Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 23

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Berechne das charakteristische Polynom zur Matrix

${\begin{pmatrix}2&5&3\\7&4&2\\3&7&5\end{pmatrix}}.$

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte der linearen Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},$

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

${}A={\begin{pmatrix}-2&-4&2\\0&2&3\\0&6&1\end{pmatrix}}\,$

beschrieben wird.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$. Zeige, dass für jedes ${}\lambda \in K$ die Beziehung

${}\chi _{M}(\lambda )=\det \left(\lambda E_{n}-M\right)\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$. Wie findet man die Determinante von ${}M$ im charakteristischen Polynom ${}\chi _{M}$ wieder?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$. Wie findet man die ${}\operatorname {Spur} {\left(M\right)}$ im charakteristischen Polynom ${}\chi _{M}$ wieder?

Aufgabe

Bestimme das charakteristische Polynom zu einer Matrix

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}.$

Welche Bedeutungen haben die Koeffizienten dieses Polynoms?

Aufgabe

Bestimme das charakteristische Polynom zu einer Matrix

${\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}.$

Welche Bedeutungen haben die Koeffizienten dieses Polynoms?

Aufgabe

Berechne das charakteristische Polynom zur Matrix

${\begin{pmatrix}{\frac {X^{2}-4X+7}{X-1}}&{\frac {6X-5}{X^{2}-5}}\\{\frac {4X^{2}+3X-2}{6X^{2}-3X}}&{\frac {X^{2}+8X+9}{X^{2}-3X+5}}\end{pmatrix}}$

über dem Körper der rationalen Funktionen ${}\mathbb {Q} (X)$.

Aufgabe

Berechne das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume zur Matrix

${\begin{pmatrix}5&7\\3&4\end{pmatrix}}$

über ${}{\mathbb {C} }$.

Aufgabe *

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume der Matrix

${}M={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}\\-3&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\,$

über ${}{\mathbb {C} }$.

Aufgabe *

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2&0&5\\0&-1&0\\8&0&5\end{pmatrix}}\,$

gegebenen linearen Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,v\longmapsto Mv.$

Aufgabe *

Wir betrachten die lineare Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{3},$

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

${}A={\begin{pmatrix}2&1&-2+{\mathrm {i} }\\0&{\mathrm {i} }&1+{\mathrm {i} }\\0&0&-1+2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,$

beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von ${}A$.

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für ${}\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.

Aufgabe

Es sei

${}A={\begin{pmatrix}-4&6&6\\0&2&0\\-3&3&5\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}(\mathbb {R} )\,.$

Berechne:

1. die Eigenwerte von ${}A$;
2. die zugehörigen Eigenräume;
3. die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
4. eine Matrix ${}C\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}(\mathbb {R} )$ derart, dass ${}C^{-1}AC$ eine Diagonalmatrix ist.

Aufgabe *

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}-1&1&0&0\\0&-1&1&0\\0&0&-1&1\\-1&0&0&1\end{pmatrix}}\,.$

1. Bestimme das charakteristische Polynom von ${}M$.
2. Bestimme eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms von ${}M$ und klammere den entsprechenden Linearfaktor aus.
3. Begründe, dass das charakteristische Polynom von ${}M$ zumindest zwei reelle Nullstellen hat.

Aufgabe *

Es sei ${}\lambda$ eine Nullstelle des Polynoms

$X^{3}+2X^{2}-2.$

Zeige, dass

${\begin{pmatrix}{\frac {1}{(1+\lambda )^{3}}}\\{\frac {1}{(1+\lambda )^{2}}}\\{\frac {1}{(1+\lambda )}}\\1\end{pmatrix}}$

ein Eigenvektor der Matrix

${\begin{pmatrix}-1&1&0&0\\0&-1&1&0\\0&0&-1&1\\-1&0&0&1\end{pmatrix}}$

zum Eigenwert ${}\lambda$ ist.

Zur Lösung der folgenden Aufgabe sind neben den vorstehenden Aufgaben auch Aufgabe 10.19 hilfreich.

Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon \mathbb {R} _{\geq 0}^{4}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}^{4},$

die einem Vierertupel ${}(a,b,c,d)$ das Vierertupel

$(\vert {b-a}\vert ,\vert {c-b}\vert ,\vert {d-c}\vert ,\vert {a-d}\vert )$

zuordnet. Zeige, dass es Zahlentupel ${}(a,b,c,d)$ gibt, für die bei beliebig vielen Iterationen der Abbildung nie das Nulltupel erreicht wird.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$ mit der Eigenschaft, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, also

${}\chi _{M}=(X-\lambda _{1})^{\mu _{1}}\cdot (X-\lambda _{2})^{\mu _{2}}{\cdots }(X-\lambda _{k})^{\mu _{k}}\,.$

Zeige, dass

${}\operatorname {Spur} {\left(M\right)}=\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}\lambda _{i}\,$

ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ der Körper mit zwei Elementen und betrachte darüber die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\,.$

Zeige, dass das charakteristische Polynom ${}\chi _{M}$ nicht das Nullpolynom ist, dass aber

${}\chi _{M}(\lambda )=0\,$

für alle ${}\lambda \in K$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine quadratische Matrix und ihre transponierte Matrix das gleiche charakteristische Polynom besitzen.

Aufgabe *

Was ist falsch an der folgenden Argumentation:

„Zu zwei quadratischen ${}n\times n$- Matrizen ${}M,N$ gilt für die charakteristischen Polynome die Beziehung

${}\chi _{M\circ N}=\chi _{M}\chi _{N}\,.$

Nach Definition ist nämlich

${}\chi _{M\circ N}=\det \left(XE_{n}-M\circ N\right)=\det \left(XE_{n}-M\right)\det \left(XE_{n}-N\right)=\chi _{M}\cdot \chi _{N}\,,$

wobei die mittlere Gleichung auf dem Determinantenmultiplikationssatz beruht“.

Aufgabe *

Es sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix, mit dem charakteristischen Polynom

${}\chi _{M}=X^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+c_{n-2}X^{n-2}+\cdots +c_{2}X^{2}+c_{1}X+c_{0}\,.$

Bestimme das charakteristische Polynom der mit ${}s\in K$ gestreckten Matrix ${}sM$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}a\in K$ und ${}m,n\in \mathbb {N} _{+}$ mit ${}1\leq m\leq n$. Man gebe Beispiele für ${}n\times n$- Matrizen ${}M$ derart, dass ${}a$ ein Eigenwert zu ${}M$ ist mit der algebraischen Vielfachheit ${}n$ und der geometrischen Vielfachheit ${}m$.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Es sei eine ${}n\times n$- Matrix ${}M$ über ${}K$ gegeben. Zeige, dass das charakteristische Polynom ${}\chi _{M}\in K[X]$ mit dem charakteristischen Polynom zu ${}M$ übereinstimmt, wenn man die Matrix über ${}L$ auffasst.

Aufgabe *

Zeige, dass das charakteristische Polynom zu einer linearen Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$ wohldefiniert ist, also unabhängig von der gewählten Basis.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum und ${}\varphi \in \operatorname {End} _{}{\left(V\right)}$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. Die lineare Abbildung ${}\varphi$ ist ein Isomorphismus.
2. ${}0$ ist kein Eigenwert von ${}\varphi$.
3. Der konstante Term des charakteristischen Polynoms ${}\chi _{\varphi }$ ist ${}\neq 0$.

Aufgabe *

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$ und sei ${}a\in K$ ein Eigenwert zu ${}\varphi$. Zeige, dass ${}a$ auch ein Eigenwert der dualen Abbildung

${\varphi }^{*}\colon {V}^{*}\longrightarrow {V}^{*}$

ist.

Aufgabe *

Wir betrachten die reelle Matrix

${}M={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}\,.$

a) Bestimme

$M^{n}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$

für ${}n=1,2,3,4$.

b) Sei

${}{\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}}:=M^{n}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\,.$

Erstelle eine Beziehung zwischen den Folgen ${}x_{n}$ und ${}y_{n}$ und Rekursionsformeln für diese Folgen.

c) Bestimme die Eigenwerte und die Eigenvektoren zu ${}M$.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Das charakteristische Polynom ${}\chi _{\varphi }$ zerfalle in verschiedene Linearfaktoren. Zeige, dass ${}\varphi$ diagonalisierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige folgende Eigenschaften.

