Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Anhang 1

Beispiel

Es sei $V$ der Kern der linearen Abbildung

ℝ^{3} ⟶ ℝ, (x, y, z) ⟼ 2 x + 3 y - z .

Als Unterraum des

ℝ^{3}

trägt

V

ein Skalarprodukt. Wir möchten eine Orthonormalbasis von

V

bestimmen. Dazu betrachten wir die Basis aus den Vektoren

v_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) und v_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) .

Es ist

⟨ v_{1}, v_{2} ⟩ = 6,

die Vektoren stehen also nicht senkrecht aufeinander. Wir ersetzen $v_{2}$ durch

w_{2} = v_{2} - \frac{⟨ v_{1}, v_{2} ⟩}{‖ v_{1} ‖^{2}} v_{1} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) - \frac{6}{5} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - \frac{6}{5} \\ 1 \\ \frac{3}{5} \end{matrix}) .

Jetzt stehen $v_{1}$ und $w_{2}$ senkrecht aufeinander. Somit ist $\frac{1}{\sqrt{5}} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{5}} \\ 0 \\ \frac{2}{\sqrt{5}} \end{matrix})$ und $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{14}} (\begin{matrix} - \frac{6}{5} \\ 1 \\ \frac{3}{5} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - \frac{6}{\sqrt{70}} \\ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{14}} \\ \frac{3}{\sqrt{70}} \end{matrix})$ eine Orthonormalbasis von $V$ .