Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 23

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Berechne das charakteristische Polynom zur Matrix




Übungsaufgaben

Aufgabe *

Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte der linearen Abbildung

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben wird.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Zeige, dass für jedes die Beziehung

gilt.[1]


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Wie findet man die Determinante von im charakteristischen Polynom wieder?


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Wie findet man die im charakteristischen Polynom wieder?


Aufgabe

Bestimme das charakteristische Polynom zu einer Matrix

Welche Bedeutungen haben die Koeffizienten dieses Polynoms?


Aufgabe

Bestimme das charakteristische Polynom zu einer Matrix

Welche Bedeutungen haben die Koeffizienten dieses Polynoms?


Aufgabe

Berechne das charakteristische Polynom zur Matrix

über dem Körper der rationalen Funktionen .


Aufgabe

Berechne das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume zur Matrix

über .


Aufgabe *

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume der Matrix

über .


Aufgabe *

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung


Aufgabe *

Wir betrachten die lineare Abbildung

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von .

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.


Aufgabe

Sei

Berechne:

  1. die Eigenwerte von ;
  2. die zugehörigen Eigenräume;
  3. die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
  4. eine Matrix derart, dass eine Diagonalmatrix ist.


Aufgabe *

Es sei

  1. Bestimme das charakteristische Polynom von .
  2. Bestimme eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms von und klammere den entsprechenden Linearfaktor aus.
  3. Begründe, dass das charakteristische Polynom von zumindest zwei reellen Nullstellen hat.


Aufgabe *

Es sei eine Nullstelle des Polynoms

Zeige, dass

ein Eigenvektor der Matrix

zum Eigenwert ist.


Zur Lösung der folgenden Aufgabe sind neben den vorstehenden Aufgaben auch Aufgabe 10.19 hilfreich.

Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

die einem Vierertupel das Vierertupel

zuordnet. Zeige, dass es Zahlentupel gibt, für die bei beliebig vielen Iterationen der Abbildung nie das Nulltupel erreicht wird.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über mit der Eigenschaft, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, also

Zeige, dass

ist.


Aufgabe

Es sei der Körper mit zwei Elementen und betrachte darüber die Matrix

Zeige, dass das charakteristische Polynom nicht das Nullpolynom ist, dass aber

für alle ist.


Aufgabe

Zeige, dass eine quadratische Matrix und ihre transponierte Matrix das gleiche charakteristische Polynom besitzen.


Aufgabe *

Was ist falsch an der folgenden Argumentation:

„Zu zwei quadratischen -Matrizen gilt für die charakteristischen Polynome die Beziehung

Nach Definition ist nämlich

wobei die mittlere Gleichung auf dem Determinantenmultiplikationssatz beruht“.


Aufgabe *

Es sei eine -Matrix, mit dem charakteristischen Polynom

Bestimme das charakteristische Polynom der mit gestreckten Matrix .


Aufgabe

Es sei ein Körper, und mit . Man gebe Beispiele für -Matrizen derart, dass ein Eigenwert zu ist mit der algebraischen Vielfachheit und der geometrischen Vielfachheit .


Aufgabe

Es sei eine Körpererweiterung. Es sei eine -Matrix über gegeben. Zeige, dass das charakteristische Polynom mit dem charakteristischen Polynom zu übereinstimmt, wenn man die Matrix über auffasst.


Aufgabe *

Zeige, dass das charakteristische Polynom zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum wohldefiniert ist, also unabhängig von der gewählten Basis.


Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und . Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

  1. Die lineare Abbildung ist ein Isomorphismus.
  2. ist kein Eigenwert von .
  3. Der konstante Term des charakteristischen Polynoms ist .


Aufgabe *

Es sei

ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum und sei ein Eigenwert zu . Zeige, dass auch ein Eigenwert der dualen Abbildung

ist.


Aufgabe *

Wir betrachten die reelle Matrix

a) Bestimme

für .

b) Sei

Erstelle eine Beziehung zwischen den Folgen und und Rekursionsformeln für diese Folgen.

c) Bestimme die Eigenwerte und die Eigenvektoren zu .


Aufgabe *

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung. Das charakteristische Polynom zerfalle in verschiedene Linearfaktoren. Zeige, dass diagonalisierbar ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Zeige folgende Eigenschaften.

  1. Der Nullraum ist -invariant.
  2. ist -invariant.
  3. Eigenräume sind -invariant.
  4. Seien -invariante Unterräume. Dann sind auch und -invariant.
  5. Sei ein -invarianter Unterraum. Dann sind auch der Bildraum und der Urbildraum -invariant.


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung und . Zeige, dass der kleinste -invariante Unterraum von , der enthält, gleich

ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Es sei

ein -invarianter Unterraum von . Zeige, dass zu einem Polynom der Raum ebenfalls -invariant ist.


Aufgabe

Es sei eine Basis von , bezüglich der die Matrix zur linearen Abbildung

eine obere Dreiecksmatrix sei. Zeige, dass die erzeugten Untervektorräume

-invariant für jedes sind.


Aufgabe *

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die durch

definierte Teilmenge von ein -invarianter Unterraum

ist.


Aufgabe *

Es sei eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum . Sei . Zeige, dass es genau dann einen invarianten Untervektorraum gibt, wenn es eine Basis von gibt, bezüglich der die beschreibende Matrix von die Gestalt

besitzt.


Aufgabe *

Es sei eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum . Sei . Zeige, dass es genau dann eine direkte Summenzerlegung in invariante Untervektorräume der Dimension bzw. gibt, wenn es eine Basis von gibt, bezüglich der die beschreibende Matrix von die Gestalt

besitzt.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und ein Untervektorraum. Zeige, dass

mit der natürlichen Addition und Multiplikation von Endomorphismen ein Ring und ein Untervektorraum von ist. Bestimme die Dimension dieses Raumes.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne das charakteristische Polynom zur Matrix


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume zur Matrix

über .


Aufgabe (4 Punkte)

Sei

Berechne:

  1. die Eigenwerte von ;
  2. die zugehörigen Eigenräume;
  3. die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
  4. eine Matrix derart, dass eine Diagonalmatrix ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für jedes die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten für die Matrix


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass das charakteristische Polynom der sogenannten Begleitmatrix

gleich

ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass mindestens einen Eigenvektor besitzt.




Fußnoten
  1. Die Hauptschwierigkeit bei dieser Aufgabe ist vermutlich zu erkennen, dass man hier wirklich was zeigen muss.


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