Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 57/latex
\setcounter{section}{57}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{,} $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
zu $\varphi$ mit dem charakteristischen Polynom der
\definitionsverweis {Tensorierung}{}{}
$\varphi_L$ übereinstimmt.
}
{} {}
Allerdings können beim Übergang von $K$ nach $L$ neue Nullstellen des charakteristischen Polynoms und damit neue Eigenwerte und Eigenvektoren auftreten.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$.
a) Definiere eine
$L$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {} {L \otimes_{ K } \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } } {\operatorname{Hom}_{ L } { \left( V_L , W_L \right) }
} {,}
die
\mathl{c \otimes \varphi}{} auf
\mathl{c { \left(
\operatorname{Id}_{ L } \otimes \varphi \right) }}{} abbildet.
b) Es seien die beiden Vektorräume nun
\definitionsverweis {endlichdimensional}{}{.}
Zeige, dass die Abbildung aus Teil (a) ein
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{,} $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und $W$ ein $L$-Vektorraum. Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Zeige, dass es eine $L$-lineare Abbildung
\maabbdisp {\tilde{ \varphi }} {V_L} {W
} {}
gibt, die $\varphi$ fortsetzt
\zusatzklammer {also auf
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ V
}
{ \subseteq }{ V_L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit $\varphi$ übereinstimmt} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Vereinfache in
\mathl{\bigwedge^2 \R^3}{} den Ausdruck
\mathdisp {e_1 \wedge (e_2 -4 e_3) - e_2 \wedge (5 e_1 +3e_2-4e_3) + { \left( 7e_3 \right) } \wedge e_1 -4 { \left( 5e_1 \wedge 2 e_3 \right) } + (2e_1-8e_2) \wedge (2e_1-8e_2)} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Vereinfache in
\mathl{\bigwedge^3 \R^3}{} den Ausdruck
\mathdisp {( e_1-e_2) \wedge (e_2 -4 e_3) \wedge (3e_1-5e_2+4e_3) + { \left( 7e_3 \right) } \wedge { \left( e_1 -4 e_3 \right) } \wedge { \left( 5 e_3 -e_1 \right) } -(4e_3-2 e_2 ) \wedge e_2 \wedge (4 e_1 +3e_2-4e_3)} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Vereinfache in
\mathl{\bigwedge^3 \R^3}{} den Ausdruck
\mathdisp {- 7e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 + 6 e_2 \wedge e_3 \wedge e_1 + 4 e_3 \wedge e_2 \wedge e_1 +3 e_2 \wedge e_1 \wedge e_3 +5 e_3 \wedge e_1 \wedge e_2 -11 e_2 \wedge e_3 \wedge e_1} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Zeige die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ \bigwedge^1 V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$. Zeige, dass
\mathl{\bigwedge^n V}{} nicht der Nullraum ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$m$-\definitionsverweis {dimensionaler
}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ < }{ m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \bigwedge^n V
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{.} Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_1 , \ldots , f_k
}
{ \in }{ V^*
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {V \times \cdots \times V } { K
} {(v_1 , \ldots , v_k)} { \det (f_i (v_j))_{1 \leq i ,j \leq k}
} {,}
\definitionsverweis {multilinear}{}{}
und
\definitionsverweis {alternierend}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige folgende Aussage über das Dachprodukt: Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$. Es seien
\mathkor {} {v_1 , \ldots , v_r} {und} {w_1 , \ldots , w_r} {}
Vektoren in $V$, die miteinander in der Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} w_1 \\\vdots\\ w_r \end{pmatrix}
}
{ =} { M \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v_r \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
stehen, wobei $M$ eine
$r \times r$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
bezeichnet. Dann gilt in
\mathl{\bigwedge^r V}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w_1 \wedge \ldots \wedge w_r
}
{ =} { ( \det M) v_1 \wedge \ldots \wedge v_r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise Satz 57.9 direkt aus der Konstruktion für das Tensorprodukt und der Konstruktion für das Dachprodukt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Kann man durch die Zuordnung
\mathdisp {v_1 \wedge \ldots \wedge v_n \mapsto v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n} { }
eine
\zusatzklammer {lineare} {} {}
Abbildung von
\mathl{\bigwedge^n V}{} nach
\mathl{V \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V}{} festlegen?
} {Kann man auf die kanonische Abbildung
\maabbdisp {\pi} {V \times \cdots \times V } { V \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V
} {}
die
universelle Eigenschaft für das Dachprodukt
anwenden, um eine lineare Abbildung von
\mathl{\bigwedge^n V}{} nach
\mathl{V \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V}{} zu erhalten?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und sei
\maabbdisp {\pi} {V \times \cdots \times V} { V \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V
} {}
\zusatzklammer {mit $n$ Faktoren} {} {}
die kanonische multilineare Abbildung.
\aufzaehlungdrei{Es sei
\mathl{\sigma \in S_n}{} eine
\definitionsverweis {Permutation}{}{.}
Zeige, dass es eine multilineare Abbildung
\maabbdisp {\pi \circ \sigma} {V \times \cdots \times V} { V \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\pi \circ \sigma )(v_1 , \ldots , v_n)
}
{ =} { v_{\sigma (1) } \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_{\sigma (n)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}{Zeige, dass
\mathl{\sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \pi \circ \sigma}{} multilinear und
\definitionsverweis {alternierend}{}{}
ist.
}{Zeige, dass es eine lineare Abbildung
\maabbdisp {\Psi} {\bigwedge^n V} { V \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Psi ( v_1 \wedge \ldots \wedge v_n)
}
{ =} { \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) v_{\sigma (1) } \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_{\sigma (n)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{,} $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es eine kanonische Isomorphie der $L$-Vektorräume
\mathdisp {\bigwedge^n V_L \text{ und } ( \bigwedge^n V )_L} { }
\zusatzklammer {wobei links das
\definitionsverweis {Dachprodukt}{}{}
über $L$ steht} {} {}
gibt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{,} $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \varphi
}
{ =} { \det \varphi_L
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} ein \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} \definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{} $V$ und \maabbdisp {\varphi_{\mathbb C}} {V_{\mathbb C}} {V_{\mathbb C} } {} die zugehörige \definitionsverweis {Komplexifizierung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann \zusatzklammer {\definitionsverweis {asymptotisch}{}{}} {} {} \definitionsverweis {stabil}{}{} ist, wenn dies für $\varphi_{\mathbb C}$ gilt.
}
{} {}