Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 33

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Übungsaufgaben

Aufgabe *

Berechne das Kreuzprodukt

im .


Aufgabe

Berechne das Kreuzprodukt

im .


Aufgabe

Berechne das Kreuzprodukt

im , wobei den Körper mit fünf Elementen bezeichnet.


Aufgabe

Berechne das Kreuzprodukt

im , wobei den Körper mit sieben Elementen bezeichnet.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Zeige, dass das Kreuzprodukt auf dem bilinear und alternierend ist.


Aufgabe

Zeige, dass für das Kreuzprodukt für Vektoren die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Es sei eine Orthonormalbasis des . Zeige .


Aufgabe

Zeige, dass über einem beliebigen Körper zu linear unabhängigen Vektoren und das Kreuzprodukt zusammen mit und keine Basis des bilden müssen.


Aufgabe

Bestimme die Isometrien von .


Aufgabe

Welche Isometrien des kennen Sie aus der Schule?


Aufgabe

Es seien -Vektorräume mit Skalarprodukt und eine Isometrie. Zeige, dass injektiv ist.


Aufgabe

Es seien -Vektorräume mit Skalarprodukt. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Die Identität ist eine Isometrie.
  2. Wenn eine bijektive Isometrie ist, so ist auch die Umkehrabbildung eine Isometrie.
  3. Wenn und Isometrien sind, so ist auch die Hintereinanderschaltung eine Isometrie.


Aufgabe

Bestimme die Isometrien von .


Aufgabe

Es sei ein -Vektorraum mit einem Skalarprodukt,

eine Isometrie und ein -invarianter Untervektorraum. Zeige, dass

ebenfalls eine Isometrie ist.


Aufgabe *

Sei ein euklidischer Vektorraum der Dimension . Zeige, dass eine Vektorfamilie genau dann eine Orthonormalbasis von ist, wenn die zugehörige lineare Abbildung

eine Isometrie zwischen und ist.


Aufgabe *

Seien und euklidische Vektorräume und sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. ist eine Isometrie.
  2. Für jede Orthonormalbasis , von ist , Teil einer Orthonormalbasis von .
  3. Es gibt eine Orthonormalbasis , von derart, dass , Teil einer Orthonormalbasis von ist.


Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven linearen Abbildung

mit der Eigenschaft, dass es einerseits eine Orthogonalbasis des gibt, die unter in eine Orthogonalbasis überführt wird, es andererseits aber auch eine Orthogonalbasis gibt, die unter nicht in eine Orthogonalbasis überführt wird.


Aufgabe *

Es sei ein euklidischer Vektorraum und sei

eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft, dass die Determinante von gleich oder ist. Ferner besitze die Eigenschaft, dass zueinander orthogonale Vektoren stets auf orthogonale Vektoren abgebildet werden. Zeige, dass eine Isometrie ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven linearen Abbildung

an, die keine Isometrie ist, für die aber für alle die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

derart, dass flächentreu, aber keine Isometrie ist.


Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

an, deren Ordnung ist und die keine Isometrie ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Menge der invertierbaren Matrizen eine Gruppe ist. Zeige ferner, dass diese Gruppe bei nicht kommutativ ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne das Kreuzprodukt

im , wobei den Körper mit sieben Elementen bezeichnet.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein euklidischer Vektorraum. Zeige, dass die Menge der Isometrien auf eine Gruppe unter der Hintereinanderschaltung von Abbildungen bildet.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei

eine eigentliche Isometrie. Es sei vorausgesetzt, dass trigonalisierbar ist. Zeige, dass dann sogar diagonalisierbar ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien komplexe Vektorräume mit Skalarprodukten und

eine lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann eine Isometrie bezüglich der gegebenen komplexen Skalarprodukte ist, wenn eine Isometrie bezüglich der zugehörigen reellen Skalarprodukte ist.



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