Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 47

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es seien  ${}r,s\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$  zwei reelle Zahlen ${}\neq 0$. Zeige, dass diese genau dann äquivalent bezüglich der durch die Untergruppe  ${}(\mathbb {Q} ^{\times },1,\cdot )\subseteq (\mathbb {R} ^{\times },1,\cdot )$  gegebenen Äquivalenzrelation sind, wenn es eine reelle Zahl  ${}t\neq 0$  und ganze Zahlen  ${}a,b\in \mathbb {Z}$  mit  ${}r=bt$  und  ${}s=at$  gibt.

Aufgabe

Wir betrachten ${}\mathbb {R}$ als ${}\mathbb {Q}$-Vektorraum. Man mache sich klar, dass in ${}\mathbb {R} /\mathbb {Q}$ die Gleichheit  ${}[r]=[s]$  für zwei reelle Zahlen ${}r,s$ genau dann gilt, wenn die Differenz ${}r-s$ eine rationale Zahl ist.

Aufgabe

Für reelle Zahlen ${}r,s$ setzen wir  ${}r\sim s$,  wenn es rationale Zahlen  ${}u,v\in \mathbb {Q}$  mit  ${}u\neq 0$  derart gibt, dass

${}r=us+v\,$

ist.

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation auf ${}\mathbb {R}$ ist.

b) Bestimme die Äquivalenzklasse zu ${}{\frac {3}{7}}$.

c) Man gebe ein Beispiel für zwei reelle Zahlen, die nicht kommensurabel sind, die aber unter ${}\sim$ äquivalent sind.

Aufgabe *

Zeige, dass es in der Restklassengruppe ${}\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ zu jedem  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$  Elemente gibt, deren Ordnung gleich ${}n$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass es keine Untergruppe  ${}F\subseteq (\mathbb {Q} ,0,+)$  derart gibt, dass die zusammengesetzte Abbildung

$F\longrightarrow \mathbb {Q} /\mathbb {Z}$

ein Isomorphismus ist.

Aufgabe

Bestimme die Restklassengruppe zu  ${}\{1,-1\}\subset \mathbb {R} ^{\times }$. 

Aufgabe

Finde in der Permutationsgruppe ${}S_{3}$ einen Normalteiler  ${}N\neq 0,S_{3}$  und bestimme die zugehörige Restklassengruppe.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und  ${}g\in G$  ein Element mit dem (nach Lemma 44.12) zugehörigen Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow G,\,n\longmapsto g^{n}.$

Beschreibe die kanonische Faktorisierung von ${}\varphi$ gemäß Satz 47.11.

Aufgabe *

Es sei ${}G$ eine Gruppe und  ${}g\in G$  ein Element mit endlicher Ordnung. Zeige, dass die Ordnung von ${}g$ mit dem minimalen  ${}d\in \mathbb {N} _{+}$  übereinstimmt, zu dem es einen Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} /(d)\longrightarrow G$

gibt, in dessen Bild das Element ${}g$ liegt.

Aufgabe

Zeige mit Hilfe der Homomorphiesätze, dass zyklische Gruppen mit der gleichen Ordnung isomorph sind.

Aufgabe

Es seien ${}G,H$ und ${}F$ Gruppen und seien ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ und ${}\psi \colon G\rightarrow F$ Gruppenhomomorphismen mit ${}\psi$ surjektiv und mit  ${}\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi$.  Bestimme den Kern des induzierten Homomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon F\longrightarrow H.$

Aufgabe

Zeige, dass für jede reelle Zahl  ${}a\neq 0$  die Restklassengruppen ${}\mathbb {R} /\mathbb {Z} a$ untereinander isomorph sind.

Für die folgende Aufgabe muss man verwenden, dass jede positive natürliche Zahl eine eindeutige Faktorisierung in Primzahlen besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Definiere einen Gruppenhomomorphismus

$(\mathbb {Q} \setminus \{0\},\cdot ,1)\longrightarrow (\mathbb {Z} ,+,0),$

der ${}p\mapsto 1$ und alle anderen Primzahlen auf ${}0$ schickt.

Bestimme auch den Kern dieses Gruppenhomomorphismus.

Aufgabe

Es seien ${}G_{1}$ und ${}G_{2}$ Gruppen und seien  ${}N_{1}\subseteq G_{1}$  und  ${}N_{2}\subseteq G_{2}$  Normalteiler. Zeige, dass ${}N_{1}\times N_{2}$ ein Normalteiler in ${}G_{1}\times G_{2}$ ist und dass eine Isomorphie

${}(G_{1}\times G_{2})/(N_{1}\times N_{2})\cong (G_{1}/N_{1})\times (G_{2}/N_{2})\,$

vorliegt.

Die folgende Aufgabe verwendet den topologischen Begriff der Dichtheit.

