Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 27

Die Fourier-Transformation

Definition

Zu einer integrierbaren Funktion $f:{ℝ}^n\to ℂ$ nennt man die Funktion

$\hat{f}:{ℝ}^n⟶ℂ,$

die durch

$\hat{f}(𝔲):=\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}{\int }_{{ℝ}^n}{e}^{-\mathrm{i}⟨𝔲,𝔱⟩}f(𝔱)d𝔱$

definiert ist, die Fourier-Transformation von $f$.

Der Vorfaktor wird häufig auch anders gewählt, weggelassen oder mit dem Maß verarbeitet. Auch die Bezeichnung der Variablen wird sehr unterschiedlich gehandhabt. Einer integrierbaren komplexwertigen Funktion $f$ wird also eine andere Funktion $\hat{f}$ zugeordnet. Eine physikalische Interpretation ist, dass beispielsweise bei  $n=1$  $f(𝔱)$ eine zeitabhängige nichtperiodische (beispielsweise gedämpfte) Schwingung ist und $\hat{f}(𝔲)$ bzw. dessen Betrag angibt, wie stark die Frequenz $𝔲$ in $f$ vorkommt.

Die Fourier-Transformation ist zunächst für integrierbare Funktionen definiert und liefert eine Funktion, von der wir noch keine Eigenschaft kennen. Da das definierende Integral sich nicht ändert, wenn man $f$ auf einer Nullmenge abändert, ist die Fourier-Transformation auf $L^1({ℝ}^n)$ definiert.

Bemerkung  

Sei  $n=1$.  Es ist dann

$\begin{array}{cc}{e}^{-\mathrm{i}⟨𝔲,𝔱⟩}& =e^{-\mathrm{i}𝔲𝔱}\\ & =\cos (-𝔲𝔱)+\mathrm{i}\sin (-𝔲𝔱)\\ & =\cos \left(𝔲𝔱\right)-\mathrm{i}\sin \left(𝔲𝔱\right)\end{array}$

ein Element des komplexen Einheitskreises. Wenn man $𝔲$ fixiert und $𝔱$ varieren lässt, handelt es sich um eine Bewegung auf dem komplexen Einheitskreis, wobei $𝔲$ angibt, mit welcher Frequenz der Kreis durchlaufen wird. Wenn zusätzlich eine ${ℝ}_{\ge 0}$-wertige Funktion gegeben ist, so kann man den Integranden in der Fouriertransformation

$e^{-\mathrm{i}⟨𝔲,𝔱⟩}f(𝔱)=f(𝔱)(\cos \left(𝔲𝔱\right)-\mathrm{i}\sin \left(𝔲𝔱\right))$

so verstehen, dass eine durch $𝔲$ getakte Kreisbewegung mit dem variablen Radius $f(𝔱)$ durchgeführt wird. Das Integral dieser Bewegung über  $𝔱\in ℝ$  berechnet den durchschnittlichen Aufenthaltsort der Bewegung. Dass ein solcher Durchschnitt existiert, setzt voraus, dass $f$ integrierbar ist, also abklingt, für $𝔱\to \pm \mathrm{\infty }$ geht der Radius gegen $0$. Man erwartet im Allgemeinen, dass dieser durchschnittliche, über die Zeit gemittelte, Aufenthaltsort nahe beim Nullpunkt liegt, da sich ja die verschiedenen Auslenkungen bei einem Kreisumlauf, wenn der Radius sich dabei nicht stark ändert, weitgehend wegheben. Wenn es hingegen eine gewisse Synchronizität zwischen der Kreisbewegung und der Auslenkungsbewegung gibt, so erwartet man, dass der Durchschnittswert diese Auslenkung widerspiegelt.

Lemma

Die Fourier-Transformation

$L^1({ℝ}^n)⟶\mathrm{Abb}({ℝ}^n,ℂ)$

ist linear.

Beweis

Siehe Aufgabe 27.1.

