Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Vorlesung 38/latex
\setcounter{section}{38}
\zwischenueberschrift{Bilinearformen}
Reelle Skalarprodukte sind positiv definite symmetrische Bilinearformen. In den folgenden Vorlesungen besprechen wir Bilinearformen allgemein. Neben Skalarprodukten sind die Hesse-Formen wichtig, die in der höherdimensionalen Analysis betrachten werden, um Extrema zu bestimmen und die Minkowski-Formen, mit denen man die spezielle Relativitätstheorie beschreiben kann \zusatzklammer {siehe Vorlesung 40} {} {.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Eine Abbildung
\maabbeledisp {} {V \times V } {K
} {(v,w)} {\left\langle v , w \right\rangle
} {,}
heißt \definitionswort {Bilinearform}{,} wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die induzierten Abbildungen
\maabbeledisp {} {V} {K
} {w} { \left\langle v , w \right\rangle
} {,}
und für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die induzierten Abbildungen
\maabbeledisp {} {V} {K
} {v} { \left\langle v , w \right\rangle
} {,}
$K$-\definitionsverweis {linear}{}{}
sind.
}
Bilinear bedeutet einfach multilinear in zwei Komponenten, diese Eigenschaft haben wir schon im Zusammenhang mit Determinanten kennengelernt. Ein extremes Beispiel ist die \stichwort {Nullform} {,} die jedem Paar den Nullwert zuordnet. Es ist einfach, eine Vielzahl von Bilinearformen auf dem $K^n$ anzugeben.
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_{ij}
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ \leq }{i,j
}
{ \leq }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert. Dann ist die Zuordnung
\mathdisp {( \begin{pmatrix} x_1 \\\vdots\\ x_n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} y_1 \\\vdots\\ y_n \end{pmatrix} ) \longmapsto \Psi(x_1 , \ldots , x_n,y_1 , \ldots , y_n) = \sum_{ij} a_{ij} x_iy_j} { }
eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{.}
Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_{ij}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $i,j$ ist dies die Nullform; bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{ij}
}
{ =} { \delta_{ij}
}
{ =} { \begin{cases} 1, \text{ falls } i = j \, , \\ 0 \text{ sonst} \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
liegt das Standardskalarprodukt vor
\zusatzklammer {wobei der Ausdruck für jeden Körper einen Sinn ergibt, aber die Eigenschaft, positiv definit zu sein, gegenstandslos ist} {} {.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Psi(x_1 , \ldots , x_4 ,y_1 , \ldots , y_4)
}
{ =} { x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3-x_4y_4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
spricht man von einer \stichwort {Minkowski-Form} {.} Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Psi(x_1,x_2,y_1,y_2)
}
{ =} { x_1y_2-x_2y_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
handelt es sich um die Determinante im zweidimensionalen Fall.
}
Eine wichtige Eigenschaft von Bilinearformen, die Skalarprodukte erfüllen, wird in der nächsten Definition formuliert.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\maabbeledisp {} {V \times V } {K
} {(v,w)} {\left\langle v , w \right\rangle
} {,}
heißt \definitionswort {nicht ausgeartet}{,} wenn für alle
\mathl{v \in V, \, v \neq 0}{,} die induzierten Abbildungen
\maabbeledisp {} {V} {K
} {w} { \left\langle v , w \right\rangle
} {,}
und für alle
\mathl{w \in V,\, w \neq 0}{,} die induzierten Abbildungen
\maabbeledisp {} {V} {K
} {v} { \left\langle v , w \right\rangle
} {,}
nicht die
\definitionsverweis {Nullabbildung}{}{}
sind.
}
In dieser Vorlesung werden wir für Vektorräume, auf denen eine nicht-ausge\-artete Bilinearform gegeben ist, eine bijektive Beziehung zwischen Vektoren und Linearformen beweisen. Dies gilt insbesondere für Skalarprodukte. Generell besteht eine enge Beziehung zwischen Bilinearformen und linearen Abbildungen in den Dualraum.
