Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 34/latex

\setcounter{section}{34}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \angle ( \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{pmatrix} ) }
{ =} { \begin{cases} \alpha \, , \text{ falls } \alpha \leq \pi \, , \\ 2 \pi - \alpha\, , \text{ falls } \alpha > \pi \, . \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mathl{u,v \in V}{} von $0$ verschiedene Vektoren in einem reellen Vektorraum $V$ mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{.} Zeige, dass der Winkel zu \mathkor {} {u} {und} {v} {} mit dem Winkel zu \mathkor {} {su} {und} {tv} {} übereinstimmt, wobei $s,t$ positive reelle Zahlen sind.

}
{} {} Die vorstehende Aussage besagt insbesondere, dass der Winkel eine Eigenschaft der durch zwei Vektoren definierten \stichwort {Strahlen} {} \zusatzklammer {Halbgeraden} {} {} ist.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Winkel}{}{}
\mathdisp {\angle (u,v)} { }
nur von der Einschränkung des Skalarproduktes auf den durch \mathkor {} {u} {und} {v} {} \definitionsverweis {erzeugten}{}{} \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} abhängt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{u,v,w \in V}{} von $0$ verschiedene Vektoren in einem reellen Vektorraum $V$ mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \angle (u,w) }
{ \leq} { \angle (u, v) + \angle (v,w) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Welche \definitionsverweis {Winkel}{}{} gibt es auf einer Geraden?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x^2 +y^2 = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der Einheitskreis. Zeige, dass man auf $K$ eine Metrik definieren kann, indem man
\mathl{d(P,Q)}{} \zusatzklammer {\mathlk{P,Q \in K}{}} {} {} als den positiven Winkel zwischen den zugehörigen Strahlen durch den Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{} ansetzt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $\alpha_n$ der Winkel zwischen dem ersten Standardvektor $e_1$ und dem Vektor $v_n= \sum_{i = 1}^n e_i$ im $\R^n$. Bestimme den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
\mathdisp {\lim_{n \rightarrow \infty} \alpha_n} { . }

}
{} {}

Die beiden folgenden Aufgaben wurden schon auf dem Arbeitsblatt 10 gestellt.


\inputaufgabe
{}
{

Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die \zusatzklammer {bezüglich der Standardbasis} {} {} eine Drehung um $30$ Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die eine Drehung um $45$ Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme elementargeometrisch, auf welche Vektoren die Standardvektoren \mathkor {} {e_1} {und} {e_2} {} bei einer Drehung um den Nullpunkt um den Winkel $\alpha$ gegen den Uhrzeigersinn abgebildet werden.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise die Additionstheoreme für den \definitionsverweis {Sinus}{}{} und den \definitionsverweis {Kosinus}{}{} unter Verwendung von \definitionsverweis {Drehmatrizen}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3 } {} die \definitionsverweis {Drehung}{}{} des Raumes um die $z$-Achse um $45$ Grad gegen den Uhrzeigersinn. Wie sieht die \definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{} bezüglich der \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\2\\ 4 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 3 \\3\\ -1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 5 \\0\\ 7 \end{pmatrix}} { }
aus?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer Raumdrehung, bei der sämtliche Matrixeinträge $\neq 0,1$ sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{,} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein $\varphi$-\definitionsverweis {invarianter}{}{} \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Zeige, dass \maabbdisp {\varphi{{|}}_U} {U} {U } {} ebenfalls eine Isometrie ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 3 }{ 5 } } & - { \frac{ 4 }{ 5 } } \\ { \frac{ 4 }{ 5 } } & { \frac{ 3 }{ 5 } } \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass $M$ eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} auf dem $\R^2$ und dem ${\mathbb C}^2$ definiert. }{Bestimme die \definitionsverweis {komplexen}{}{} \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} zu $M$. }{Bestimme eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} von ${\mathbb C}^2$, die aus \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{} zu $M$ besteht. }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v }
{ \in }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {normierte Vektoren}{}{} in einem reellen Vektorraum $V$ mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{.} Zeige, dass der Vektor
\mathl{u+v}{} die beiden Vektoren in gleich große Winkel unterteilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Wir betrachten eine Uhr mit Minuten- und Sekundenzeiger, die sich beide kontinuierlich bewegen. Bestimme eine Formel, die aus der Winkelstellung des Minutenzeigers die Winkelstellung des Sekundenzeigers \zusatzklammer {jeweils ausgehend von der 12-Uhr-Stellung im Uhrzeigersinn gemessen} {} {} berechnet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass sich jede eigentliche \definitionsverweis {lineare Isometrie}{}{} des $\R^3$ als \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} von Drehungen um die drei \definitionsverweis {Koordinatenachsen}{}{} realisieren lässt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass zu
\mathl{a,b,c,d \in \R}{} mit \mathlk{a^2+b^2+c^2+d^2=1}{} die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} a^2+b^2-c^2-d^2 & 2(-ad+bc) & 2( ac+bd) \\ 2(ad+bc) & a^2-b^2+c^2-d^2 & 2(-ab+cd) \\2(-ac+bd) & 2(ab+cd) & a^2-b^2-c^2+d^2 \end{pmatrix}} { }
eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} des $\R^3$ definiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $M$ eine komplexe $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} derart, dass die Spalten eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} des ${\mathbb C}^2$ bilden und die \definitionsverweis {Determinante}{}{} gleich $1$ ist. Zeige, dass $M$ die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} u & - \overline{ v } \\ v & \overline{ u } \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{u,v \in {\mathbb C}}{} und
\mathl{\Vert { \begin{pmatrix} u \\v \end{pmatrix} } \Vert =1}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5 (1+2+2)}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 5 }{ 13 } } & - { \frac{ 12 }{ 13 } } \\ { \frac{ 12 }{ 13 } } & { \frac{ 5 }{ 13 } } \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass $M$ eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} auf dem $\R^2$ und dem ${\mathbb C}^2$ definiert. }{Bestimme die \definitionsverweis {komplexen}{}{} \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} zu $M$. }{Bestimme eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} von ${\mathbb C}^2$, die aus \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{} zu $M$ besteht. }

}
{} {}