Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 45/latex
\setcounter{section}{45}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme, ob die durch die Relationstabelle
\tabelleviervier {\zeileundvier {} {A} {B} {C} }
{\zeileundvier {A} {} {x} {x} }
{\zeileundvier {B} {x} {x} {} }
{\zeileundvier {C} {x} {x} {x} }
beschriebene
\definitionsverweis {Relation}{}{}
auf der Menge
\mathl{\{A,B,C\}}{}
\definitionsverweis {reflexiv}{}{,}
\definitionsverweis {symmetrisch}{}{,}
\definitionsverweis {transitiv}{}{,}
\definitionsverweis {antisymmetrisch}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $M$ eine Menge mit $n$ Elementen. Bestimme die Anzahl der Relationen auf $M$, die \aufzaehlungdrei{reflexiv }{symmetrisch }{reflexiv und symmetrisch } sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Auf den ganzen Zahlen $\Z$ lebe eine Kolonie von Flöhen, und jeder Flohsprung geht fünf Einheiten weit (in beide Richtungen). Wie viele Flohpopulationen gibt es? Wie kann man einfach charakterisieren, ob zwei Flöhe zur gleichen Population gehören oder nicht?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {ModernChartresStyleLabyrinth.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { ModernChartresStyleLabyrinth.svg } {} {} {Commons} {} {}
Wir betrachten auf dem weißen Teil des angegebenen Labyrinths die \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{,} die dadurch festgelegt ist, dass zwei Punkte als äquivalent gelten, wenn man durch eine stetige Bewegung \zusatzklammer {also ohne Sprünge} {} {} von einem Punkt zum anderen Punkt gelangen kann. Zeige, dass ein Punkt außerhalb des äußeren Kreises und ein Punkt des inneren Kreises zueinander äquivalent sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $B$ ein Blatt Papier \zusatzklammer {oder ein Taschentuch} {} {.} Man versuche, sich die folgenden \definitionsverweis {Äquivalenzrelationen}{}{} auf $B$ und die zugehörige \definitionsverweis {Identifizierungsabbildungen}{}{} vorzustellen \zusatzklammer {möglichst geometrisch} {} {.} \aufzaehlungacht{Die vier Eckpunkte sind untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Alle Randpunkte sind untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Jeder Punkt des linken Randes ist äquivalent zu seinem horizontal gegenüber liegenden Punkt am rechten Rand, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Jeder Punkt des linken Randes ist äquivalent zu seinem horizontal gegenüber liegenden Punkt am rechten Rand und jeder Punkt des oberen Randes ist äquivalent zu seinem vertikal gegenüber liegenden Punkt, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Jeder Punkt des Randes ist äquivalent zu seinem punktsymmetrisch \zusatzklammer {bezüglich des Mittelpunktes des Blattes} {} {} gegenüber liegenden Punkt, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Es sei $K$ ein Kreis \zusatzklammer {d.h. eine Kreislinie} {} {} auf dem Blatt. Alle Kreispunkte seien untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Es gebe zwei Punkte $P \neq Q$, die untereinander äquivalent seien, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Es sei $H$ die horizontale Halbierungsgerade des Blattes. Zwei Punkte sind genau dann äquivalent, wenn sie achsensymmetrisch zu $H$ sind. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten auf der Menge aller höheren Säugetiere die Äquivalenzrelationen, die durch \anfuehrung{gehören zur gleichen Gattung}{,} \anfuehrung{gehören zur gleichen Familie}{,} \anfuehrung{gehören zur gleichen Art}{,} \anfuehrung{gehören zur gleichen Klasse}{,} \anfuehrung{gehören zur gleichen Ordnung}{} gegeben sind. Welche Äquivalenzrelation ist eine Verfeinerung von welcher Äquivalenzrelation? Man gebe für je zwei dieser Äquivalenzrelationen Tiere an, die bezüglich der einen Relation äquivalent sind, aber nicht bezüglich der anderen. Wie viele Äquivalenzklassen besitzt die Äquivalenzrelation zur Ordnung?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ die Menge der Menschen und $R$ die Verwandtschaftsrelation darauf, die wir großzügig als transitiv interpretieren. Wie viele Äquivalenzklassen gibt es?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ \N \times \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir fixieren die Sprünge
\mathdisp {\pm (2,1) \text{ und } \pm (1,3)} { , }
und sagen, dass zwei Punkte
\mathl{P=(a,b),\, Q=(c,d) \in M}{} äquivalent sind, wenn man ausgehend von $P$ den Punkt $Q$ mit einer Folge von diesen Sprüngen aus erreichen kann
\zusatzklammer {und dabei in $M$ bleibt} {} {.}
