Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 20/latex

\setcounter{section}{20}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das Ergebnis, wenn man im \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {X^2-5X+3} { }
die Variable $X$ durch die $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 6 & 7 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}} { }
ersetzt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man finde ein \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f }
{ =} { a+bX+cX^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(-1) =2,\, f(1) = 0,\, f(3) = 5} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man finde ein \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f }
{ =} { a+bX+cX^2+dX^3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c,d }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(0) =1,\, f(1) = 2,\, f(2) = 0, \, f(-1) = 1} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde für die folgenden drei Mengen
\mathdisp {\{1,3,5,7,9, \ldots \},\, \{1,2,4,8,16, \ldots \},\, \{ 9,99,999,9999,99999, \ldots \}} { }
\zusatzklammer {die alle die Form $\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5, \ldots \}$ besitzen} {} {} jeweils ein Polynom
\mathdisp {P(k)=c_0 +c_1k+c_2k^2+c_3k^3 + c_4 k^4} { }
\zusatzklammer {mit Koeffizienten $c_j \in \Q$} {} {} mit
\mathdisp {P(1)=a_1, \, P(2)=a_2, \, P(3)=a_3, \, P(4)= a_4, \, P(5)=a_5} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} mit $q$ Elementen. Zeige, dass man jede Funktion \maabb {\varphi} {K} {K } {} in eindeutiger Weise als ein Polynom
\mathl{P \in K[X]}{} vom Grad $< q$ schreiben kann.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} mit $q$ Elementen. \aufzaehlungzwei {Zeige, dass die Polynomfunktionen \maabbeledisp {\varphi_d} {K} {K } {x} { x^d } {,} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ \leq }{ d }
{ < }{q }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind. } {Zeige, dass die Exponentialfunktionen \maabbeledisp {\psi_b} {K} {K } {x} { b^x } {,} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ \leq }{ b }
{ < }{q }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} linear unabhängig sind. }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne das Ergebnis, wenn man im \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {2X^3-5X^2+7X-4} { }
die Variable $X$ durch die $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}} { }
ersetzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f,g} {V} {V } {} ein \definitionsverweis {Endomorphismen}{}{} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ und
\mathl{P \in K[X]}{} ein \definitionsverweis {Polynom}{}{.} Zeige, dass die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(f \circ g) }
{ =} {P (f) \circ P(g) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im Allgemeinen
\betonung{nicht}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zu einer $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P_M }
{ \defeq} { X^2 - \operatorname{Spur} { \left( M \right) } X + \det M }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_M(M) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ und es sei \maabbdisp {f} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass die Menge
\mathdisp {{ \left\{ P \in K[X] \mid P(f) = 0 \right\} }} { }
ein \definitionsverweis {Hauptideal}{}{} im Polynomring
\mathl{K[X]}{} ist, das vom \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} $\mu_f$ \definitionsverweis {erzeugt}{}{} wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {Matrix}{}{} mit dem \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} $X-a$. Zeige, dass $M$ die \definitionsverweis {Streckung}{}{} mit dem Streckungsfaktor $a$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir besprechen die \definitionsverweis {Minimalpolynome}{}{} zu den \definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{.}

a) Zeige, dass das Minimalpolynom einer Vertauschungsmatrix
\mathl{V_{ij}}{} gleich
\mathl{X^2 -1}{} ist.

b) Zeige, dass das Minimalpolynom einer skalaren Elementarmatrix $S_k (s)$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ \neq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gleich
\mathdisp {X^2 -(s+1)X +s} { }
ist.

c) Zeige, dass das Minimalpolynom einer Additionsmatrix $A_{ij}(a)$ von der Form
\mathdisp {(X-1)^k} { }
ist. Was ist dabei $k$?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $V\neq 0$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {Projektion}{}{.} Zeige, dass es für das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} zu $\varphi$ drei Möglichkeiten gibt, nämlich
\mathl{X,X-1}{} und
\mathl{X(X-1)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Es sei eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$ über $K$ gegeben. Zeige, dass das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
\mathl{P \in K[X]}{} mit dem Minimalpolynom zu $M$ übereinstimmt, wenn man die Matrix über $L$ auffasst.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $M$ eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über $K$ mit dem \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} $P \in K[X]$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} {F_1 \cdots F_k }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Faktorzerlegung in Polynome $F_i$ von positivem Grad. Zeige, dass
\mathl{F_i(M)}{} nicht \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {K^{(\N)} } {K^{(\N)} } {,} die durch
\mathl{e_n \mapsto e_{n+1}}{} festgelegt ist. Zeige, dass $\varphi$ nur vom Nullpolynom annulliert wird.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Man finde ein \definitionsverweis {Polynom}{}{} $f$ vom Grad
\mathl{\leq 3}{,} für welches
\mathdisp {f(0)=-1,\, f(-1) =-3,\, f(1) = 7,\, f(2) = 21} { }
gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Man finde ein \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {f=a+bX+cX^2} { }
mit $a,b,c \in {\mathbb C}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f({ \mathrm i}) =1,\, f(1) = 1+{ \mathrm i},\, f(1-2{ \mathrm i}) = -{ \mathrm i}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Berechne das Ergebnis, wenn man im \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {-X^3+6X^2-6X+27} { }
die Variable $X$ durch die $3\times 3$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 5 & 3 & 2 \\ 5 & 4 & 1 \\7 & 3 & 0 \end{pmatrix}} { }
ersetzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei \maabbdisp {f} {V} {V } {} ein \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ und \maabbdisp {g} {V} {V } {} ein \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{.} Zeige, dass für jedes \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathl{P \in K[X]}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g P(f) g^{-1} }
{ =} {P (gfg^{-1}) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}