\inputfaktbeweis
{Bilinearform/Über Abbildung zu Dualraum/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Dualraum}{}{}
${ V }^{ * }$. Es sei
\maabbdisp {\Theta} {V} { { V }^{ * }
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Psi (u,v)
}
{ =} {( \Theta(u)) (v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
auf $V$ gegeben.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Theta(u)
}
{ \in }{ { V }^{ * }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, liefert die Auswertung an einem Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element des Grundkörpers. Die Linearität in der zweiten Komponenten beruht direkt darauf, dass
\mathl{\Theta(u)}{} zum Dualraum gehört, und die Linearität in der ersten Komponenten beruht auf der Linearität von $\Theta$.
\zwischenueberschrift{Der Gradient}
\inputfaktbeweis
{Bilinearform/Linearformen/Nicht ausgeartet/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,} der mit einer
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} versehen sei.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Für jeden Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind die Zuordnungen
\maabbeledisp {} {V} {K
} {v} { \left\langle u , v \right\rangle
} {,}
und
\maabbeledisp {} {V} {K
} {v} { \left\langle v , u \right\rangle
} {,}
$K$-\definitionsverweis {linear}{}{.}
}{Die Zuordnung
\maabbeledisp {} {V} { { V }^{ * }
} {u} { \left\langle u , - \right\rangle
} {,}
ist $K$-linear.
}{Wenn
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{}
\definitionsverweis {nicht ausgeartet}{}{}
ist, so ist die Zuordnung in (2)
\definitionsverweis {injektiv}{}{.}
Ist $V$ zusätzlich
\definitionsverweis {endlichdimensional}{}{,}
so ist diese Zuordnung
\definitionsverweis {bijektiv}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1) folgt unmittelbar aus der Bilinearität.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2). Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_1,u_2
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1,a_2
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist für jeden Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle a_1u_1+a_2u_2 , v \right\rangle
}
{ =} { a_1 \left\langle u_1 , v \right\rangle +a_2 \left\langle u_2 , v \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und dies bedeutet gerade die Linearität der Zuordnung.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(3). Da die Zuordnung nach (2) linear ist, müssen wir zeigen, dass der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
davon trivial ist. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
so, dass
\mathl{\left\langle u , - \right\rangle}{} die Nullabbildung ist. D.h.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle u , v \right\rangle
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann muss aber nach der Definition von
\definitionsverweis {nicht ausgeartet}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Wenn $V$ endliche Dimension hat, so liegt eine injektive lineare Abbildung zwischen Vektorräumen der gleichen Dimension vor, und eine solche ist nach
Korollar 11.9
bijektiv.}
{}
Wenn es also in einem endlichdimensionalen Vektorraum eine fixierte nichtausgeartete Bilinearform gibt, so gibt es zu jeder Linearform einen eindeutig bestimmten Vektor, mit dem diese Linearform beschrieben werden kann. Genauer: es gibt dann einen Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L(v)
}
{ =} { \left\langle y , v \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einen Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L(v)
}
{ =} { \left\langle v , z \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
In dieser Situation heißt $y$ der \stichwort {Linksgradient} {} zu $L$ bezüglich der Bilinearform und $z$ der \stichwort {Rechtsgradient} {.} Bei einem Skalarprodukt und generell bei einer nichtausgearteten symmetrischen Bilinearform
\zusatzklammer {siehe weiter unten} {} {}
fallen die beiden Begriffe zusammen, man spricht von dem \stichwort {Gradienten} {.} Für euklidische Vektorräume formulieren wir diese Beziehung noch einmal explizit.
\inputfaktbeweis
{Euklidischer Raum/Linearform/Zugehöriger Vektor/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(V, \left\langle - , - \right\rangle)}{} ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} und
\maabbdisp {f} {V} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Linearform}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(v)
}
{ =} { \left\langle w , v \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Wenn
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{} eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
von $V$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(u_i)
}
{ = }{ a_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so ist dieser Vektor gleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ = }{\sum_{i = 1}^n a_iu_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt unmittelbar aus
Lemma 38.5 (3).
Der Zusatz ist klar wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle w , u_i \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \sum_{j = 1}^n a_j u_j , u_i \right\rangle
}
{ =} { a_i
}
{ =} { f(u_i)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\zwischenueberschrift{Die Gramsche Matrix}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
auf $V$. Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$. Dann heißt die
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\left\langle v_{ i } , v_{ j } \right\rangle _{ 1 \leq i , j \leq n }} { }
die \definitionswort {Gramsche Matrix}{} von
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} bezüglich dieser Basis.
