Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 27

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die Fourier-Transformation

$L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ^{n},{\mathbb {C} }\right)}$

linear ist.

Es sei ${}G$ eine topologische Gruppe. Ein Charakter auf ${}G$ ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus

$\chi \colon G\longrightarrow S^{1}$

in die Kreisgruppe.

Aufgabe

Es sei ${}\chi \colon \mathbb {R} \rightarrow S^{1}$ ein Charakter. Zeige, dass es ein ${}u\in \mathbb {R}$ derart gibt, dass

${}\chi (x)=e^{{\mathrm {i} }ux}\,$

für alle ${}x\in \mathbb {R}$ gilt.

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