$◻$

Beispiel

Es sei  $a>0$  fixiert. Wir betrachten die Funktion

$f(𝔱)=\{\begin{array}{c}{e}^{-a𝔱}\text{ für }𝔱\ge 0\\ 0\text{ sonst}.\end{array}$

Es ist

$\begin{array}{cc}\hat{f}(𝔲)& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{ℝ}{e}^{-\mathrm{i}𝔲𝔱}f(𝔱)d𝔱\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\mathrm{i}𝔲𝔱}{e}^{-a𝔱}d𝔱\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(a+\mathrm{i}𝔲)𝔱}d𝔱\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \left(\frac{-1}{a+\mathrm{i}𝔲}{e}^{-(a+\mathrm{i}𝔲)𝔱}\right){|}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \frac{1}{a+\mathrm{i}𝔲}\end{array}$

Beispiel

Es sei  $a>0$  fixiert. Wir betrachten die Funktion

$f(𝔱)=e^{-a|𝔱|}.$

Es ist unter Verwendung von Beispiel 27.4

$\begin{array}{cc}\hat{f}(𝔲)& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{ℝ}{e}^{-\mathrm{i}𝔲𝔱}{e}^{-a|𝔱|}d𝔱\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\mathrm{i}𝔲𝔱}{e}^{-a𝔱}d𝔱+\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_0^{-\mathrm{\infty }}{e}^{-\mathrm{i}𝔲𝔱}{e}^{a𝔱}d𝔱\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \frac{1}{a+\mathrm{i}𝔲}-\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{\mathrm{i}𝔲s}{e}^{-as}ds\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \frac{1}{a+\mathrm{i}𝔲}+\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \frac{1}{a-\mathrm{i}𝔲}\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \frac{2a}{a^2+{𝔲}^2}\\ & =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi }}\cdot \frac{a}{a^2+{𝔲}^2}.\end{array}$

Beispiel

Sei  $a>0$  fixiert und sei $f$ die Indikatorfunktion zum Intervall $[-a,a]$. Dann ist für  $𝔲\ne 0$ 

$\begin{array}{cc}\hat{f}(𝔲)& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-a}^a{e}^{-\mathrm{i}𝔲𝔱}d𝔱\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \left(\frac{-1}{\mathrm{i}𝔲}{e}^{-\mathrm{i}𝔲𝔱}\right){|}_{-a}^a\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \frac{1}{\mathrm{i}𝔲}\cdot (-e^{-\mathrm{i}𝔲a}+e^{\mathrm{i}𝔲a})\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \frac{2\sin \left(a𝔲\right)}{𝔲}\\ & =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi }}\cdot \frac{\sin \left(a𝔲\right)}{𝔲}.\end{array}$

Bei  $𝔲=0$  ist direkt  $\hat{f}(0)=\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{\pi }}$,  was sich auch bei stetiger Fortsetzung des allgemeinen Ausdrucks ergibt.

Lemma

Für die Fourier-Transformation gelten die folgenden Rechenregeln.

1. Zu  $v\in {ℝ}^n$  und  $g(𝔱)=f(𝔱)e^{\mathrm{i}⟨v,𝔱⟩}$  ist

   $\hat{g}(𝔲)=\hat{f}(𝔲-v).$

2. Zu  $g(𝔱)=f(𝔱-v)$  ist

   $\hat{g}(𝔲)=\hat{f}(𝔲)\cdot e^{-\mathrm{i}⟨𝔲,v⟩}$

3. Zu

   $g=f(c𝔱)$

   und reelles  $c\ne 0$  ist

   $\hat{g}(𝔲)=\frac{1}{|c{|}^n}\hat{f}\left(\frac{1}{c}𝔲\right)$

Beweis

1. Es ist

   $\begin{array}{cc}\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}{\int }_{{ℝ}^n}{e}^{-\mathrm{i}⟨𝔲,𝔱⟩}g(𝔱)d𝔱& =\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}{\int }_{{ℝ}^n}{e}^{-\mathrm{i}⟨𝔲,𝔱⟩}f(𝔱)e^{\mathrm{i}⟨v,𝔱⟩}d𝔱\\ & =\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}{\int }_{{ℝ}^n}{e}^{-\mathrm{i}⟨𝔲-v,𝔱⟩}f(𝔱)d𝔱\\ & =\hat{f}(𝔲-v).\end{array}$

