Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 35
- Übungsaufgaben
Aufgabe
Es seien und euklidische Vektorräume und sei
eine injektive lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann winkeltreu ist, wenn für alle , , die Gleichung
gilt.
Aufgabe
Es seien und euklidische Vektorräume. Zeige, dass folgende Aussagen gelten.
- Die Identität
ist winkeltreu.
- Die Verknüpfung von winkeltreuen Abbildungen
und
ist wieder winkeltreu.
- Zu einer bijektiven winkeltreuen Abbildung
ist auch die Umkehrabbildung winkeltreu.
Aufgabe
Es sei ein euklidischer Vektorraum. Zeige, dass die Menge aller winkeltreuen Abbildungen
eine Untergruppe von ist.
Aufgabe *
Es sei
eine obere Dreiecksmatrix derart, dass die zugehörige lineare Abbildung
winkeltreu ist. Zeige
Aufgabe
Es sei
eine Diagonalmatrix. Zeige, dass die zugehörige lineare Abbildung
genau dann winkeltreu ist, wenn konstant und von verschieden ist.
Aufgabe
Man gebe zu jedem , , eine lineare Abbildung
vom Rang an, die orthogonale Vektoren auf orthogonale Vektoren abbildet, aber keine winkeltreue Abbildung ist.
Aufgabe
Es seien und euklidische Vektorräume und
eine injektive lineare Abbildung mit der Eigenschaft, dass orthogonale Vektoren auf orthogonale Vektoren abgebildet werden. Zeige, dass winkeltreu ist.
Aufgabe
Es sei
eine winkeltreue lineare Abbildung auf dem euklidischen Vektorräumen . Zeige, dass es eine Isometrie
und eine Streckung
mit
gibt.
Aufgabe *
Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt und der durch
gegebenen Geraden und den Lotfußpunkt des Punktes auf der Geraden.
Aufgabe
Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt und der durch
gegebenen Ebene im .
Aufgabe
Bestimme den minimalen Abstand von zu einem Punkt der Ebene , die durch die Gleichung gegeben ist.
Aufgabe
Erstelle für die beiden windschiefen Geraden
ein lineares Gleichungssystem und berechne daraus die Lotfußpunkte, den Verbindungsvektor und den Abstand der beiden Geraden.
Aufgabe
Berechne den Abstand der beiden windschiefen Geraden
Die folgenden Aufgaben besprechen Abstände zwischen nichtlinearen Objekten.
Aufgabe
Es sei der Kreis in mit dem Mittelpunkt und dem Radius und der Kreis in mit dem Mittelpunkt und dem Radius . Bestimme den Abstand zwischen den beiden Kreisen und an welchen Kreispunkten dieser angenommen wird.
Aufgabe
Es sei der Kreis in mit dem Mittelpunkt und dem Radius und die durch
gegebene Gerade. Bestimme den Abstand zwischen dem Kreis und der Geraden und an welchen Punkten dieser angenommen wird.
Aufgabe
Aufgabe
Es sei eine Folge in einem metrischen Raum , wobei alle Folgenglieder verschieden seien. Es sei und ein von allen Folgengliedern verschiedener Punkt aus . Zeige, dass genau dann ein Häufungspunkt der Folge ist, wenn
ist.
Die folgende Aufgabe benötigt Analysis 1 (Extremabestimmung durch Ableiten).
Aufgabe
Für welche Punkte der Standardparabel wird der Abstand zum Punkt minimal?
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)
Es seien und euklidische Vektorräume und sei
eine lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann eine Isometrie ist, wenn für beliebige Teilmengen die Gleichung
gilt.
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt und der durch
gegebenen Geraden und den Lotfußpunkt des Punktes auf der Geraden.
Aufgabe (5 Punkte)
Erstelle für die beiden windschiefen Geraden
ein lineares Gleichungssystem und berechne daraus die Lotfußpunkte, den Verbindungsvektor und den Abstand der beiden Geraden.
Aufgabe (3 Punkte)
Berechne den Abstand der beiden windschiefen Geraden
Aufgabe (4 Punkte)
Es seien zwei disjunkte Kreise und in der euklidischen Ebene mit den Mittelpunkten und den Radien und gegeben. Zeige, dass der Abstand zwischen den beiden Kreisen in Punkten angenommen wird, die auf der Verbindungsgeraden der Kreismittelpunkte liegen.
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