhr-Stellung im Uhrzeigersinn gemessen) berechnet.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass sich jede eigentliche lineare Isometrie des ${}\mathbb {R} ^{3}$ als Verknüpfung von Drehungen um die drei Koordinatenachsen realisieren lässt.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass zu ${}a,b,c,d\in \mathbb {R}$ mit $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1$ die Matrix

${\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(-ad+bc)&2(ac+bd)\\2(ad+bc)&a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}&2(-ab+cd)\\2(-ac+bd)&2(ab+cd)&a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}\end{pmatrix}}$

eine Isometrie des ${}\mathbb {R} ^{3}$ definiert.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine komplexe ${}2\times 2$- Matrix derart, dass die Spalten eine Orthonormalbasis des ${}{\mathbb {C} }^{2}$ bilden und die Determinante gleich ${}1$ ist. Zeige, dass ${}M$ die Gestalt

${}M={\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}\,$

mit ${}u,v\in {\mathbb {C} }$ und ${}\Vert {\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}\Vert =1$ besitzt.

Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}{\frac {5}{13}}&-{\frac {12}{13}}\\{\frac {12}{13}}&{\frac {5}{13}}\end{pmatrix}}\,.$

1. Zeige, dass ${}M$ eine Isometrie auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ und dem ${}{\mathbb {C} }^{2}$ definiert.
2. Bestimme die komplexen Eigenwerte zu ${}M$.
3. Bestimme eine Orthonormalbasis von ${}{\mathbb {C} }^{2}$, die aus Eigenvektoren zu ${}M$ besteht.