Dies ist eine Äquivalenzrelation. Man bestimme die Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation und für jede Äquivalenzklasse genau einen besonders einfachen Vertreter. Man gebe auch einen Algorithmus an, der zu einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a,b)
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
diesen äquivalenten Vertreter findet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
Mengen und sei
\maabb {f} {M} {N
} {}
eine Abbildung. Es sei $\sim$ eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf $N$. Zeige, dass durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \equiv }{ x'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ \sim }{ f(x')
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt, eine Äquivalenzrelation auf $M$ definiert wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{.}
Betrachte die
\definitionsverweis {Relation}{}{}
$\sim$ auf $G$, die durch
\mathdisp {x \sim y \text{ genau dann, wenn } x =y \text{ oder } x = y^{-1}} { }
erklärt ist. Zeige, dass $\sim$ eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {Relation}{}{} auf $V$, die durch
\mathdisp {v \sim w, \text{ falls es ein } \lambda \in K, \lambda \neq 0, \text{ mit } v = \lambda w \text{ gibt }} { }
eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist. Was sind die Äquivalenzklassen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir fassen ein Dreieck als ein Dreiertupel im $\R^2$ auf. Zeige, dass die \definitionsverweis {Kongruenz von Dreiecken}{}{} eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und $n \in \N$. Wir betrachten die folgende Relation auf $\operatorname{Mat}_{ n } (K)$.
\mathdisp {M \sim N, \text{ falls es eine invertierbare Matrix } B \text{ gibt mit } M=BNB^{-1}} { . }
Zeige, dass $\sim$ eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Relation}{}{}
auf der Menge der quadratischen $n \times n$-Matrizen, bei der Matrizen $M$ und $N$ als äquivalent angesehen werden, wenn es
\definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{}
$E_1 , \ldots , E_k$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ E_k \circ \cdots \circ E_1 \circ N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt. Zeige, dass dies eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Betrachte auf der
\definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
$V^m$ die folgende
\definitionsverweis {Relation}{}{.}
\mathdisp {( v _1 , \ldots , v _m ) \sim ( w _1 , \ldots , w _m ) , \text{ falls } \langle v_1 , \ldots , v_m \rangle = \langle w_1 , \ldots , w_m \rangle} { }
Zeige, dass dies eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist. Man gebe eine
\definitionsverweis {Bijektion}{}{}
zwischen der zugehörigen
\definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{}
und der Menge der
\definitionsverweis {Unterräume}{}{}
von $V$ der Dimension $\leq m$ an. Zeige ferner, dass zwei Tupel
\mathkor {} {( v _1 , \ldots , v _m )} {und} {( w _1 , \ldots , w _m )} {}
genau dann in dieser Relation zueinander stehen, wenn es eine
\definitionsverweis {invertierbare}{}{}
$m\times m$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ { \left( a_{ij} \right) }_{ij}
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ m } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_i
}
{ =} { \sum_{j = 1}^m a_{ij} w_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $i$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten auf der Mengen der
\definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{}
\maabb {\varphi} {{\mathbb C}^n} {{\mathbb C}^n
} {}
die
\definitionsverweis {Relation}{}{}
$\sim$, bei der
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ \sim }{ \psi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn es
\definitionsverweis {Basen}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} und
\mathl{w_1 , \ldots , w_n}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ v } } ( \varphi)
}
{ = }{M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ w } } ( \psi)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt. Zeige, dass dies eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist. Wie kann man
den Satz über die jordansche Normalform
im Kontext von Äquivalenzrelationen interpretieren?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten auf $\N_+$ die Relation $\sim$, die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m
}
{ \sim} {n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
festgelegt ist, falls $m$ eine Potenz von $n$ und $n$ eine Potenz von $m$ teilt.
\aufzaehlungvier{Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
}{Bestimme, welche der folgenden Elemente zueinander äquivalent sind, welche nicht.
