Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 8/latex
\setcounter{section}{8}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
des Raumes der
\mathl{2 \times 2}{-}Matrizen.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
des Lösungsraumes des
\definitionsverweis {linearen Gleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4x-3y+7z+5u -v
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y+6z-10u+3v
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in den Variablen
\mathl{x,y,z,u,v}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Dimension}{}{} des Raumes aller $m \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Menge der
\definitionsverweis {Diagonalmatrizen}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
im Raum aller
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
über $K$ ist und bestimme seine
\definitionsverweis {Dimension}{}{.}
}
{} {}
Eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left( a_{ij} \right) }_{1 \leq i,j \leq n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt
\definitionswort {symmetrisch}{,}
wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_{ij}
}
{ = }{ a_{ji}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i,j$ ist.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {symmetrischen}{}{} $n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} einen \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} im Raum aller $n \times n$-Matrizen bildet und bestimme dessen \definitionsverweis {Dimension}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Menge der
\definitionsverweis {oberen Dreiecksmatrizen}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
im Raum aller
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
über $K$ ist und bestimme seine
\definitionsverweis {Dimension}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit endlicher
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es seien $n$ Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} in $V$ gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} bilden eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$.
}{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} bilden ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von $V$.
}{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} sind
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit endlicher
\definitionsverweis {Dimension}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( U \right) }
}
{ = }{ \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
reelle Zahlen. Wir betrachten die drei Vektoren
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} a \\b\\ c \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} c \\a\\ b \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} b \\c\\ a \end{pmatrix}
}
{ \in} { \R^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Man gebe Beispiele für
\mathl{a,b,c}{} derart, dass der von diesen Vektoren erzeugte Untervektorraum die Dimension
\mathl{0,1,2,3}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-räume}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ = }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( W \right) }
}
{ = }{ m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Welche Dimension besitzt der
\definitionsverweis {Produktraum}{}{}
$V \times W$?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $W$ ein $n$-dimensionaler
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
\zusatzklammer {$K$ ein Körper} {} {}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U,V
}
{ \subseteq }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( U \right) }
}
{ = }{ r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ = }{ s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r+s
}
{ > }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U \cap V
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $K[X]$ der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Menge aller Polynome vom Grad
\mathl{\leq d}{} ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
von
\mathl{K[X]}{} ist. Was ist seine
\definitionsverweis {Dimension}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge aller reellen
\definitionsverweis {Polynome}{}{} vom
\definitionsverweis {Grad}{}{} $\leq 4$, für die $-2$ und $3$ Nullstellen sind, ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} in
\mathl{\R[X]}{} ist. Bestimme die
\definitionsverweis {Dimension}{}{} von diesem Vektorraum.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über den
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{,}
und sei $v_1 , \ldots , v_n$ eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$. Zeige, dass die Vektorenfamilie
\mathdisp {v_1 , \ldots , v_n \text{ und } { \mathrm i} v_1 , \ldots , { \mathrm i} v_n} { }
eine Basis von $V$, aufgefasst als reeller Vektorraum, ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei die Standardbasis
\mathl{e_1,e_2,e_3,e_4}{} im $\R^4$ gegeben und die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\3\\ 0\\-4 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 5\\7 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} -4 \\9\\ -5\\1 \end{pmatrix}} { . }
Zeige, dass diese Vektoren
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
sind und ergänze sie mit einem geeigneten Standardvektor gemäß
Satz 8.2
zu einer
\definitionsverweis {Basis}{}{.}
Kann man jeden Standardvektor nehmen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {linearen Gleichungen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 9x-8y+7z-8u +4v
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\, 3y+7z -4 u+6v
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \, \,\,\,\,\,\,\, -2z +5 u +7v
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über $\R$.
\aufzaehlungvier{Bestimme eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
$\mathfrak{ b }_1$ des Lösungsraumes des gesamten Gleichungssystems.
}{Ergänze die Basis $\mathfrak{ b }_1$ zu einer Basis $\mathfrak{ b }_2$ des Lösungsraumes des Gleichungssystems, das aus den ersten beiden Gleichungen besteht.
}{Ergänze die Basis $\mathfrak{ b }_2$ zu einer Basis $\mathfrak{ b }_3$ des Lösungsraumes des Gleichungssystems, das allein aus der ersten Gleichung besteht.