Eine Teilmenge  ${}T\subseteq \mathbb {R}$  heißt dicht, wenn es zu jeder reellen Zahl  ${}x\in \mathbb {R}$  und jedem  ${}\epsilon >0$  Elemente  ${}t\in T$  mit

${}\vert {t-x}\vert <\epsilon \,$

gibt.

Aufgabe

Es sei ${}H$ eine (additive) Untergruppe der reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$. Zeige, dass entweder  ${}H={\mathbb {Z} }a$  mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl ${}a$ ist, oder aber ${}H$ dicht in ${}\mathbb {R}$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und  ${}U\subseteq V$  ein Untervektorraum. Es sei ${}u_{i}$, ${}i\in I$, eine Basis von ${}U$ und ${}v_{j}$, ${}j\in J$, eine Familie von Vektoren in ${}V$. Zeige, dass die Gesamtfamilie ${}u_{i},i\in I,v_{j},j\in J$, genau dann eine Basis von ${}V$ ist, wenn ${}[v_{j}]$, ${}j\in J$, eine Basis des Restklassenraumes ${}V/U$ ist.

Aufgabe

Es sei

${}0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V\,$

eine Fahne in einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$. Zeige

${}V_{i+1}/V_{i}\cong K\,$

für  ${}i=0,\ldots ,n-1$. 

Aufgabe

Der ${}K$- Vektorraum ${}V$ sei die direkte Summe der Untervektorräume ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ und es seien  ${}U_{1}\subseteq V_{1}$  und  ${}U_{2}\subseteq V_{2}$  Untervektorräume. Zeige

${}V_{1}\oplus V_{2}/{\left(U_{1}\oplus U_{2}\right)}\cong V_{1}/U_{1}\oplus V_{2}/U_{2}\,.$

Man interpretiere die Aussage der folgenden Aufgabe im Kontext des Faktorisierungssatzes.

Aufgabe *

Es sei ${}M$ eine ${}m\times n$- Matrix über dem Körper ${}K$ mit dem Rang ${}r$. Zeige, dass es eine ${}r\times n$-Matrix ${}A$ und eine ${}m\times r$-Matrix ${}B$, beide mit dem Rang ${}r$, mit  ${}M=B\circ A$  gibt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und  ${}U\subseteq V$  ein ${}\varphi$- invarianter Untervektorraum. Zeige, dass dies eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

$\varphi _{V/U}\colon V/U\longrightarrow V/U$

auf dem Restklassenraum ${}V/U$ mit der Eigenschaft induziert, dass das Diagramm

${\begin{matrix}V&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&V&\\\!\!\!\!\!\pi \downarrow &&\downarrow \pi \!\!\!\!\!&\\V/U&{\stackrel {\varphi _{V/U}}{\longrightarrow }}&V/U&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und es sei  ${}U\subseteq V$  ein ${}\varphi$- invarianter Untervektorraum. Es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{s}$ eine Basis von ${}U$ und ${}u_{1},\ldots ,u_{r},v_{1},\ldots ,v_{s}$ eine Basis von ${}V$, bezüglich der ${}\varphi$ durch die Matrix ${}M$ beschrieben werde. Durch welche Matrix wird die in Aufgabe 47.20 definierte lineare Abbildung

$\varphi _{V/U}\colon V/U\longrightarrow V/U$

bezüglich der Basis ${}[v_{1}],\ldots ,[v_{s}]$ von ${}V/U$ beschrieben?

Zur folgenden Aufgabe vergleiche man Aufgabe 16.23.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und es sei  ${}U\subseteq V$  ein ${}\varphi$- invarianter Untervektorraum. Es sei ${}\varphi _{U}$ die Einschränkung von ${}\varphi$ auf ${}U$ und

$\varphi _{V/U}\colon V/U\longrightarrow V/U$

die in Aufgabe 47.20 definierte lineare Abbildung. Zeige

${}\det \varphi =\det \varphi _{U}\cdot \det \varphi _{V/U}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und es sei  ${}U\subseteq V$  ein ${}\varphi$- invarianter Untervektorraum. Es sei ${}\varphi _{U}$ die Einschränkung von ${}\varphi$ auf ${}U$ und

$\varphi _{V/U}\colon V/U\longrightarrow V/U$

die in Aufgabe 47.20 definierte lineare Abbildung. Zeige, dass für das charakteristische Polynom die Beziehung

${}\chi _{\varphi }=\chi _{\varphi _{U}}\cdot \chi _{\varphi _{V/U}}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}\mathbb {R} ^{\mathbb {N} _{+}}$ der reelle Vektorraum aller Folgen. Zeige, dass die folgenden Teilmengen Untervektorräume sind.
a) Die Menge der konstanten Folgen.
b) Die Menge ${}\mathbb {R} ^{(\mathbb {N} _{+})}$ der Folgen, für die nur endlich viele Folgenglieder von ${}0$ verschieden sind.
c) Die Menge ${}F$ der Folgen, die bis auf endlich viele Folgenglieder konstant sind.
d) Die Menge ${}E$ der Folgen, die nur endlich viele verschiedene Werte haben.
e) Die Menge der konvergenten Folgen.
f) Die Menge ${}N$ der Nullfolgen. Welche Beziehungen gelten zwischen diesen Untervektorräumen?

