Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 33/latex

\setcounter{section}{33}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {Kreuzprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 \\5\\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -4 \\6\\ -5 \end{pmatrix}} { }
im $\R^3$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {Kreuzprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4-7 { \mathrm i} \\3+5{ \mathrm i}\\ -1-2{ \mathrm i} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -6+ 4{ \mathrm i} \\-2-8{ \mathrm i}\\ 1-9{ \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
im ${\mathbb C}^3$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {Kreuzprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 \\1\\ 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\4\\ 3 \end{pmatrix}} { }
im $K^3$, wobei $K$ den Körper mit fünf Elementen bezeichnet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {Kreuzprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 \\6\\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 \\2\\ 5 \end{pmatrix}} { }
im $K^3$, wobei $K$ den Körper mit sieben Elementen bezeichnet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Kreuzprodukt}{}{} auf dem $K^3$ \definitionsverweis {bilinear}{}{} und \definitionsverweis {alternierend}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für das \definitionsverweis {Kreuzprodukt}{}{} für Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y,z }
{ \in }{ K^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x \times (y \times z) + y \times (z \times x) + z \times (x \times y) }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{u_1,u_2,u_3}{} eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} des $\R^3$. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u_1 \times u_2 }
{ = }{ \pm u_3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass über einem beliebigen Körper $K$ zu \definitionsverweis {linear unabhängigen}{}{} Vektoren \mathkor {} {u= \begin{pmatrix} a \\b\\ c \end{pmatrix}} {und} {v= \begin{pmatrix} d \\e\\ f \end{pmatrix}} {} das \definitionsverweis {Kreuzprodukt}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} a \\b\\ c \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} d \\e\\ f \end{pmatrix}}{} zusammen mit \mathkor {} {u} {und} {v} {} keine \definitionsverweis {Basis}{}{} des $K^3$ bilden müssen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Isometrien}{}{} von $\R$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Welche \definitionsverweis {Isometrien}{}{} des $\R^2$ kennen Sie aus der Schule?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $U,V$ ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{} mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} und \maabb {\varphi} {U} {V } {} eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $U,V,W$ ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{} mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{.} Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungdrei{Die \definitionsverweis {Identität}{}{} \maabb {} {V} {V } {} ist eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{.} }{Wenn \maabb {\varphi} {U} {V } {} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} Isometrie ist, so ist auch die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} $\varphi^{-1}$ eine Isometrie. }{Wenn \maabb {\varphi} {U} {V } {} und \maabb {\psi} {V} {W } {} Isometrien sind, so ist auch die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{\psi \circ \varphi}{} eine Isometrie. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Isometrien}{}{} von ${\mathbb C}$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{,} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein $\varphi$-\definitionsverweis {invarianter}{}{} \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Zeige, dass \maabbdisp {\varphi{{|}}_U} {U} {U } {} ebenfalls eine Isometrie ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} der \definitionsverweis {Dimension}{}{} $n$. Zeige, dass eine Vektorfamilie
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_1 , \ldots , u_n }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} von $V$ ist, wenn die zugehörige \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^n} {V } {e_i} {u_i } {,} eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} zwischen \mathkor {} {\R^n} {und} {V} {} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien $V$ und $W$ \definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{$\varphi$ ist eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{.} }{Für jede \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} $u_i, i = 1 , \ldots , n$, von $V$ ist $\varphi(u_i), i = 1 , \ldots , n$, Teil einer Orthonormalbasis von $W$. }{Es gibt eine Orthonormalbasis $u_i, i = 1 , \ldots , n$, von $V$ derart, dass $\varphi(u_i), i = 1 , \ldots , n$, Teil einer Orthonormalbasis von $W$ ist.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {bijektiven}{}{} \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^2} {\R^2 } {} mit der Eigenschaft, dass es einerseits eine \definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{} des $\R^2$ gibt, die unter $\varphi$ in eine Orthogonalbasis überführt wird, es andererseits aber auch eine Orthogonalbasis gibt, die unter $\varphi$ nicht in eine Orthogonalbasis überführt wird.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} mit der Eigenschaft, dass die \definitionsverweis {Determinante}{}{} von $\varphi$ gleich \mathkor {} {1} {oder} {-1} {} ist. Ferner besitze $\varphi$ die Eigenschaft, dass zueinander \definitionsverweis {orthogonale}{}{} Vektoren stets auf orthogonale Vektoren abgebildet werden. Zeige, dass $\varphi$ eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {bijektiven}{}{} \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} { \R^3 } { \R^3 } {} an, die keine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} ist, für die aber für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mathdisp {\left\langle u , v \right\rangle = 0 \text{ genau dann, wenn } \left\langle \varphi(u) , \varphi(v) \right\rangle = 0} { }
gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^2} {\R^2 } {} derart, dass $\varphi$ \definitionsverweis {flächentreu}{}{,} aber keine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^2} { \R^2 } {} an, deren \definitionsverweis {Ordnung}{}{} $2$ ist und die keine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} Zeige, dass die Menge
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} der \definitionsverweis {invertierbaren Matrizen}{}{} eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} ist. Zeige ferner, dass diese Gruppe bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \geq }{ 2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nicht \definitionsverweis {kommutativ}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Berechne das \definitionsverweis {Kreuzprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 \\2\\ 5 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 \\6\\ 2 \end{pmatrix}} { }
im $K^3$, wobei $K$ den Körper mit sieben Elementen bezeichnet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{.} Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Isometrien}{}{} auf $V$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} unter der Hintereinanderschaltung von Abbildungen bildet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R^n} {\R^n } {} eine \definitionsverweis {eigentliche Isometrie}{}{.} Es sei vorausgesetzt, dass $f$ \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist. Zeige, dass dann $f$ sogar \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es seien
\mathl{V,W}{} komplexe Vektorräume mit \definitionsverweis {Skalarprodukten}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} bezüglich der gegebenen komplexen Skalarprodukte ist, wenn $\varphi$ eine Isometrie bezüglich der zugehörigen reellen Skalarprodukte ist.

}
{} {}