Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Vorlesung 20/latex
\setcounter{section}{20}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Waeller6.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Doch dann hat sie das Beste daraus gemacht. Vermutlich hängt ihre Zugänglichkeit und Menschenbezogenheit auch mit ihren frühen Erfahrungen zusammen.} }
\bildlizenz { Waeller6.jpg } {} {Odatrulle} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\zwischenueberschrift{Der Interpolationssatz}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Interpolation example linear.svg} }
\end{center}
\bildtext {Eine stückweise lineare und} }
\bildlizenz { Interpolation example linear.svg } {} {Berland} {Commons} {gemeinfrei} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Interpolation example polynomial.svg} }
\end{center}
\bildtext {eine polynomiale Interpolation.} }
\bildlizenz { Interpolation example polynomial.svg } {} {Berlang} {Commons} {gemeinfrei} {}
Der folgende Satz heißt \stichwort {Interpolationssatz} {} und beschreibt die Interpolation von vorgegebenen Funktionswerten durch Polynome. Wenn ein Funktionswert an einer Stelle vorgegeben wird, so legt dies ein konstantes Polynom fest, zwei Funktionswerte an zwei Stellen legen ein lineares Polynom fest \zusatzklammer {eine Gerade} {} {,} drei Funktionswerte an drei Stellen legen ein quadratisches Polynom fest, u.s.w.
\inputfaktbeweis
{Polynom/K/Interpolation/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien $n$ verschiedene Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1 , \ldots , a_n
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $n$ Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_1 , \ldots , b_n
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben.}
\faktfolgerung {Dann gibt es ein eindeutiges Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vom Grad
\mathl{\leq n-1}{} derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P { \left( a_i \right) }
}
{ = }{ b_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$ ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir beweisen die Existenz und betrachten zuerst die Situation, wo
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b_j
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j
}
{ \neq }{i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein festes $i$. Dann ist
\mathdisp {(X-a_1) \cdots (X-a_{i-1}) (X-a_{i+1}) \cdots (X-a_n)} { }
ein Polynom vom Grad $n-1$, das an den Stellen
\mathl{a_1 , \ldots , a_{i-1}, a_{i+1} , \ldots , a_n}{} den Wert $0$ hat. Das Polynom
\mathdisp {{ \frac{ b_i }{ (a_i-a_1) \cdots (a_{i}-a_{i-1}) (a_{i} -a_{i+1}) \cdots (a_i-a_n) } } (X-a_1) \cdots (X-a_{i-1}) (X-a_{i+1}) \cdots (X-a_n)} { }
hat an diesen Stellen ebenfalls eine Nullstelle, zusätzlich aber noch bei $a_i$ den Wert $b_i$. Nennen wir dieses Polynom $P_i$. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {P_1 + P_2 + \cdots + P_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das gesuchte Polynom. An der Stelle $a_i$ gilt ja
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_j(a_i)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j
}
{ \neq }{i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_i(a_i)
}
{ = }{b_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Eindeutigkeit folgt aus Korollar 19.9.
Eine Beweisvariante bzw. Interpretationsvariante besteht darin, die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1 , \ldots , a_n
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
insgesamt definierte Abbildung
\maabbeledisp {} { K[X] } { K^n
} { P } { \left( P(a_1) , \, \ldots , \, P(a_n) \right)
} {,}
zu betrachten. Diese Abbildung ist
$K$-\definitionsverweis {linear}{}{,}
da nach
Bemerkung 19.7
die Komponenten linear sind. Der Interpolationssatz besagt, dass diese Abbildung surjektiv ist, was wie im Beweis bewiesen werden kann. Er besagt sogar, dass diese Abbildung, wenn man sie auf den Untervektorraum aller Polynome vom Grad
\mathl{\leq n-1}{} einschränkt, ein Isomorphismus ist.
\inputbemerkung
{}
{
Wenn die Daten
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{} und
\mathl{b_1 , \ldots , b_n}{} gegeben sind, so findet man das interpolierende Polynom $P$ vom Grad $\leq n-1$, das es nach
Satz 20.1
geben muss, folgendermaßen: Man macht den Ansatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {c_0+c_1X +c_2X^2 + \cdots + c_{n-2}X^{n-2}+c_{n-1}X^{n-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und versucht die unbekannten Koeffizienten
\mathl{c_0 , \ldots , c_{n-1}}{} zu bestimmen. Jeder Interpolationspunkt
\mathl{(a_i,b_i)}{} führt zu einer linearen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_0+c_1a_i +c_2a_i^2 + \cdots + c_{n-2} a_i^{n-2}+c_{n-1} a_i^{n-1}
}
{ =} { b_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über $K$. Das entstehende lineare Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung
\mathl{(c_0 , \ldots , c_{n-1})}{,} die das Polynom festlegt.