}{Ergänze die Basis $\mathfrak{ b }_3$ zu einer Basis $\mathfrak{ b }_4$ des Gesamtraumes $\R^5$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die letzte Ziffer im kleinen Einmaleins
\zusatzklammer {ohne die Zehnerreihe} {} {}
als eine Familie von $9$ Tupeln der Länge $9$, also die Zeilenvektoren in der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 9 & 2 & 5 & 8 & 1 & 4 & 7 \\ 4 & 8 & 2 & 6 & 0 & 4 & 8 & 2 & 6 \\ 5 & 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 5 \\ 6 & 2 & 8 & 4 & 0 & 6 & 2 & 8 & 4 \\ 7 & 4 & 1 & 8 & 5 & 2 & 9 & 6 & 3 \\ 8 & 6 & 4 & 2 & 0 & 8 & 6 & 4 & 2 \\ 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1
\end{pmatrix}} { . }
Welche
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
besitzt der durch diese Tupel
\definitionsverweis {aufgespannte Untervektorraum}{}{}
des $\R^9$?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass $V$ nicht zugleich eine endliche \definitionsverweis {Basis}{}{} und eine unendliche Basis besitzen kann.
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Albrecht_Dürer_-_Melencolia_I_(detail).jpg} }
\end{center}
\bildtext {Das magische Quadrat aus Dürers Stich Melencolia I.} }
\bildlizenz { Albrecht_Dürer_-_Melencolia_I_(detail).jpg } {Albrecht Dürer} {} {Commons} {PD} {}
Eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathl{{ \left( a_{ij} \right) }_{ij}}{} über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ heißt
\definitionswort {magisches Quadrat}{}
\zusatzklammer {oder
\definitionswort {linear-magisches Quadrat}{}
über $K$} {} {,}
wenn jede Spaltensumme und jede Zeilensumme in der Matrix gleich einer bestimmen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
In diesem Sinne ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} c & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & c & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & c \end{pmatrix}} { }
für jedes
\mathl{c \in K}{} ein magisches Quadrat.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge aller \definitionsverweis {linear-magischen Quadrate}{}{} der Länge $n$ über $K$ einen \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} im Raum aller $n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} bildet.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei $v_1 , \ldots , v_m$ eine Familie von $m$ Vektoren in $V$ und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} {\langle v_i ,\, i = 1 , \ldots , m \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der davon
\definitionsverweis {aufgespannte Untervektorraum}{}{.}
Zeige, dass die Familie genau dann
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
ist, wenn die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
von $U$ gleich $m$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4 (3+1)}
{
a) Bestimme die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
des Lösungsraumes des
\definitionsverweis {linearen Gleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2x+5y+7z+4u -3v +2w
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4 x+ 9y+6z+5u -v +w
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{7 x+ 8y-3z+u +3v +3w
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{- x+ 6y+16z+8u -7v
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in den Variablen
\mathl{x,y,z,u,v,w}{.}
b) Was ist die Dimension des Lösungsraumes, wenn man dieses System in den Variablen
\mathl{x,y,z,u,v,w,r,s}{} auffasst?
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass die Menge aller reellen
\definitionsverweis {Polynome}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$\leq 6$, für die $-1$, $0$ und $1$ Nullstellen sind, ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
in
\mathl{\R[X]}{} ist. Bestimme die
\definitionsverweis {Dimension}{}{} von diesem Vektorraum.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
des Raumes aller
\definitionsverweis {linear-magischen Quadrate}{}{}
der Länge $n$ über $K$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{7 (3+2+1+1)}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {linearen Gleichungen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 8x-3y+5z+7u +6v
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{9x+ 2y+\,\, z \,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, -v
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\, 7 y-\,\, z +4u \,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über $\R$.
\aufzaehlungvier{Bestimme eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
$\mathfrak{ b }_1$ des Lösungsraumes des gesamten Gleichungssystems.
}{Ergänze die Basis $\mathfrak{ b }_1$ zu einer Basis $\mathfrak{ b }_2$ des Lösungsraumes des Gleichungssystems, das aus den ersten beiden Gleichungen besteht.
}{Ergänze die Basis $\mathfrak{ b }_2$ zu einer Basis $\mathfrak{ b }_3$ des Lösungsraumes des Gleichungssystems, das allein aus der ersten Gleichung besteht.
}{Ergänze die Basis $\mathfrak{ b }_3$ zu einer Basis $\mathfrak{ b }_4$ des Gesamtraumes $\R^5$.
}
}
{} {}
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