\mathdisp {100,\, 1000, \, 9,\, 125, \, 500 , \, 27, \, 10, \, 210} { . }
}{Es sei $Q$ die Quotientenmenge zu dieser Äquivalenzrelation und es sei $\mathbb P$ die Menge der Primzahlen mit der Potenzmenge
\mathl{\mathfrak {P} \, ({\mathbb P} )}{.} Zeige, dass es eine natürliche Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {\N_+} { \mathfrak {P} \, ({\mathbb P} )
} {}
gibt, die zu einer injektiven Abbildung
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} { Q} { \mathfrak {P} \, ({\mathbb P} )
} {}
führt. Ist $\tilde{\varphi}$ surjektiv?
}{Wie sieht ein besonders einfaches Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation aus?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $M$ die Menge der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen von $\R$ nach $\R$. Definiere auf $M$ eine Relation durch
\mathdisp {f \sim g \text{ falls } f(0)=g(0),\, f'(0)=g'(0) \text{ und } f^{\prime \prime}(1) = g^{\prime \prime} (1)} { . }
a) Zeige, dass dies eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.
b) Finde für jede Äquivalenzklasse dieser Äquivalenzrelation einen polynomialen Vertreter.
c) Zeige, dass diese Äquivalenzrelation mit der Addition von Funktionen verträglich ist.
d) Zeige, dass diese Äquivalenzrelation nicht mit der Multiplikation von Funktionen verträglich ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Intervall}{}{,}
wir betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C^1(I,\R)
}
{ \defeq} { { \left\{ f: I \rightarrow \R \mid f \text{ ist differenzierbar} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \in }{ C^1(I,\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definieren wir
\mathdisp {f \sim g, \text{ falls es ein } c \in \R \text{ gibt mit } f(x)=g(x) + c \text { für alle } x \in I} { . }
Liegt eine Äquivalenzrelation vor? Wenn ja, beschreibe die Äquivalenzklassen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Abb} \, { \left( K , K \right) }
}
{ =} { { \left\{ f:K \rightarrow K \mid f \text{ Funktion} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Menge der Abbildungen von $K$ nach $K$. Wir betrachten die Relation auf
\mathl{\operatorname{Abb} \, { \left( K , K \right) }}{,} die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \sim }{g
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
falls es
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c,d
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f (x)
}
{ =} {g (x+c) +d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt. Zeige, dass es sich dabei um eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
handelt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mathl{K[X]}{} der Polynomring in der einen Variablen $X$ über $K$. Zu einem Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einer
\definitionsverweis {Linearform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L
}
{ =} {aX+b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezeichnet
\mathdisp {P { \frac{ L }{ X } }} { }
das Polynom, das entsteht, wenn man jedes Vorkommen von $X$ in $P$ durch
\mathl{aX+b}{} ersetzt. Dieser Einsetzungsprozess ist mit der Addition und der Multiplikation von Polynomen verträglich. Wir betrachten die Relation $\sim$ auf
\mathl{K[X]}{,} die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ \sim} {Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
falls es eine Linearform
\mathbed {aX+b} {mit}
{a \neq 0} {}
{} {} {} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q
}
{ =} { P { \frac{ aX+b }{ X } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
\aufzaehlungfuenf{Berechne
\mathdisp {{ \left( 3X^2-4X+7 \right) } { \frac{ 3X-5 }{ X } }} { . }
}{Zeige, dass durch $\sim$ eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
gegeben ist.
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass jedes Polynom einen
\definitionsverweis {Repräsentanten}{}{}
$Q$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q(0)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt.
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass jedes Polynom
\mathl{\neq 0}{} einen
\definitionsverweis {normierten}{}{}
Repräsentanten besitzt.
}{Zeige, dass die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nur von der Äquivalenzklasse
\mathl{[P]}{} abhängt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die auf $\N \times \N$ in
Beispiel 45.19
eingeführte
\definitionsverweis {Relation}{}{}
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d), \text{ falls } a+d=b+c} { , }
eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die auf $\Z$ in Beispiel 45.19 eingeführte Addition und Multiplikation wohldefiniert sind.
