Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 33

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Übungsaufgaben

Aufgabe *

Berechne das Kreuzprodukt

im .


Aufgabe *

Berechne das Kreuzprodukt

im .


Aufgabe

Berechne das Kreuzprodukt

im , wobei den Körper mit fünf Elementen bezeichnet.


Aufgabe

Berechne das Kreuzprodukt

im , wobei den Körper mit sieben Elementen bezeichnet.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Zeige, dass das Kreuzprodukt auf dem bilinear ist.


Aufgabe

Zeige, dass für das Kreuzprodukt für Vektoren die Beziehung

gilt.


Aufgabe *

Sei ein euklidischer Vektorraum der Dimension . Zeige, dass eine Vektorfamilie genau dann eine Orthonormalbasis von ist, wenn die zugehörige lineare Abbildung

eine Isometrie zwischen und ist.


Aufgabe *

Seien und euklidische Vektorräume und sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. ist eine Isometrie.
  2. Für jede Orthonormalbasis , von ist , Teil einer Orthonormalbasis von .
  3. Es gibt eine Orthonormalbasis , von derart, dass , Teil einer Orthonormalbasis von ist.


Aufgabe *

Es sei ein euklidischer Vektorraum und sei

eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft, dass die Determinante von gleich oder ist. Ferner besitze die Eigenschaft, dass zueinander orthogonale Vektoren stets auf orthogonale Vektoren abgebildet werden. Zeige, dass eine Isometrie ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven linearen Abbildung

an, die keine Isometrie ist, für die aber für alle die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

derart, dass flächentreu, aber keine Isometrie ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Menge der invertierbaren Matrizen eine Gruppe ist. Zeige ferner, dass diese Gruppe bei nicht kommutativ ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt und sei , , eine Orthonormalbasis von . Zeige, dass für Vektoren und die Gleichheit

gilt.


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne das Kreuzprodukt

im , wobei den Körper mit sieben Elementen bezeichnet.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein euklidischer Vektorraum. Zeige, dass die Menge der Isometrien auf eine Gruppe unter der Hintereinanderschaltung von Abbildungen bildet.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei

eine eigentliche Isometrie. Es sei vorausgesetzt, dass trigonalisierbar ist. Zeige, dass dann sogar diagonalisierbar ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien komplexe Vektorräume mit Skalarprodukten und

eine lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann eine Isometrie bezüglich der gegebenen komplexen Skalarprodukte ist, wenn eine Isometrie bezüglich der zugehörigen reellen Skalarprodukte ist.



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