Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Vorlesung 33

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Das Kreuzprodukt
Cross product parallelogram.svg

Eine Besonderheit im ist das sogenannte Kreuzprodukt, das zu zwei gegebenen Vektoren einen dazu senkrechten Vektor berechnet.


Definition  

Zu einem Körper ist auf dem durch

eine Verknüpfung erklärt, die das Kreuzprodukt heißt.

Statt Kreuzprodukt sagt man auch Vektorprodukt. Als Merkregel kann man

verwenden, wobei die Standardvektoren sind und formal nach der ersten Spalte zu entwickeln ist. So wie es dasteht, ist das Kreuzprodukt unter Bezug auf die Standardbasis definiert.


Beispiel  

Das Kreuzprodukt der beiden Vektoren ist




Lemma  

Das Kreuzprodukt auf dem erfüllt die folgenden Eigenschaften (dabei sind und ).

  1. Es ist
  2. Es ist

    und

  3. Es ist

    genau dann, wenn und linear abhängig sind.

  4. Es ist
  5. Es ist

    wobei hier mit die formale Auswertung im Sinne des Standardskalarproduktes gemeint ist.

  6. Es ist

    wobei hier mit die formale Auswertung im Sinne des Standardskalarproduktes gemeint ist.

Beweis  

(1) ist klar von der Definition her.

(2). Es ist

Die zweite Gleichung folgt daraus und aus (1).

(3). Wenn und linear abhängig sind, so kann man (oder umgekehrt) schreiben. Dann ist

Wenn umgekehrt das Kreuzprodukt ist, so sind alle Einträge des Vektors gleich . Sei beispielsweise . Wenn , so folgt direkt

und wäre der Nullvektor. Sei also . Dann ist und und somit ist

(4). Siehe Aufgabe 33.6.

(5). Es ist

was mit der Determinante wegen der Regel von Sarrus übereinstimmt.

(6) folgt aus (5).


Der uns in (5) begegnende Ausdruck , also die Determinante der drei Vektoren, wenn man diese als Spaltenvektoren auffasst, heißt auch Spatprodukt.



Lemma  

Es sei eine Orthonormalbasis des mit

Dann kann man das Kreuzprodukt mit den Koordinaten von und zu dieser Basis (und den Formeln aus Definition 33.1) ausrechnen.

Beweis  

Es sei

und

Nach Satz 33.3  (2) ist

Nach Satz 33.3  (3) ist

und nach Satz 33.3  (1) ist

Nach Satz 33.3  (6) steht senkrecht auf und , daher ist

mit einem , da diese Orthogonalitätsbedingung eine Gerade definiert. Wegen Satz 33.3  (5) und der Voraussetzung ergibt sich

also ist

Ebenso ergibt sich, unter Verwendung von Lemma 17.2  (3), und . Somit ist insgesamt

und dies ist die Behauptung.




Isometrien

Definition  

Es seien Vektorräume über mit Skalarprodukten und

eine lineare Abbildung. Dann heißt eine Isometrie, wenn für alle gilt:

Eine Isometrie ist stets injektiv. Bei

spricht man auch von unitären Abbildungen. In Abgrenzung zu affinen Isometrien, die wir später behandeln werden, spricht man auch von linearen Isometrien.



Lemma  

Es seien und Vektorräume über und eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist eine Isometrie.
  2. Für alle ist .
  3. Für alle ist .
  4. Für alle mit ist auch .

Beweis  

Die Richtungen , und sind Einschränkungen. . Für den Nullvektor ist die Aussage klar, sei also . Dann besitzt die Norm und wegen

ist

folgt aus Lemma 31.10.



Lemma

Seien und euklidische Vektorräume und sei

eine lineare Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

  1. ist eine Isometrie.
  2. Für jede Orthonormalbasis , von ist , Teil einer Orthonormalbasis von .
  3. Es gibt eine Orthonormalbasis , von derart, dass , Teil einer Orthonormalbasis von ist.

Beweis

Siehe Aufgabe 33.8.