}
In
Beispiel 38.2
bildet
\mathl{(a_{ij})_{ij}}{} die Gramsche Matrix bezüglich der Standardbasis des $K^n$. Wenn die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} bezüglich einer Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} gegeben ist, so kann man daraus
\mathl{\left\langle v , w \right\rangle}{} für beliebige Vektoren berechnen. Man schreibt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{ \sum_{i = 1}^n b_i v_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ = }{ \sum_{i= 1}^n c_i v_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und erhält mit dem allgemeinen Distributivgesetz
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \sum_{i = 1}^n b_i v_i , \sum_{j = 1}^n c_j v_j \right\rangle
}
{ =} { \sum_{ 1 \leq i , j \leq n} b_i c_j \left\langle v_i , w_j \right\rangle
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n b_i { \left( \sum_{j = 1 }^n c_j \left\langle v_i , w_j \right\rangle \right) }
}
{ =} { (b_1 , \ldots , b_n) G \begin{pmatrix} c_1 \\\vdots\\ c_n \end{pmatrix}
}
}
{}
{}{.}
Man erhält also den Wert der Bilinearform an zwei Vektoren, indem man die Gramsche Matrix auf das Koordinatentupel des zweiten Vektors anwendet und das Ergebnis
\zusatzklammer {ein Spaltenvektor} {} {}
mit dem Koordinatentupel des ersten Vektors als Zeilentupel von links multipliziert. Kurz und ungenau ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { { v^{ \text{tr} } } Gw
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Bilinearform/Gramsche Matrix unter Basiswechsel/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
auf $V$. Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n} {und} {\mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_n} {}
zwei
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $V$ und es seien
\mathkor {} {G} {bzw.} {H} {}
die
\definitionsverweis {Gramschen Matrizen}{}{}
von
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} bezüglich dieser Basen.}
\faktvoraussetzung {Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w_j
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n a_{ij} v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die wir durch die
\definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{ { \left( a_{ij} \right) }_{i,j}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ausdrücken.}
\faktfolgerung {Dann besteht zwischen den Gramschen Matrizen die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H
}
{ =} { { A^{ \text{tr} } } G A
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \left\langle w_r , w_s \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \sum_{i = 1}^n a_{ir} v_i , \sum_{k = 1}^n a_{ks} v_k \right\rangle
}
{ =} { \sum_{1 \leq i,k \leq n} a_{ir} a_{ks} \left\langle v_i , v_k \right\rangle
}
{ =} { \sum_{1 \leq i \leq n} a_{ir} { \left( \sum_{1 \leq k \leq n} a_{ks} \left\langle v_i , v_k \right\rangle \right) }
}
{ =} { \sum_{1 \leq i \leq n} a_{ir} { \left( G \circ A \right) }_{is}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \left( { A^{ \text{tr} } } \circ { \left( G \circ A \right) } \right) }_{rs}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
\zwischenueberschrift{Symmetrische Bilinearformen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
auf $V$. Die Bilinearform heißt \definitionswort {symmetrisch}{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { \left\langle w , v \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v,w
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
Wie im Fall eines Skalarproduktes gilt wieder eine \stichwort {Polarisationsformel} {.}
{Bilinearform/Symmetrisch/Polarisationsformel/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
mit einer von $2$ verschiedenen
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
und sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische}{}{} \definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
auf einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.}
\faktfolgerung {Dann gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \left\langle v+w , v+w \right\rangle - \left\langle v , v \right\rangle - \left\langle w , w \right\rangle \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 38.14. }
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {nicht ausgeartete}{}{} \definitionsverweis {symmetrische}{}{}
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
auf $V$. Dann nennt man zu einer
\definitionsverweis {Linearform}{}{}
\maabbdisp {L} {V} {K
} {}
den eindeutig bestimmten Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L(v)
}
{ =} { \left\langle z , v \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v , z \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den
\definitionswort {Gradienten}{}
zu $L$ bezüglich der Bilinearform.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{}
auf $V$. Zwei Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v,w
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißen \definitionswort {orthogonal}{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{}
auf $V$. Eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_i,\, i \in I}{,} von $V$ heißt \definitionswort {Orthogonalbasis}{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v_i , v_j \right\rangle
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{i
}
{ \neq} {j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
} Für eine symmetrische Bilinearform ist es durchaus möglich, dass, anders als bei Skalarprodukten, ein von $0$ verschiedener Vektor zu sich selbst orthogonal ist. Es kann auch, im ausgearteten Fall, von $0$ verschiedene Vektoren geben, die orthogonal zu allen Vektoren sind. Wie im Fall eines Skalarproduktes gibt es Orthogonalbasen.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{}
auf $V$. Der
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mathdisp {{ \left\{ v \in V \mid \left\langle v , u \right\rangle = 0 \text{ für alle } u \in V \right\} }} { }
heißt
\definitionswort {Ausartungsraum}{}
zur Bilinearform.
