Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 19

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Wie lautet das Ergebnis der Division mit Rest, wenn man ein Polynom durch teilt?




Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne das Polynom

im Polynomring .


Aufgabe

Berechne im Polynomring das Produkt


Aufgabe *

Zeige, dass der Polynomring über einem Körper ein kommutativer Ring ist.


Aufgabe *

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaften erfüllt.

  1. ,
  2. .


Aufgabe

Zeige, dass in einem Polynomring über einem Körper gilt: Wenn beide ungleich sind, so ist auch .


Aufgabe

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

die Variable durch die komplexe Zahl ersetzt.


Aufgabe *

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei . Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien ).

  1. .
  2. .
  3. .


Aufgabe

Schreibe das Polynom

in der neuen Variablen .


Aufgabe

Schreibe das Polynom

in der neuen Variablen .


Aufgabe *

Es seien die beiden komplexen Polynome

gegeben. Berechne (es soll also in eingesetzt werden).


Aufgabe

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Der Körper wurde in Beispiel 3.9 vorgestellt.

Aufgabe

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


In den folgenden Aufgaben geht es um die Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

Aufgabe

Löse die quadratische Gleichung über .


Aufgabe

Löse die reelle quadratische Gleichung durch quadratisches Ergänzen.


Aufgabe *

Beweise die Lösungsformel für quadratische Gleichungen.


Aufgabe *

Von einem Rechteck sind der Umfang und die Fläche bekannt. Bestimme die Längen der Seiten des Rechtecks.


Aufgabe *

Bestimme den minimalen Wert der reellen Funktion

Analytische Konzepte wie die Ableitung sollen nicht verwendet werden.

Aufgabe

Löse die biquadratische Gleichung über .


Aufgabe *

Bestimme die -Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome

und


Aufgabe

Beweise die Formel


Aufgabe *

Man bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms

und man gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in und in an.


Aufgabe

Es sei ein Polynom mit reellen Koeffizienten und sei eine Nullstelle von . Zeige, dass dann auch die konjugiert-komplexe Zahl eine Nullstelle von ist.


Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass jedes Polynom eine Produktzerlegung

mit und einem nullstellenfreien Polynom besitzt, wobei die auftretenden verschiedenen Zahlen und die zugehörigen Exponenten bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind.


Aufgabe *

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei mit . Zeige, dass sämtliche normierten Teiler von die Form , , besitzen.


Aufgabe *

Sei ein Körper und sei der Polynomring über und sei ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei ein Teiler von . Zeige, dass ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors in durch seine Vielfachheit in beschränkt ist.


Aufgabe

Es sei ein Polynom vom Grad , . Zeige, dass maximal Fixpunkte besitzt.


Aufgabe *

Es seien und verschiedene normierte Polynome vom Grad über einem Körper . Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?


Aufgabe *

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen mit eindeutig bestimmte ganze Zahlen mit und mit

gibt.


Aufgabe

Es sei ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass in Linearfaktoren zerfällt.


Aufgabe *

Es sei ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung

surjektiv ist.


Aufgabe

Es sei der Polynomring über einem Körper . Zeige, dass die Menge

wobei zwei Brüche und genau dann als gleich gelten, wenn ist, mit einer geeigneten Addition und Multiplikation ein Körper ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung von zwei rationalen Funktionen wieder rational ist.


Aufgabe

Berechne die Hintereinanderschaltungen und der beiden rationalen Funktionen


Aufgabe *

Es seien

Funktionen.

a) Zeige die Gleichheit

b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit

nicht gelten muss.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne im Polynomring das Produkt


Aufgabe (4 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe (3 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise die Formel

für ungerade.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die -Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome

und


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein nichtkonstantes Polynom mit reellen Koeffizienten. Zeige, dass man als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad oder schreiben kann.




Die Aufgabe zum Aufgeben

Aufgabe (7 Punkte)

Zwei Personen und spielen Polynome-Erraten. Dabei denkt sich ein Polynom aus, wobei alle Koeffizienten aus sein müssen. Person darf fragen, was der Wert zu gewissen natürlichen Zahlen ist. Dabei darf diese Zahlen beliebig wählen und dabei auch vorhergehende Antworten berücksichtigen. Ziel ist es, das Polynom zu erschließen.

Entwickle eine Fragestrategie für , die immer zur Lösung führt und bei der die Anzahl der Fragen (unabhängig vom Polynom) beschränkt ist.


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