}
\zwischenueberschrift{Einsetzen von Endomorphismen}
Zu einer
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbdisp {f} {V} {V
} {}
auf einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
kann man die Iterationen $f^n$, also die $n$-fache Hintereinanderschaltung von $f$ mit sich selbst, betrachten. Ferner kann man lineare Abbildungen addieren und mit Skalaren aus dem Körper multiplizieren. Insgesamt sind somit Ausdrücke der Form
\mathdisp {a_nf^n +a_{n-1} f^{n-1} + \cdots + a_2f^2 +a_1 f +a_0} { }
selbst wieder lineare Abbildungen von $V$ nach $V$. Dabei ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_0
}
{ =} { a_0f^0
}
{ =} { a_0
\operatorname{Id}_{ V }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu interpretieren. Es ist eine von vornherein keineswegs selbstverständliche Tatsache, dass die Untersuchung solcher polynomialer Kombinationen aus $f$ bei der Untersuchung von $f$ selbst hilfreich ist. Den beschriebenen Ausdruck kann man so auffassen, dass in das Polynom
\mathl{a_n X^n +a_{n-1} X^{n-1} + \cdots + a_2X^2 +a_1 X +a_0}{} für die Variable $X$ die lineare Abbildung $f$ eingesetzt wird. Diese Zuordnung durch Einsetzen besitzt die folgenden strukturellen Eigenschaften.
\inputfaktbeweis
{Polynomring/Endomorphismus/Einsetzung/Ringhomomorphismus (ohne Begriff)/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {f} { V } { V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktuebergang {Dann erfüllt die Abbildung
\maabbeledisp {} { K[X] } { \operatorname{End}_{ } { \left( V \right) }
} { P } { P(f)
} {,}
die folgenden Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Für konstante Polynome
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ a_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P(f)
}
{ =} { a_0(f)
}
{ =} { a_0 f^0
}
{ =} { a_0
\operatorname{Id}_{ V }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Insbesondere wird das Nullpolynom auf die Nullabbildung und das konstante $1$-Polynom auf die Identität abgebildet.
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (P + Q)(f)
}
{ =} { P(f)+ Q(f)
}
{ =} { Q(f) + P(f)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle Polynome
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (P \cdot Q)(f)
}
{ =} { P(f) \circ Q(f)
}
{ =} { Q(f) \circ P(f)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle Polynome
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (X^n)(f)
}
{ =} { f^{n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
(1) und (4) stecken in der Definition des Einsetzungshomomorphismus drin. Daraus ergeben sich auch (2) und (3).
Wenn $V$ endlichdimensional ist, sagen wir die Dimension $d$ besitzt, so sind sämtliche Potenzen
\mathbed {f^k} {}
{k \in \N} {}
{} {} {} {,}
Elemente im $d^2$-dimensionalen Vektorraum
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , V \right) }
}
{ =} { \operatorname{End}_{ } { \left( V \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
aller linearen Abbildungen von $V$ nach $V$. Wegen der Endlichkeit des Homomorphismenraumes müssen daher diese Potenzen linear abhängig sein, d.h. es gibt ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und Koeffizienten
\mathbed {a_i} {}
{0 \leq i \leq m} {}
{} {} {} {,}
die nicht alle $0$ sind, mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_m f^m +a_{m-1} f^{m-1} + \cdots + a_2f^2 +a_1 f +a_0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {dabei ist
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ m
}
{ \leq }{ d^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
unmittelbar klar, wir werden später sehen, dass sogar stets
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ m
}
{ \leq }{ d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist} {} {.}
Das entsprechende Polynom
\mathl{a_m X^m +a_{m-1} X^{m-1} + \cdots + a_2X^2 +a_1 X +a_0}{} hat also die Eigenschaft, dass es selbst nicht das Nullpolynom ist, dass aber, wenn man überall $X$ durch $f$ ersetzt, die Nullabbildung auf $V$ herauskommt. Wir fragen uns:
\auflistungvier{Gibt es eine Struktur auf der Menge aller Polynome
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(f)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{?}
}{Gibt es ein besonders einfaches Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_0
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_0(f)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{?}
}{Wie kann man es finden?
