Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 7

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Man gebe im drei Vektoren an, so dass je zwei von ihnen linear unabhängig sind, aber alle drei zusammen linear abhängig.




Übungsaufgaben

Aufgabe

Finde für die Vektoren

im eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.


Aufgabe

Finde für die Vektoren

im eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.


Aufgabe

Entscheide, ob die folgenden Vektoren linear unabhängig sind.

  1. , , , im -Vektorraum .
  2. , im -Vektorraum .
  3. , im -Vektorraum .
  4. , im -Vektorraum .


Aufgabe

Zeige, dass die drei Vektoren

im linear unabhängig sind.


Aufgabe *

Es sei ein -Vektorraum und sei eine Familie von Vektoren in . Zeige, dass die Familie genau dann linear unabhängig ist, wenn es einen Untervektorraum gibt, für den die Familie eine Basis bildet.


Aufgabe

Bestimme eine Basis des Untervektorraums .


Aufgabe

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum der linearen Gleichung


Aufgabe

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems


Aufgabe

Zeige, dass im die drei Vektoren

eine Basis bilden.


Aufgabe

Bestimme, ob im die beiden Vektoren

eine Basis bilden.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Man finde ein lineares Gleichungssystem in drei Variablen, dessen Lösungsraum genau

ist.


Aufgabe *

Im seien die beiden Untervektorräume

und

gegeben. Bestimme eine Basis für .


Aufgabe

Sei ein Körper, ein -Vektorraum und , , eine Familie von Vektoren in . Beweise die folgenden Aussagen.

  1. Wenn die Familie linear unabhängig ist, so ist auch zu jeder Teilmenge die Familie  , , linear unabhängig.
  2. Die leere Familie ist linear unabhängig.
  3. Wenn die Familie den Nullvektor enthält, so ist sie nicht linear unabhängig.
  4. Wenn in der Familie ein Vektor mehrfach vorkommt, so ist sie nicht linear unabhängig.
  5. Ein Vektor ist genau dann linear unabhängig, wenn ist.
  6. Zwei Vektoren und sind genau dann linear unabhängig, wenn weder ein skalares Vielfaches von ist noch umgekehrt.


Aufgabe *

Es sei ein Untervektorraum. Zeige, dass eine Basis aus Vektoren besitzt, deren Einträge allesamt ganze Zahlen sind.


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und sei , , eine Familie von Vektoren in . Es sei , , eine Familie von Elementen aus . Zeige, dass die Familie , , genau dann linear unabhängig (ein Erzeugendensystem von , eine Basis von ) ist, wenn dies für die Familie , , gilt.


Aufgabe

Es sei ein -Vektorraum, eine Basis von und

die zugehörige bijektive Abbildung im Sinne von Bemerkung 7.12. Zeige, dass diese Abbildung die komponentenweise Addition im in die Vektoraddition in überführt, dass also

gilt.


Aufgabe

Es sei eine Basis des und

die zugehörige bijektive Abbildung im Sinne von Bemerkung 7.12. Zeige, dass diese Abbildung im Allgemeinen nicht mit der komponentenweisen Multiplikation im verträglich ist.


Aufgabe

Es sei ein -Vektorraum und sei , , eine Basis von . Es sei , , eine weitere Vektorenfamilie aus . Für jedes gelte

Zeige, dass auch , , eine Basis von ist.


Aufgabe

Es sei der Polynomring über . Für setzen wir

Zeige, dass , , eine Basis des bildet.


Aufgabe

Formuliere und beweise Satz 7.11 für eine beliebige (nicht notwendigerweise endliche) Vektorenfamilie , .


Aufgabe *

Betrachte die reellen Zahlen als -Vektorraum. Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen , wobei durch die Menge der Primzahlen läuft, linear unabhängig ist. Tipp: Verwende, dass jede positive natürliche Zahl eine eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen besitzt.


Aufgabe

Man mache sich an den folgenden Beispielen klar, dass der Satz von Hamel keineswegs selbstverständlich ist.

  1. Die reellen Zahlen als -Vektorraum betrachtet.
  2. Die Menge der reellen Folgen
  3. Die Menge aller stetigen Funktionen von nach .


Aufgabe *

Es sei ein angeordneter Körper und sei

der Vektorraum aller Folgen in (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).

a) Zeige (ohne Sätze über konvergente Folgen zu verwenden), dass die Menge der Nullfolgen, also

ein -Untervektorraum von ist.

b) Sind die beiden Folgen

linear unabhängig in ?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, ob im die drei Vektoren

eine Basis bilden.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, ob im die beiden Vektoren

eine Basis bilden.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass im Raum der -Matrizen die Matrizen , die genau an der Stelle den Eintrag und sonst überall den Eintrag haben, eine Basis bilden.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei der -dimensionale Standardraum über und sei eine Familie von Vektoren. Zeige, dass diese Familie genau dann eine -Basis des ist, wenn diese Familie aufgefasst im eine -Basis des bildet.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper und sei

ein von verschiedener Vektor. Man finde ein lineares Gleichungssystem in Variablen mit Gleichungen, dessen Lösungsraum genau

ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei der Polynomring über . Wir setzen und für setzen wir

Zeige, dass , , eine Basis des bildet.

Tipp: Verwende Aufgabe 7.19


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