2. Es ist wegen der Translationsinvarianz

   $\begin{array}{cc}\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}{\int }_{{ℝ}^n}{e}^{-\mathrm{i}⟨𝔲,𝔱⟩}g(𝔱)d𝔱& =\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}{\int }_{{ℝ}^n}{e}^{-\mathrm{i}⟨𝔲,𝔱⟩}f(𝔱-v)d𝔱\\ & =\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}{\int }_{{ℝ}^n}{e}^{-\mathrm{i}⟨𝔲,s+v⟩}f(s)ds\\ & =\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}{\int }_{{ℝ}^n}{e}^{-\mathrm{i}⟨𝔲,𝔱+v⟩}f(𝔱)d𝔱\\ & =\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}\cdot e^{-\mathrm{i}⟨𝔲,v⟩}{\int }_{{ℝ}^n}{e}^{-\mathrm{i}⟨𝔲,𝔱⟩}f(𝔱)d𝔱\\ & =\hat{f}(𝔲)\cdot e^{-\mathrm{i}⟨𝔲,v⟩}.\end{array}$

3. Mit  $s=c𝔱$  ist

   $\begin{array}{cc}\hat{g}(𝔲)& =\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}\cdot {\int }_{{ℝ}^n}{e}^{-\mathrm{i}⟨𝔲,𝔱⟩}g(𝔱)d𝔱\\ & =\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}\cdot {\int }_{{ℝ}^n}{e}^{-\mathrm{i}⟨𝔲,𝔱⟩}f(c𝔱)d𝔱\\ & =\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}\cdot {\int }_{{ℝ}^n}{e}^{-\mathrm{i}⟨𝔲,\frac{s}{c}⟩}f(s)d\frac{s}{c}\\ & =\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}\cdot \frac{1}{|c{|}^n}\cdot {\int }_{{ℝ}^n}{e}^{-\mathrm{i}⟨\frac{𝔲}{c},s⟩}f(s)ds\\ & =\frac{1}{|c{|}^n}\hat{f}\left(\frac{𝔲}{c}\right).\end{array}$

$◻$

Lemma

Für die Fourier-Transformation von  $f(𝔱)=e^{\frac{{𝔱}^2}{2}}$ 

gilt

$\hat{f}(𝔲)=e^{\frac{{𝔲}^2}{2}}.$

D.h. die Dichte der Normalverteilung ist ein Fixpunkt für die Fourier-Transformation.

Beweis

Mit quadratischer Ergänzung ist

$\frac{{𝔱}^2}{2}-\mathrm{i}𝔲𝔱=\frac{{𝔱}^2-2\mathrm{i}𝔲𝔱}{2}=\frac{{(𝔱-\mathrm{i}𝔲)}^2+{𝔲}^2}{2}.$

Daher ist mit Lemma 14.6

$\begin{array}{cc}\hat{f}(𝔲)& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{ℝ}{e}^{-\mathrm{i}𝔲𝔱}{e}^{\frac{{𝔱}^2}{2}}d𝔱\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{ℝ}{e}^{\frac{{𝔱}^2}{2}-\mathrm{i}𝔲𝔱}d𝔱\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{ℝ}{e}^{\frac{{(𝔱-\mathrm{i}𝔲)}^2+{𝔲}^2}{2}}d𝔱\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{\frac{{𝔲}^2}{2}}{\int }_{ℝ}{e}^{\frac{{(𝔱-\mathrm{i}𝔲)}^2}{2}}d𝔱\\ & =e^{\frac{{𝔲}^2}{2}},\end{array}$

wobei im Integral wegen der Symmetrie der Imaginärteil gleich $0$ ist.