}
Der Ausartungsraum ist in der Tat ein Untervektorraum von $V$, siehe Aufgabe 38.12.
{Symmetrische Bilinearform/Orthogonalbasis/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{}
auf $V$.}
\faktfolgerung {Dann besitzt $V$ eine
\definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 38.17. }
\zwischenueberschrift{Der Vektorraum der Bilinearformen}
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und seien
\mathkor {} {\Psi_1} {und} {\Psi_2} {}
\definitionsverweis {Bilinearformen}{}{}
auf $V$. Dann erklärt man die Summe dieser beiden Bilinearformen punktweise als diejenige Bilinearform, die an der Stelle
\mathl{(u,v)}{} den Summenwert erhält, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\Psi_1+\Psi_2)(u,v)
}
{ \defeq} { \Psi_1(u,v)+\Psi_2(u,v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Entsprechend definiert man für einen Skalar
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Form $c \Psi$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (c \Psi)(u,v)
}
{ =} { c \Psi(u,v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die entstehenden Funktionen sind wieder bilinear, siehe
Aufgabe 38.19.
Damit erhält man eine Vektorraumstruktur auf der Menge aller Bilinearformen auf $V$.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Die Menge aller
\definitionsverweis {Bilinearformen}{}{}
auf $V$, versehen mit der punktweisen Addition und Skalarmultiplikation, heißt
\definitionswort {Vektorraum der Bilinearformen}{.}
Er wird mit
\mathl{\operatorname{Bilin}_{ } { \left( V \right) }}{} bezeichnet.
}
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Endlichdimensional/Gramsche Matrizen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}}
\faktfolgerung {Zu einer jeden
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ = }{v_1 , \ldots , v_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Abbildung
\maabbeledisp {} { \operatorname{Bilin}_{ } { \left( V \right) } } { \operatorname{Mat}_{ n } (K)
} { \Psi} { G_ \mathfrak{ v } (\Psi)
} {,}
die einer
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
$\Psi$ ihre
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
bezüglich der gegebenen Matrix zuordnet, eine
\definitionsverweis {Isomorphie}{}{}
von Vektorräumen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die
\definitionsverweis {Injektivität}{}{}
der Abbildung folgt aus
Lemma 16.6,
die Surjektivität daraus, dass man eine beliebige Matrix im Sinne von
Beispiel 38.2
als Bilinearform interpretieren kann. Die Linearität folgt unmittelbar aus der punktweisen Definition der Vektorraumstruktur auf
\mathl{\operatorname{Bilin}_{ } { \left( V \right) }}{.}
\zwischenueberschrift{Sesquilinearformen}
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über den
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
${\mathbb C}$. Eine Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
heißt
\definitionswort {antilinear}{}
\zusatzklammer {oder
\definitionswort {semilinear}{}} {} {,}
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(u+v)
}
{ =} { \varphi(u) + \varphi (v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi ( \lambda v )
}
{ =} { \overline{ \lambda } \varphi (v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ \Complex
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
Wenn man die komplexen Vektorräume als reelle Vektorräume auffasst, so handelt es sich insbesondere um reell-lineare Abbildungen. Dieser Eigenschaft sind wir schon bei komplexen Skalarprodukten begegnet.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Eine Abbildung
\maabbeledisp {} {V \times V } {{\mathbb C}
} {(v,w)} {\left\langle v , w \right\rangle
} {,}
heißt \definitionswort {Sesquilinearform}{,} wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
die induzierten Abbildungen
\maabbeledisp {} {V} {{\mathbb C}
} {w} { \left\langle v , w \right\rangle
} {,}
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {antilinear}{}{}
und für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die induzierten Abbildungen
\maabbeledisp {} {V} {{\mathbb C}
} {v} { \left\langle v , w \right\rangle
} {,}
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {linear}{}{}
sind.