Aufgabe

Wir betrachten die beiden reellen Folgen

${}x_{n}={\begin{cases}1\,,{\text{ wenn }}n{\text{ gerade}}\,,\\0\,,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

und

${}y_{n}={\begin{cases}1\,,{\text{ wenn }}n{\text{ ungerade}}\,,\\0\,,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

und wir verwenden einige Bezeichnungen aus Aufgabe 47.24.

a) Zeige, dass die beiden Folgen ${}x_{n}$ und ${}y_{n}$ in ${}\mathbb {R} ^{\mathbb {N} _{+}}/\mathbb {R} ^{(\mathbb {N} _{+})}$ linear unabhängig sind.

b) Zeige, dass die beiden Folgen ${}x_{n}$ und ${}y_{n}$ in ${}\mathbb {R} ^{\mathbb {N} _{+}}/F$ linear abhängig sind.

c) Wie sieht es in ${}\mathbb {R} ^{\mathbb {N} _{+}}/N$ aus?

Aufgabe

Es sei  ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{\mathbb {N} _{+}}$  der reelle Vektorraum aller konvergenten Folgen und  ${}U\subseteq W$  der Untervektorraum der Nullfolgen. Zeige

${}W/U\cong \mathbb {R} \,.$

Aufgabe

Zeige, dass durch die Abbildung

$S^{1}\times \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,(u,t)\longmapsto ue^{t},$

ein Gruppenisomorphismus gegeben ist. Wie ist jeweils die Gruppenstruktur gegeben? Skizziere, welche markanten Teilmengen des Zylinders und der gelochten Ebene sich unter diesem Isomorphismus entsprechen.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen mit der Produktgruppe ${}G\times H$. Zeige, dass die Gruppe ${}G\times \{e_{H}\}$ ein Normalteiler in ${}G\times H$ ist, und dass die Restklassengruppe ${}(G\times H)/(G\times \{e_{H}\})$ kanonisch isomorph zu ${}H$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Gruppenhomomorphismen zwischen zwei zyklischen Gruppen. Welche sind injektiv und welche sind surjektiv?

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass es eine Gruppe ${}G$ und einen Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon (\mathbb {R} ,0,+)\longrightarrow G$

mit der Eigenschaft gibt, dass  ${}r\in \mathbb {R}$  genau dann rational ist, wenn  ${}\varphi (r)=0$  ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten ${}{\mathbb {C} }$ als ${}\mathbb {R}$- Vektorraum und den Untervektorraum

${}\mathbb {R} =\mathbb {R} \cdot 1\subset {\mathbb {C} }\,.$

Zeige, dass im Restklassenraum ${}{\mathbb {C} }/\mathbb {R}$ zwei komplexe Zahlen genau dann gleich werden, wenn ihre Imaginärteile übereinstimmen.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}U_{1},U_{2},U$ seien Untervektorräume. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V/U$

die kanonische Projektion. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

a) Für die Bildräume gilt

${}\varphi (U_{1})\cap \varphi (U_{2})=0\,.$

b) Es ist

${}U_{1}\cap (U_{2}+U)\subseteq U\,.$

c) Es ist

${}(U_{1}+U)\cap (U_{2}+U)\subseteq U\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum zusammen mit einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und es sei  ${}T\subseteq V$  der Ausartungsraum. Zeige, dass auf dem Restklassenraum ${}V/T$ ein nichtausgeartete symmetrische Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle '$ mit

${}\left\langle [v],[w]\right\rangle '=\left\langle v,w\right\rangle \,$

für alle  ${}v,w\in V$  existiert.

Aufgabe (6 (1+3+2) Punkte)

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über dem ${}K$- Vektorraum ${}V$ und es sei  ${}U\subseteq V$  ein Untervektorraum. Wir definieren auf ${}E$ eine Relation ${}\sim$ durch

$P\sim Q{\text{ genau dann, wenn }}\exists v\in U{\text{ mit }}P=Q+v.$

a) Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

b) Zeige, dass  ${}F:=E/\sim$  ein affiner Raum über dem Restklassenraum ${}V/U$ ist.

c) Zeige, dass die kanonische Projektion

$E\longrightarrow E/\sim$

eine affine Abbildung ist.