Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 22/latex

\setcounter{section}{22}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{,} die \definitionsverweis {Eigenräume}{}{} und die \definitionsverweis {geometrischen Vielfachheiten}{}{} zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & 3& \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 3 & 0\\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Eigenraum}{}{} und die \definitionsverweis {geometrische Vielfachheit}{}{} zu
\mathl{-2}{} zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 5 & 0 & 7 \\9 & 3 & 8 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass es maximal
\mathl{\dim_{ K } { \left( V \right) }}{} viele \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} zu $\varphi$ gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe zu einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und einem
\mathbed {m} {}
{1 \leq m \leq n} {}
{} {} {} {,} eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über $K$ an, deren einziger \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $a$ mit \definitionsverweis {geometrischer Vielfachheit}{}{} $m$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n } (K) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Matrix}{}{} mit $n$ \zusatzklammer {paarweise} {} {} verschiedenen \definitionsverweis {Eigenwerten}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Determinante}{}{} von $M$ das Produkt der Eigenwerte ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ \in} { \operatorname{Mat}_{ n } (K) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Matrix}{}{} mit $n$ \zusatzklammer {paarweise} {} {} verschiedenen \definitionsverweis {Eigenwerten}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Spur}{}{} von $M$ die Summe der Eigenwerte ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}} { }
über $\Q$ \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass der Exponent, mit dem
\mathl{X- \lambda}{} im \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} zu $\varphi$ vorkommt, sowohl kleiner als auch größer als die \definitionsverweis {geometrische Vielfachheit}{}{} von $\lambda$ sein kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}} { }
über $\R$ \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist und bestimme eine Basis aus Eigenvektoren. Führe den \definitionsverweis {Basiswechsel}{}{} explizit durch, der zu einer beschreibenden Diagonalmatrix führt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 6 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix}} { }
über $\R$ \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist und bestimme eine Basis aus Eigenvektoren. Führe den \definitionsverweis {Basiswechsel}{}{} explizit durch, der zu einer beschreibenden \definitionsverweis {Diagonalmatrix}{}{} führt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{} über $K$. Zeige, dass $M$ genau dann \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist, wenn die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
\mathl{M^{-1}}{} diagonalisierbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme, welche \definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{} \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $M$ eine obere Dreiecksmatrix, wobei die Diagonaleinträge alle konstant gleich $c$ seien. Zeige, dass $M$ genau dann \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist, wenn es schon eine Diagonalmatrix ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {Projektion}{}{} \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {\varphi} {V} {V } {} ein \definitionsverweis {diagonalisierbarer Endomorphismus}{}{} auf dem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Polynom}{}{.} Zeige, dass
\mathl{P(\varphi)}{} ebenfalls diagonalisierbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {diagonalisierbare Matrix}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} von $M$ die Form
\mathdisp {(X- \lambda_1) \cdots (X- \lambda_k)} { }
mit verschiedenen $\lambda_i$ besitzt.

}
{} {} Die Umkehrung der vorstehenden Aufgabe gilt ebenfalls, siehe Aufgabe 24.8.

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Es seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über dem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ und \maabbdisp {\varphi_i} {V_i} {V_i } {} \definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{} und es sei \maabbdisp {\varphi = \varphi_1 \times \cdots \times \varphi_n} {V_1 \times \cdots \times V_n } {V_1 \times \cdots \times V_n } {} die \definitionsverweis {Produktabbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist, wenn dies für alle $\varphi_i$ gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und \maabbdisp {{ \varphi }^{ * }} { { V }^{ * } } { { V }^{ * } } {} die \definitionsverweis {duale Abbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist, wenn ${ \varphi }^{ * }$ diagonalisierbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}} { }
über ${\mathbb C}$ \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist, nicht aber über $\R$. Führe die Diagonalisierung über ${\mathbb C}$ durch.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}} { }
über dem \definitionsverweis {Körper mit zwei Elementen}{}{} ${\mathbb F}_2$ nicht \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist.

}
{} {}