}
{} {}
Die folgende Aufgabe beschreibt die Konstruktion von $\Q$ aus $\Z$ mit Hilfe von Äquivalenzklassen und Quotientenmengen.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Betrachte auf $\Z \times (\Z \setminus \{0\})$ die
\definitionsverweis {Relation}{}{}
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d),\, \text{ falls } ad = bc \text{ ist}} { . }
a) Zeige, dass $\sim$ eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist.
b) Zeige, dass es zu jedem $(a,b)$ ein äquivalentes Paar $(a',b')$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b'
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
c) Es sei $M$ die Menge der
\definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{}
dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\Z} {M
} {z} { [ (z,1)]
} {.}
Zeige, dass $\varphi$
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist.
d) Definiere auf $M$
\zusatzklammer {aus Teil c} {} {}
eine
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
$+$ derart, dass
$M$ mit dieser Verknüpfung und mit $[(0,1)]$ als neutralem Element eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
wird, und dass für die Abbildung $\varphi$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(z_1 + z_2)
}
{ =} {\varphi(z_1) + \varphi(z_2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z_1,z_2
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{M \times N}{} eine
\definitionsverweis {Produktmenge}{}{.}
Zeige, dass die Gleichheit in der ersten Komponente eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
$\sim$ auf $M \times N$ ist. Zeige, dass man jede
\definitionsverweis {Äquivalenzklasse}{}{}
mit $N$ und die
\definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{}
\mathl{M\times N/\sim}{} mit $M$ identifizieren kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {M_1} {und} {M_2} {}
Mengen und $\sim_1$ sei eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf $M_1$ und $\sim_2$ sei eine Äquivalenzrelation auf $M_2$. Betrachte die
\definitionsverweis {Relation}{}{} $\sim$ auf der
\definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
$M_1 \times M_2$, die durch
\mathdisp {(a_1,a_2) \sim (b_1,b_2), \text{ falls } a_1 \sim_1 b_1 \text{ und } a_2 \sim_2 b_2 \text{ gilt}} { , }
definiert ist. Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
Zeige ferner, dass auf $M_1 \times M_2$ die durch
\mathdisp {(a_1,a_2) \sim (b_1,b_2), \text{ falls } a_1 \sim_1 b_1 \text{ oder } a_2 \sim_2 b_2 \text{ gilt}} { , }
definierte Relation keine Äquivalenzrelation ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \subseteq }{ \mathfrak {P} \, (M )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann heißt $P$ eine
\betonung{Partition}{} von $M$, falls die folgenden Bedingungen erfüllt sind.
\aufzaehlungdrei{Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A
}
{ \in }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ \neq }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A,B
}
{ \in }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A
}
{ \neq }{ B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A \cap B
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die Elemente von $P$ bilden eine Überdeckung von $M$, d.h. jedes Element von $M$ liegt in mindestens einem Element von $P$.
}
Beweise, dass die
\definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M/\sim
}
{ = }{ { \left\{ [x] \mid x \in M \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu einer
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
$\sim$ eine Partition der Menge $M$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \subseteq }{ \mathfrak {P} \, (M )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Partition}{}{.}
Zeige, dass $P$ durch
\mathdisp {x \sim y, \text{ falls es ein } A \in P \text{ gibt mit } x \in A \text{ und } y \in A} { , }
eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf $M$ induziert. Berechne diese Relation für die Partition
\mathl{\{ \{1\},\{2,3,4\},\{5,6\}, \{7\} \}}{} der Menge
\mathl{\{1,2,3,4,5,6,7 \}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge und
\mathl{(R_i)_{i \in I}}{} eine Familie von
\definitionsverweis {Äquivalenzrelationen}{}{}
auf $M$. Zeige, dass durch den Durchschnitt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \defeq }{ \bigcap_{i \in I} R_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wieder eine Äquivalenzrelation auf $M$ definiert ist. Gilt dies auch für
\mathl{\bigcup_{i \in I} R_i}{?}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme, ob die durch die Relationstabelle %Daten für folgende Tabelle
\renewcommand{\leitzeilenull}{ $\,$ }
\renewcommand{\leitzeileeins}{ $A$ }
\renewcommand{\leitzeilezwei}{ $B$ }
\renewcommand{\leitzeiledrei}{ $C$ }
\renewcommand{\leitzeilevier}{ $D$ }
\renewcommand{\leitzeilefuenf}{ }
\renewcommand{\leitzeilesechs}{ }
\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }
\renewcommand{\leitzeileacht}{ }
\renewcommand{\leitzeileneun}{ }
\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }
\renewcommand{\leitzeileelf}{ }
\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltenull}{ }
\renewcommand{\leitspalteeins}{ $A$ }
\renewcommand{\leitspaltezwei}{ $B$ }
\renewcommand{\leitspaltedrei}{ $C$ }
\renewcommand{\leitspaltevier}{ $D$ }
\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechs}{ }
\renewcommand{\leitspaltesieben}{ }
\renewcommand{\leitspalteacht}{ }