1. Der Nullraum ${}0\subseteq V$ ist ${}\varphi$- invariant.
2. ${}V$ ist ${}\varphi$- invariant.
3. Eigenräume sind ${}\varphi$-invariant.
4. Es seien ${}U_{1},U_{2}\subseteq V$ ${}\varphi$-invariante Unterräume. Dann sind auch ${}U_{1}\cap U_{2}$ und ${}U_{1}+U_{2}$ ${}\varphi$-invariant.
5. Es sei ${}U\subseteq V$ ein ${}\varphi$-invarianter Unterraum. Dann sind auch der Bildraum ${}\varphi (U)$ und der Urbildraum ${}\varphi ^{-1}(U)$ ${}\varphi$-invariant.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und ${}v\in V$. Zeige, dass der kleinste ${}\varphi$- invariante Unterraum von ${}V$, der ${}v$ enthält, gleich

$\langle \varphi ^{n}(v),\,n\in \mathbb {N} \rangle$

ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Es sei ${}U\subseteq V$ ein ${}\varphi$- invarianter Unterraum von ${}V$. Zeige, dass zu einem Polynom ${}P\in K[X]$ der Raum ${}U$ ebenfalls ${}P(\varphi )$-invariant ist.

Aufgabe

Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$, bezüglich der die Matrix zur linearen Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine obere Dreiecksmatrix sei. Zeige, dass die erzeugten Untervektorräume

$\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle$

${}\varphi$- invariant für jedes ${}i$ sind.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die durch

${}U={\left\{v\in V\mid {\text{ es gibt ein }}n\in \mathbb {N} {\text{ mit }}\varphi ^{n}(v)=0\right\}}\,$

definierte Teilmenge von ${}V$ ein ${}\varphi$- invarianter Unterraum ist.

Aufgabe *

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$. Es sei ${}k\leq n$. Zeige, dass es genau dann einen invarianten Untervektorraum ${}U\subseteq V$ der Dimension ${}k$ gibt, wenn es eine Basis von ${}V$ gibt, bezüglich der die beschreibende Matrix von ${}\varphi$ die Gestalt

${\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1k}&a_{1k+1}&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{k1}&\ldots &a_{kk}&a_{kk+1}&\ldots &a_{kn}\\0&\ldots &0&a_{k+1k+1}&\ldots &a_{k+1n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&\ldots &0&a_{nk+1}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}$

besitzt.

Aufgabe *

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$. Es sei ${}k\leq n$. Zeige, dass es genau dann eine direkte Summenzerlegung ${}V=U\oplus W$ in invariante Untervektorräume ${}U,W\subseteq V$ der Dimension ${}k$ bzw. ${}n-k$ gibt, wenn es eine Basis von ${}V$ gibt, bezüglich der die beschreibende Matrix von ${}\varphi$ die Gestalt

${\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1k}&0&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{k1}&\ldots &a_{kk}&0&\ldots &0\\0&\ldots &0&a_{k+1k+1}&\ldots &a_{k+1n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&\ldots &0&a_{nk+1}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}$

besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Zeige, dass

${}R(U)={\left\{\varphi \in \operatorname {End} _{}{\left(V\right)}\mid U{\text{ ist ein }}\varphi -{\text{invarianter Untervektorraum}}\right\}}\,$

mit der natürlichen Addition und Multiplikation von Endomorphismen ein Ring und ein Untervektorraum von ${}\operatorname {End} _{}{\left(V\right)}$ ist. Bestimme die Dimension dieses Raumes.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne das charakteristische Polynom zur Matrix

${\begin{pmatrix}-3&8&5\\4&7&1\\2&-4&5\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume zur Matrix

${\begin{pmatrix}2&7\\5&4\end{pmatrix}}$

über ${}{\mathbb {C} }$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

${}A={\begin{pmatrix}-5&0&7\\6&2&-6\\-4&0&6\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}(\mathbb {R} )\,.$

Berechne:

1. die Eigenwerte von ${}A$;
2. die zugehörigen Eigenräume;
3. die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
4. eine Matrix ${}C\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}(\mathbb {R} )$ derart, dass ${}C^{-1}AC$ eine Diagonalmatrix ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für jedes ${}\lambda \in \mathbb {Q}$ die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten für die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}3&-4&5\\0&-1&2\\0&0&3\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass das charakteristische Polynom der sogenannten Begleitmatrix

${}M={\begin{pmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &0&1\\-a_{0}&-a_{1}&\ldots &-a_{n-2}&-a_{n-1}\end{pmatrix}}\,$

gleich

${}\chi _{M}=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,$

ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ mindestens einen Eigenvektor besitzt.

Fußnoten