}
Wir fordern also die Linearität in der ersten und die Antilinearität in der zweiten Komponenten. Es gibt auch die andere Konvention.
Viele Begriffe und Aussagen übertragen sich mit leichten Abwandlungen von der reellen auf die komplexe Situation.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
zusammen mit einer
\definitionsverweis {Sesquilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$. Dann heißt die
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\left\langle v_{ i } , v_{ j } \right\rangle _{ 1 \leq i , j \leq n }} { }
die \definitionswort {Gramsche Matrix}{} von
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} bezüglich dieser Basis.
}
Wenn die Gramsche Matrix zu einer Sesquilinearform
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} bezüglich einer Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} gegeben ist, so kann man daraus
\mathl{\left\langle v , w \right\rangle}{} für beliebige Vektoren berechnen. Man schreibt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{ \sum_{i = 1}^n b_i v_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ = }{ \sum_{i= 1}^n c_i v_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und erhält mit dem allgemeinen Distributivgesetz
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \sum_{i = 1}^n b_i v_i , \sum_{j = 1}^n c_j v_j \right\rangle
}
{ =} { \sum_{ 1 \leq i , j \leq n} b_i \overline{ c_j } \left\langle v_i , w_j \right\rangle
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n b_i { \left( \sum_{j = 1 }^n \overline{ c_j } \left\langle v_i , w_j \right\rangle \right) }
}
{ =} { (b_1 , \ldots , b_n) G \begin{pmatrix} \overline{ c_1 } \\\vdots\\ \overline{ c_n } \end{pmatrix}
}
}
{}
{}{.}
Man erhält also den Wert der Bilinearform an zwei Vektoren, indem man die Gramsche Matrix auf das Koordinatentupel des komplex-konjugierten zweiten Vektors anwendet und das Ergebnis
\zusatzklammer {ein Spaltenvektor} {} {}
mit dem Koordinatentupel des ersten Vektors als Zeilentupel von links multipliziert. Kurz und ungenau ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { { v^{ \text{tr} } } G \overline{ w }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Sesquilinearform/Gramsche Matrix unter Basiswechsel/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Sesquilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n} {und} {\mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_n} {}
zwei
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $V$ und es seien
\mathkor {} {G} {bzw.} {H} {}
die
\definitionsverweis {Gramschen Matrizen}{}{}
von
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} bezüglich dieser Basen.}
\faktvoraussetzung {Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w_j
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n a_{ij} v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die wir durch die
\definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{ { \left( a_{ij} \right) }_{i,j}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ausdrücken.}
\faktfolgerung {Dann besteht zwischen den Gramschen Matrizen die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H
}
{ =} { { A^{ \text{tr} } } G \overline{ A }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \left\langle w_r , w_s \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \sum_{j = 1}^n a_{rj} v_j , \sum_{k = 1}^n a_{sk} v_k \right\rangle
}
{ =} { \sum_{1 \leq j,k \leq n} a_{rj} \overline{ a_{sk} } \left\langle v_j , v_k \right\rangle
}
{ =} { \sum_{1 \leq j \leq n} a_{rj} { \left( \sum_{1 \leq k \leq n} \overline{ a_{sk} } \left\langle v_j , v_k \right\rangle \right) }
}
{ =} { { \left( { A^{ \text{tr} } } \circ { \left( G \circ \overline{ A } \right) } \right) }_{rs}
}
}
{}
{}{.}
\inputbemerkung
{}
{
Die Menge der Sesquilinearformen auf einem
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ bilden einen ${\mathbb C}$-Vektorraum. Er wird mit
\mathl{\operatorname{Sesq}_{ } { \left( V \right) }}{} bezeichnet.
}
\zwischenueberschrift{Hermitesche Formen}
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {Sesquilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf einem
\definitionsverweis {komplexen Vektorraum}{}{}
$V$ heißt
\definitionswort {hermitesch}{,}
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , u \right\rangle
}
{ =} { \overline{ \left\langle u , v \right\rangle }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
\inputdefinition
{}
{
Eine quadratische
\definitionsverweis {komplexe}{}{}
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { (a_{ij})_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt
\definitionswort {hermitesch}{,}
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_{ij}
}
{ =} { \overline{ a_{ji} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $i,j$ gilt.
}