}{Welche Eigenschaften von $f$ kann man aus der Faktorzerlegung von diesem Polynom $P_0$ ablesen?
}
\inputbemerkung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{}
und
\maabbdisp {f} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$ und es sei $M$ die zugehörige Matrix. Nach
Lemma 11.10
entsprechen sich die Verknüpfung von linearen Abbildungen und die Matrixmultiplikation. Insbesondere entsprechen sich $f^n$ und $M^n$. Ebenso entsprechen sich die Skalarmultiplikation und die Addition auf dem Endomorphismenraum
\mathl{\operatorname{End}_{ } { \left( V \right) }}{} und dem Matrizenraum. Daher kann man statt mit der Zuordnung
\mathl{P \mapsto P(f)}{} genauso gut mit der Zuordnung
\mathl{P \mapsto P(M)}{} arbeiten.
}
\zwischenueberschrift{Ideale}
\inputdefinition
{}
{
Eine Teilmenge ${\mathfrak a}$ eines
\definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{}
$R$ heißt \definitionswort {Ideal}{,} wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+b
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ra
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
Die Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man durch die Bedingung ersetzen, dass ${\mathfrak a}$ nicht leer ist. Ein Ideal ist eine Untergruppe der additiven Gruppe von $R$, die zusätzlich unter Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.
\inputdefinition
{}
{
Zu einer Familie von Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1, a_2 , \ldots , a_n
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ bezeichnet
\mathl{(a_1, a_2 , \ldots , a_n)}{} das von diesen Elementen \definitionswort {erzeugte Ideal}{.} Es besteht aus allen \definitionswort {Linearkombinationen}{}
\mathdisp {r_1 a_1 + r_2a_2 + \cdots + r_na_n} { , }
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r_1, r_2 , \ldots , r_n
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind.
}
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
${\mathfrak a}$ in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{{\mathfrak a}
}
{ =} {(a)
}
{ =} {Ra
}
{ =} {\{ra:\, r \in R\}
}
{ } {}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {Hauptideal}{.}
}
Das Nullelement bildet in jedem Ring das sogenannte \stichwort {Nullideal} {,} was wir einfach als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ = }{ (0)
}
{ = }{ \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben. Die $1$ und überhaupt jede
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
erzeugt als Ideal schon den ganzen Ring. Eine \stichwort {Einheit} {} in einem kommutativen Ring $R$ ist ein invertierbares Element, also ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
für das es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ xy
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt. Ein kommutativer Ring ist genau dann ein Körper, wenn alle Elemente außer der $0$ Einheiten sind.
\inputdefinition
{}
{
Das \definitionswort {Einheitsideal}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ ist der Ring selbst.
}
In einem Körper gibt es nur diese beiden Ideale.
\inputfaktbeweis
{Körper/Genau zwei Ideale/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
\aufzaehlungzwei { $R$ ist ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
} {Es gibt in $R$ genau zwei
\definitionsverweis {Ideale}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wenn $R$ ein Körper ist, so gibt es das Nullideal und das Einheitsideal, die voneinander verschieden sind. Es sei $I$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $R$. Dann enthält $I$ ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist. Damit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ = }{ xx^{-1}
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ = }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei umgekehrt $R$ ein kommutativer Ring mit genau zwei Idealen. Dann kann $R$ nicht der Nullring sein. Es sei nun $x$ ein von $0$ verschiedenes Element in $R$. Das von $x$ erzeugte
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
$Rx$ ist $\neq 0$ und muss daher mit dem anderen Ideal, also mit dem Einheitsideal übereinstimmen. Das heißt insbesondere, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ \in }{ Rx
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Das bedeutet also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ = }{ xr
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
sodass $x$ eine Einheit ist.
