Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 47/latex
\setcounter{section}{47}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bringe die
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{\Q/\Z}{} mit der in
Aufgabe 3.7
direkt eingeführten Gruppe in Verbindung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass es in der
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{\Q/\Z}{} zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente gibt, deren
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
gleich $n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es keine Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \subseteq }{ (\Q,0,+)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\maabbdisp {} { F } { \Q/\Z
} {}
ein
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \{ 1, -1\}
}
{ \subset }{ \R^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde in der
\definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{}
$S_3$ einen
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N
}
{ \neq }{ 0, S_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und bestimme die zugehörige
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element mit dem
\zusatzklammer {nach
Lemma 44.12} {} {}
zugehörigen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\Z} {G
} {n} {g^n
} {.}
Beschreibe die kanonische Faktorisierung von $\varphi$ gemäß
Satz 47.8.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ein Element mit endlicher
\definitionsverweis {Ordnung}{}{.}
Zeige, dass die Ordnung von $g$ mit dem minimalen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
übereinstimmt, zu dem es einen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { \Z/(d) } {G
} {}
gibt, in dessen Bild das Element $g$ liegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige mit Hilfe der Homomorphiesätze, dass \definitionsverweis {zyklische Gruppen}{}{} mit der gleichen \definitionsverweis {Ordnung}{}{} isomorph sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {G, H} {und} {F} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und seien
\maabb {\varphi} {G} {H
} {}
und
\maabb {\psi} {G} {F
} {}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{}
mit $\psi$ surjektiv und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \psi
}
{ \subseteq }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme den
\definitionsverweis {Kern}{}{}
des induzierten Homomorphismus
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} {F} {H
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für jede reelle Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Restklassengruppen}{}{}
\mathl{\R/\Z a}{} untereinander
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
Für die folgende Aufgabe muss man verwenden, dass jede positive natürliche Zahl eine eindeutige Faktorisierung in Primzahlen besitzt.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Definiere einen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {(\Q \setminus \{0\}, \cdot,1)} {(\Z,+,0) } {,} der $p \mapsto 1$ und alle anderen Primzahlen auf $0$ schickt.
}
{Bestimme auch den Kern dieses Gruppenhomomorphismus.} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {G_1} {und} {G_2} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N_1
}
{ \subseteq }{ G_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N_2
}
{ \subseteq }{ G_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{N_1 \times N_2}{} ein Normalteiler in
\mathl{G_1 \times G_2}{} ist und dass eine
\definitionsverweis {Isomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (G_1 \times G_2)/(N_1 \times N_2)
}
{ \cong} { (G_1/N_1) \times (G_2/N_2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vorliegt.
}
{} {}
Die folgende Aufgabe verwendet den topologischen Begriff der Dichtheit.
Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {dicht}{,} wenn es zu jeder reellen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { t-x }
}
{ <} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $H$ eine (additive)
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
der reellen Zahlen $\R$. Zeige, dass entweder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{{\Z} a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl $a$ ist, oder aber $H$
\definitionsverweis {dicht}{}{}
in $\R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {Kern}{}{} eines \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {R} {S } {} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige direkt und unter Verwendung von Satz 44.3, dass jede \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von $\Z$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Z
}
{ \subseteq }{\Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{,}
aber kein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} genau dann ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist, wenn er genau zwei \definitionsverweis {Ideale}{}{} enthält.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien $k$ und $n$ ganze Zahlen. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungvier{$k$ teilt $n$.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z n
}
{ \subseteq }{ \Z k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es gibt einen
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { \Z/(n) } { \Z/(k)
} {.}
}{Es gibt einen
\definitionsverweis {surjektiven}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { \Z/(n) } { \Z/(k)
} {.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mathl{\Z/(n)}{} der zugehörige Restklassenring. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
modulo $n$ genau dann ist, wenn
\mathkor {} {a} {und} {n} {}
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $n\geq 1$ eine natürliche Zahl und
\mathl{\Z/(n)}{} der zugehörige
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{.} Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{
\mathl{\Z/(n)}{} ist ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
}{
\mathl{\Z/(n)}{} ist ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.}
}{$n$ ist eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $C$ die Menge aller
\definitionsverweis {Cauchy-Folgen}{}{}
in $\Q$.
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass $C$ mit der komponentenweisen Addition und Multiplikation ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
ist.
}{Zeige, dass die Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N
}
{ \subseteq }{C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die aus allen
\definitionsverweis {Nullfolgen}{}{}
besteht, ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
ist.
}{Zeige, dass
\mathl{C/N}{} ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien $G$ und $H$ \definitionsverweis {Gruppen}{}{} mit der \definitionsverweis {Produktgruppe}{}{} $G \times H$. Zeige, dass die Gruppe $G \times \{ e_H \}$ ein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} in $G \times H$ ist, und dass die Restklassengruppe $(G \times H)/G \times \{ e_H \}$ kanonisch \definitionsverweis {isomorph}{}{} zu $H$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{} zwischen zwei \definitionsverweis {zyklischen Gruppen}{}{.} Welche sind injektiv und welche sind surjektiv?
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass es eine Gruppe $G$ und einen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {(\R,0,+)} {G
} {}
mit der Eigenschaft gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann
\definitionsverweis {rational}{}{}
ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(r)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme sämtliche \definitionsverweis {Gruppen}{}{} mit vier Elementen.
}
{} {}