- Die Pausenaufgabe
Man gebe im
drei Vektoren an, so dass je zwei von ihnen
linear unabhängig sind, aber alle drei zusammen linear abhängig.
- Übungsaufgaben
Finde für die Vektoren
-
im
eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.
Finde für die Vektoren
-
im
eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.
Entscheide, ob die folgenden Vektoren
linear unabhängig
sind.
,
,
,
im
-Vektorraum
.
,
im
-Vektorraum
.
,
im
-Vektorraum
.
,
im
-Vektorraum
.
Zeige, dass die drei Vektoren
-
im
linear unabhängig sind.
Bestimme eine Basis des Untervektorraums
.
Bestimme eine
Basis
für den
Lösungsraum
der linearen Gleichung
-

Bestimme eine
Basis für den
Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
-
Zeige, dass im
die drei Vektoren
-
eine
Basis
bilden.
Bestimme, ob im
die beiden Vektoren
-
eine
Basis
bilden.
Es sei
ein Körper. Man finde ein
lineares Gleichungssystem
in drei Variablen, dessen Lösungsraum genau
-
ist.
Im
seien die beiden Untervektorräume
-
und
-
gegeben. Bestimme eine Basis für
.
Sei
ein Körper,
ein
-Vektorraum und
,
, eine Familie von Vektoren in
. Beweise die folgenden Aussagen.
- Wenn die Familie
linear unabhängig ist, so ist auch zu jeder Teilmenge
die Familie
,
, linear unabhängig.
- Die leere Familie ist linear unabhängig.
- Wenn die Familie den Nullvektor enthält, so ist sie nicht linear unabhängig.
- Wenn in der Familie ein Vektor mehrfach vorkommt, so ist sie nicht linear unabhängig.
- Ein Vektor
ist genau dann linear unabhängig, wenn
ist.
- Zwei Vektoren
und
sind genau dann linear unabhängig, wenn weder
ein skalares Vielfaches von
ist noch umgekehrt.
Es sei
ein
Untervektorraum.
Zeige, dass
eine
Basis
aus Vektoren besitzt, deren Einträge allesamt ganze Zahlen sind.
Es sei
ein Körper,
ein
-Vektorraum und sei
,
, eine Familie von Vektoren in
. Es sei
,
, eine Familie von Elementen
aus
. Zeige, dass die Familie
,
, genau dann
linear unabhängig
(ein
Erzeugendensystem von
, eine
Basis von
) ist, wenn dies für die Familie
,
, gilt.
Es sei
ein
-Vektorraum,
eine
Basis
von
und
-
die zugehörige bijektive Abbildung im Sinne von
Bemerkung 7.12.
Zeige, dass diese Abbildung die komponentenweise Addition im
in die Vektoraddition in
überführt, dass also
-

gilt.
Es sei
eine
Basis
des
und
-
die zugehörige bijektive Abbildung im Sinne von
Bemerkung 7.12.
Zeige, dass diese Abbildung im Allgemeinen nicht mit der komponentenweisen Multiplikation im
verträglich ist.
Es sei
ein
-Vektorraum
und sei
,
,
eine
Basis
von
. Es sei
,
,
eine weitere Vektorenfamilie aus
. Für jedes
gelte
-

Zeige, dass auch
,
,
eine Basis von
ist.
Formuliere und beweise
Satz 7.11
für eine beliebige
(nicht notwendigerweise endliche)
Vektorenfamilie
,
.
Es sei
ein angeordneter Körper und sei
-
der
Vektorraum
aller
Folgen
in
(mit komponentenweiser Addition und
Skalarmultiplikation).
a) Zeige
(ohne Sätze über
konvergente Folgen zu verwenden), dass die Menge der Nullfolgen, also
-
ein
-Untervektorraum
von
ist.
b) Sind die beiden Folgen
-
linear unabhängig
in
?
- Aufgaben zum Abgeben
Bestimme, ob im
die drei Vektoren
-
eine
Basis
bilden.
Bestimme, ob im
die beiden Vektoren
-
eine
Basis
bilden.
Tipp: Verwende
Aufgabe 7.19