\renewcommand{\leitspalteneun}{ }
\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltedreizehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesiebzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinsxeins}{ \times }
\renewcommand{\aeinsxzwei}{ \, }
\renewcommand{\aeinsxdrei}{ \times }
\renewcommand{\aeinsxvier}{ \, }
\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ }
\renewcommand{\aeinsxsechs}{ }
\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }
\renewcommand{\aeinsxacht}{ }
\renewcommand{\aeinsxneun}{ }
\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }
\renewcommand{\aeinsxelf}{ }
\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azweixeins}{ \times }
\renewcommand{\azweixzwei}{ \times }
\renewcommand{\azweixdrei}{ \, }
\renewcommand{\azweixvier}{ \, }
\renewcommand{\azweixfuenf}{ }
\renewcommand{\azweixsechs}{ }
\renewcommand{\azweixsieben}{ }
\renewcommand{\azweixacht}{ }
\renewcommand{\azweixneun}{ }
\renewcommand{\azweixzehn}{ }
\renewcommand{\azweixelf}{ }
\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreixeins}{ \, }
\renewcommand{\adreixzwei}{ \, }
\renewcommand{\adreixdrei}{ \times }
\renewcommand{\adreixvier}{ \, }
\renewcommand{\adreixfuenf}{ }
\renewcommand{\adreixsechs}{ }
\renewcommand{\adreixsieben}{ }
\renewcommand{\adreixacht}{ }
\renewcommand{\adreixneun}{ }
\renewcommand{\adreixzehn}{ }
\renewcommand{\adreixelf}{ }
\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierxeins}{ \, }
\renewcommand{\avierxzwei}{ \times }
\renewcommand{\avierxdrei}{ \, }
\renewcommand{\avierxvier}{ \times }
\renewcommand{\avierxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierxsechs}{ }
\renewcommand{\avierxsieben}{ }
\renewcommand{\avierxacht}{ }
\renewcommand{\avierxneun}{ }
\renewcommand{\avierxzehn}{ }
\renewcommand{\avierxelf}{ }
\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechsxeins}{ }
\renewcommand{\asechsxzwei}{ }
\renewcommand{\asechsxdrei}{ }
\renewcommand{\asechsxvier}{ }
\renewcommand{\asechsxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechsxsechs}{ }
\renewcommand{\asechsxsieben}{ }
\renewcommand{\asechsxacht}{ }
\renewcommand{\asechsxneun}{ }
\renewcommand{\asechsxzehn}{ }
\renewcommand{\asechsxelf}{ }
\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxeins}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebenxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebenxvier}{ }
\renewcommand{\asiebenxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebenxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebenxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebenxacht}{ }
\renewcommand{\asiebenxneun}{ }
\renewcommand{\asiebenxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebenxelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtxeins}{ }
\renewcommand{\aachtxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtxvier}{ }
\renewcommand{\aachtxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtxacht}{ }
\renewcommand{\aachtxneun}{ }
\renewcommand{\aachtxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtxelf}{ }
\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aneunxeins}{ }
\renewcommand{\aneunxzwei}{ }
\renewcommand{\aneunxdrei}{ }
\renewcommand{\aneunxvier}{ }
\renewcommand{\aneunxfuenf}{ }
\renewcommand{\aneunxsechs}{ }
\renewcommand{\aneunxsieben}{ }
\renewcommand{\aneunxacht}{ }
\renewcommand{\aneunxneun}{ }
\renewcommand{\aneunxzehn}{ }
\renewcommand{\aneunxelf}{ }
\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azehnxeins}{ }
\renewcommand{\azehnxzwei}{ }
\renewcommand{\azehnxdrei}{ }
\renewcommand{\azehnxvier}{ }
\renewcommand{\azehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\azehnxsechs}{ }
\renewcommand{\azehnxsieben}{ }
\renewcommand{\azehnxacht}{ }
\renewcommand{\azehnxneun}{ }
\renewcommand{\azehnxzehn}{ }
\renewcommand{\azehnxelf}{ }
\renewcommand{\azehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aelfxeins}{ }
\renewcommand{\aelfxzwei}{ }
\renewcommand{\aelfxdrei}{ }
\renewcommand{\aelfxvier}{ }
\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\aelfxsechs}{ }
\renewcommand{\aelfxsieben}{ }
\renewcommand{\aelfxacht}{ }
\renewcommand{\aelfxneun}{ }
\renewcommand{\aelfxzehn}{ }
\renewcommand{\aelfxelf}{ }
\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }
\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }
\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }
\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }
\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }
\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }
\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }
\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }
\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }
\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\avierzehnxacht}{ }
\renewcommand{\avierzehnxneun}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxeins}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxvier}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxacht}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxneun}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwoelf}{ }
\tabelleleitvierxvier
beschriebene
\definitionsverweis {Relation}{}{}
auf der Menge
\mathl{\{A,B,C,D\}}{}
\definitionsverweis {reflexiv}{}{,}
\definitionsverweis {symmetrisch}{}{,}
\definitionsverweis {transitiv}{}{,}
\definitionsverweis {antisymmetrisch}{}{}
ist.