Die Menge der Vektoren mit Norm in einem euklidischen Vektorraum nennt man auch die Sphäre. Eine Isometrie lässt sich also dadurch charakterisieren, dass unter ihr die Sphäre in die Sphäre abgebildet wird.



Satz  

Zu jedem euklidischen Vektorraum

gibt es eine bijektive Isometrie

wobei mit dem Standardskalarprodukt versehen sei.

Beweis  

Es sei eine Orthonormalbasis von und sei

die durch

festgelegte lineare Abbildung. Nach Lemma 33.7  (3) ist dies eine Isometrie.




Isometrien auf einem euklidischen Vektorraum

Wir besprechen nun Isometrien von einem euklidischen Vektorraum in sich selbst. Diese sind stets bijektiv. Bezüglich einer jeden Orthonormalbasis von werden sie folgendermaßen beschrieben.



Lemma  

Es sei ein euklidischer Vektorraum und eine Orthonormalbasis von . Es sei

eine lineare Abbildung und die beschreibende Matrix zu bezüglich der gegebenen Basis.

Dann ist genau dann eine Isometrie, wenn

ist.

Beweis  

Sei zunächst eine Isometrie. Dann ist eine Orthonormalbasis nach Lemma 33.7, und deren Koordinaten bezüglich bilden die Spalten der beschreibenden Matrix . Daher ist unter Verwendung von Aufgabe 33.13

Als Matrixgleichung bedeutet dies

Das Argument rückwärts gelesen ergibt die Umkehrung.


Die Menge der Isometrien auf einem euklidischen Vektorraum bildet eine Gruppe, und zwar eine Untergruppe der Gruppe aller bijektiven linearen Abbildungen. Wir erinnern kurz an die allgemeine und die spezielle lineare Gruppe.


Zu einem Körper und nennt man die Menge aller invertierbaren -Matrizen die allgemeine lineare Gruppe über . Sie wird mit bezeichnet.


Zu einem Körper und nennt man die Menge aller invertierbaren -Matrizen mit

die spezielle lineare Gruppe über . Sie wird mit bezeichnet.



Definition  

Es sei ein Körper und die Einheitsmatrix der Länge . Eine Matrix mit

heißt orthogonale Matrix. Die Menge aller orthogonalen Matrizen heißt orthogonale Gruppe, sie wird mit

bezeichnet.


Definition  

Eine Matrix mit

heißt unitäre Matrix. Die Menge aller unitären Matrizen heißt unitäre Gruppe, sie wird mit

bezeichnet.



Eigenwerte bei Isometrien



Satz  

Sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und sei

eine lineare Isometrie.

Dann besitzt jeder Eigenwert von den Betrag .

Bei sind nur die Eigenwerte und möglich.

Beweis  

Es sei mit , d.h. ist ein Eigenvektor zum Eigenwert . Wegen der Isometrieeigenschaft gilt

Wegen folgt daraus . Im Reellen bedeutet dies .

Im Allgemeinen muss eine Isometrie keine Eigenwerte besitzen, bei ungerader Dimension allerdings schon, siehe dazu die nächste Vorlesung.



Lemma  

Die Determinante einer linearen Isometrie

auf einem euklidischen Vektorraum

ist oder .

Beweis  

Nach Lemma 33.9 ist

Somit folgt die Aussage aus dem Determinantenmultiplikationssatz und aus Satz 17.5.




Eigentliche Isometrien

Definition  

Eine Isometrie auf einem euklidischen Vektorraum heißt eigentlich, wenn ihre Determinante gleich ist.


Definition  

Es sei ein Körper und . Eine orthogonale -Matrix mit

heißt spezielle orthogonale Matrix. Die Menge aller speziellen orthogonalen Matrizen heißt spezielle orthogonale Gruppe, sie wird mit bezeichnet.


Definition  

Eine unitäre -Matrix mit

heißt spezielle unitäre Matrix. Die Menge aller speziellen unitären Matrizen heißt spezielle unitäre Gruppe, sie wird mit bezeichnet.


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