- Übungsaufgaben
Zeige, dass die
Untergruppen
von genau die Teilmengen der Form
-
mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl sind.
Berechne die
Ordnung
der Matrix
-
über dem
Körper
.
Es sei eine
(multiplikativ geschriebene)
kommutative Gruppe
und sei . Zeige, dass das Potenzieren
-
ein
Gruppenhomomorphismus
ist.
Es sei eine additiv geschriebene
kommutative Gruppe.
Zeige, dass die Negation, also die Abbildung
-
ein
Gruppenisomorphismus
ist.
Bestimme, ob die durch die
Gaußklammer
gegebene Abbildung
-
ein
Gruppenhomomorphismus
ist oder nicht.
a) Für welche reellen Polynome ist die zugehörige polynomiale Abbildung
-
ein
Gruppenhomomorphismus?
b) Für welche reellen Polynome ist allenfalls eine Nullstelle und die zugehörige polynomiale Abbildung
-
ein
Gruppenhomomorphismus?
Es sei ein
Körper
und sei
-
die Menge aller invertierbaren
-
Matrizen.
a) Zeige
(ohne Bezug zur Determinante),
dass mit der
Matrizenmultiplikation
eine
Gruppe
bildet.
b) Zeige
(ohne Bezug zur Determinante),
dass die Abbildung
-
ein
Gruppenhomomorphismus
ist.
Zeige, dass die Abbildung
-
die einer
Permutation
auf ihre
Permutationsmatrix
zuordnet, ein
injektiver
Gruppenhomomorphismus
ist.
Es sei ein
kommutativer Ring
und . Zeige, dass die Abbildung
-
ein
Gruppenhomomorphismus
ist. Beschreibe das
Bild
und den
Kern
dieser Abbildung.
Mit dem Konzept der Restklassenbildung werden die folgenden Aufgaben bald deutlich einfacher.
Es sei und betrachte auf
-
die
Verknüpfung
-
Zeige, dass dadurch eine
assoziative
Verknüpfung auf dieser Menge definiert ist, und dass damit sogar eine
Gruppe
vorliegt.
Es sei . Wir betrachten
-
mit der in
Aufgabe 44.15
beschriebenen Addition. Zeige, dass die Abbildung
-
kein
Gruppenhomomorphismus
ist.
Bestimme die
Ordnungen
sämtlicher Elemente in der
Gruppe
.
Es sei eine
Gruppe
und . Zeige, dass die Abbildung
-
eine
Gruppenautomorphismus
ist.
Wir betrachten die Abbildung
-
Zeige, dass es sich dabei um einen
inneren Automorphismus
handelt.
Es seien reelle Zahlen mit
.
Zeige, dass die Abbildung
-
ein
innerer Automorphismus
ist.
Es sei eine
endliche Menge
und eine Teilmenge, und es seien
und
die zugehörigen
Permutationsgruppen (also die Menge aller bijektiven Abbildungen auf , siehe
Aufgabe 3.13).
Zeige, dass durch
-
mit
-
ein
injektiver
Gruppenhomomorphismus
gegeben ist.
Gibt es
Gruppenhomomorphismen
-
die nicht
-linear sind?
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 (1+2) Punkte)
Es seien
Gruppen.
a) Definiere eine Gruppenstruktur auf dem Produkt
-
b) Es sei eine weitere Gruppe. Zeige, dass eine Abbildung
-
genau dann ein
Gruppenhomomorphismus
ist, wenn alle Komponenten Gruppenhomomorphismen sind.
Bestimme die
Ordnungen
sämtlicher Elemente in der
Gruppe
.
Bestimme die
Gruppenhomomorphismen
von
nach .
Die folgende Aufgabe knüpft an
Aufgabe 3.8
an. Zu einer reellen Zahl bezeichnet die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich ist.
Wir betrachten
-
mit der in
Aufgabe 3.7
definierten Verknüpfung, die nach
Aufgabe 3.8
eine
Gruppe
ist. Zeige, dass die Abbildung
-
ein
Gruppenhomomorphismus
ist.
Bestimme für jedes den
Kern
des Potenzierens
-