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {TwoTone.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { TwoTone.svg } {} {Stevo} {Commons} {PD} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Betrachte die Schachfiguren Turm, Läufer, Pferd und Esel zusammen mit ihren erlaubten Zügen auf einem $8\times 8$-Schachbrett. Ein Esel darf dabei pro Zug einen Doppelschritt nach vorne, nach hinten, nach rechts oder nach links machen. Jede dieser Figuren definiert eine Äquivalenzrelation auf den $64$ Feldern, indem zwei Felder als äquivalent angesehen werden, wenn das eine Feld von dem anderen Feld aus mit dieser Figur in endlich vielen Zügen erreichbar ist. Beschreibe für jede dieser Schachfiguren die zugehörige Äquivalenzrelation und ihre Äquivalenzklassen. Wie sieht es auf einem $3 \times 3$-Schachbrett aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Wir betrachten für je zwei Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A,B
}
{ \subseteq }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {symmetrische Differenz}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \triangle B
}
{ \defeq} {(A \setminus B) \cup (B \setminus A)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ \sim }{B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
falls
\mathl{A \triangle B}{}
\definitionsverweis {endlich}{}{}
ist. Zeige, dass dadurch eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf
\mathl{\mathfrak {P} \, (\N )}{} definiert wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{.}
Betrachte die
\definitionsverweis {Relation}{}{}
$R$ auf $G$, wobei $xRy$ bedeutet, dass es einen
\definitionsverweis {inneren Automorphismus}{}{}
$\kappa_g$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{\kappa_g(y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt. Zeige, dass diese Relation eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist.
}
{} {}
Die Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation bekommen einen eigenen Namen:
Zu einer \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ nennt man die \definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{} zur \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{,} bei der zwei Elemente als äquivalent \zusatzklammer {oder \definitionswort {konjugiert}{}} {} {} gelten, wenn sie durch einen \definitionsverweis {inneren Automorphismus}{}{} ineinander überführt werden können, die \definitionswort {Konjugationsklassen}{.}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $S_3$ die Gruppe der bijektiven Abbildungen der Menge
\mathl{\{1,2,3\}}{} in sich selbst. Bestimme die
\definitionsverweis {Konjugationsklassen}{}{}
dieser Gruppe.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} die Menge der
\definitionsverweis {invertierbaren}{}{}
\mathl{n\times n}{-}Matrizen über einem Körper $K$. Zeige, dass für zueinander
\definitionsverweis {konjugierte}{}{}
Matrizen
\mathkor {} {M} {und} {N} {} aus
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} die folgenden Eigenschaften bzw. Invarianten übereinstimmen: Die
\definitionsverweis {Determinante}{}{,}
die
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{,}
die Dimension der
\definitionsverweis {Eigenräume}{}{}
zu einem Eigenwert, die
\definitionsverweis {Diagonalisierbarkeit}{}{,}
die
\definitionsverweis {Trigonalisierbarkeit}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge mit der induzierten
\definitionsverweis {Metrik}{}{.}
Betrachte die
\definitionsverweis {Relation}{}{}
$R$ auf $U$, wobei $xRy$ bedeutet, dass es eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\gamma} {[0,1]} {\R^n
} {t} { \gamma(t)
} {,}
mit
\mathkor {} {\gamma(0)=x} {und} {\gamma(1)=y} {}
gibt. Zeige, dass dies eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf $U$ ist.
}
{} {}
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