\zwischenueberschrift{Ideale in \mathlk{K[X]}{} }
\inputfaktbeweis
{Polynomring über Körper/Eine Variable/Hauptidealbereich/2/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {In einem
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}}
\faktfolgerung {ist jedes
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
ein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei $I$ ein von $0$ verschiedenes
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in
\mathl{K[X]}{.} Betrachte die nichtleere Menge
\mathdisp {{ \left\{ \operatorname{grad} \, (P) \mid P \in I, \, P \neq 0 \right\} }} { . }
Diese Menge hat ein Minimum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das von einem Element
\mathbed {F \in I} {}
{F \neq 0} {}
{} {} {} {,}
herrührt, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ = }{ \operatorname{grad} \, (F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir behaupten, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ = }{(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Die Inklusion $\supseteq$ ist klar. Zum Beweis von $\subseteq$ sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Aufgrund
von Satz 19.4
gilt
\mathdisp {P = F Q + R \text{ mit } \operatorname{grad} \, (R) < \operatorname{grad} \, (F)
\text{ oder } R = 0} { . }
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der Minimalität von
\mathl{\operatorname{grad} \, (F)}{} kann der erste Fall nicht eintreten. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $P$ ist ein Vielfaches von $F$.
\zwischenueberschrift{Das Minimalpolynom}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {f} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Dann heißt das eindeutig bestimmte
\definitionsverweis {normierte}{}{}
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu_f
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
minimalen
\definitionsverweis {Grades}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu_f(f)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das
\definitionswort {Minimalpolynom}{}
von $f$.
}
{Lineare Abbildung/Minimalpolynom/Hauptideal/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und es sei
\maabbdisp {f} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die Menge
\mathdisp {{ \left\{ P \in K[X] \mid P(f) = 0 \right\} }} { }
ein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
im Polynomring
\mathl{K[X]}{,} das vom
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
$\mu_f$
\definitionsverweis {erzeugt}{}{}
wird.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 20.10. }
\inputbeispiel{}
{
Zur Identität
\mathl{\operatorname{Id}_{ V }}{} auf einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ ist das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
gleich
\mathl{X-1}{.} Dieses geht ja unter dem Einsetzungshomomorphismus auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{
\operatorname{Id}_{ V }-
\operatorname{Id}_{ V }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Ein konstantes Polynom $a_0$ geht auf
\mathl{a_0
\operatorname{Id}}{,} was, außer bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
nicht die Nullabbildung ist.
Für eine Streckung, also eine Abbildung der Form
\mathl{\lambda
\operatorname{Id}_{ V }}{,} ist das Minimalpolynom, vorausgesetzt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
gleich
\mathl{X - \lambda}{.} Für die Nullabbildung auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist $X$ das Minimalpolynom, bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist es das konstante Polynom $1$.
}
\inputbeispiel{}
{
Zu einer
\definitionsverweis {Diagonalmatrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} {
\begin{pmatrix} d_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & d_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit verschiedenen Einträgen $d_i$ ist das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} {(X-d_1)(X-d_2) \cdots (X-d_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dieses Polynom geht unter der Einsetzung auf
\mathdisp {(M-d_1 E_n ) \circ (M-d_2 E_n ) \circ (M-d_n E_n )} { . }
Wenden wir darauf den Standardvektor $e_i$ an, so wird er von dem Faktor
\mathl{(M-d_jE_n )}{} auf
\mathl{(d_i-d_j )e_i}{} abgebildet. Der $i$-te Faktor sichert also, dass $e_i$ insgesamt annulliert wird. Da somit eine Basis durch
\mathl{P(M)}{} auf $0$ abgebildet wird, muss es sich insgesamt um die Nullabbildung handeln.
Angenommen, $P$ wäre nicht das Minimalpolynom $\mu$. Dann gibt es
nach Korollar 20.12
ein Polynom $Q$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { Q \mu
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und nach
Lemma 19.8
muss $\mu$ ein Teilprodukt der Linearfaktoren von $P$ sein. Sobald man aber einen Faktor von $P$ weglässt, sagen wir
\mathl{X-d_i}{,} so wird $e_i$ durch die zugehörige Abbildung nicht mehr annulliert.
}
\inputbeispiel{}
{
Zur Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist $X^2$ das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{.}
Dieses Polynom wird beim Einsetzen zur Nullabbildung, wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^2
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Teiler von $X^2$ von kleinerem Grad sind konstante Polynome $\neq 0$ und
\mathl{a_1X}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_1
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
aber diese Polynome annullieren nicht $M$.
}