$◻$

Satz

Es seien $f,g:{ℝ}^n\to ℂ$ integrierbare Funktionen.

Dann gilt für die Fourier-Transformation der Faltung die Beziehung

$\widehat{f\ast g}=(2\pi {)}^{n/2}\cdot \hat{f}\cdot \hat{g}.$

Beweis

Nach Satz 9.8 (für Dichten) angewendet auf die Addition und Korollar 13.2 ist

$\begin{array}{cc}\widehat{f\ast g}(𝔲)& =\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}\cdot {\int }_{{ℝ}^n}{e}^{-\mathrm{i}⟨𝔲,𝔱⟩}(f\ast g)(𝔲)d𝔱\\ & =\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}\cdot {\int }_{{ℝ}^n\times {ℝ}^n}{e}^{-\mathrm{i}⟨𝔲,{𝔱}_1+{𝔱}_2⟩}f({𝔱}_1)g({𝔱}_2)d{𝔱}_{1}d{𝔱}_2\\ & =\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}\cdot ({\int }_{{ℝ}^n}{e}^{-\mathrm{i}⟨𝔲,{𝔱}_1⟩}f({𝔱}_1)d{𝔱}_1)\cdot ({\int }_{{ℝ}^n}{e}^{-\mathrm{i}⟨𝔲,{𝔱}_2⟩}g({𝔱}_2)d{𝔱}_2)\\ & =(2\pi {)}^{n/2}\cdot \hat{f}(𝔲)\cdot \hat{g}(𝔲).\end{array}$

$◻$

Satz

Die Fourier-Transformation $\hat{f}$ einer integrierbaren Funktion

ist gleichmäßig stetig.

Beweis

Sei  $ϵ>0$  vorgegeben. Es sei

$a={\int }_{{ℝ}^n}|f|d{\lambda }^n.$

Zu  ${ϵ}^{\prime }=ϵ/(a+2)$  gibt es nach Aufgabe 9.12 einen abgeschlossenen Ball $B(0,r)$ mit

${\int }_{{ℝ}^n\setminus B(0,r)}fd{\lambda }^n\le {ϵ}^{\prime }.$

Wir setzen  $\delta :=\frac{{ϵ}^{\prime }}{r}$.  Dann gilt für  ${𝔲}_1,{𝔲}_2\in {ℝ}^n$  mit  $\Vert {𝔲}_1-{𝔲}_2\Vert \le \delta$  nach Aufgabe 32.14 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) die Abschätzung

$|e^{\mathrm{i}⟨𝔱,{𝔲}_1⟩}-e^{\mathrm{i}⟨𝔱,{𝔲}_2⟩}|\le \Vert 𝔱\Vert \cdot \Vert {𝔲}_1-{𝔲}_2\Vert \le \Vert 𝔱\Vert \cdot \delta$

und damit

$\begin{array}{cc}|\hat{f}({𝔲}_1)-\hat{f}({𝔲}_2)|& \le |{\int }_{{ℝ}^n}(e^{-\mathrm{i}⟨{𝔲}_1,𝔱⟩}-e^{-\mathrm{i}⟨{𝔲}_2,𝔱⟩})f(𝔱)d𝔱|\\ & \le {\int }_{{ℝ}^n}|e^{-\mathrm{i}⟨{𝔲}_1,𝔱⟩}-e^{-\mathrm{i}⟨{𝔲}_2,𝔱⟩}|\cdot |f(𝔱)|d𝔱\\ & ={\int }_{B(0,r)}|e^{-\mathrm{i}⟨{𝔲}_1,𝔱⟩}-e^{-\mathrm{i}⟨{𝔲}_2,𝔱⟩}|\cdot |f(𝔱)|d𝔱+{\int }_{{ℝ}^n\setminus B(0,r)}|e^{-\mathrm{i}⟨{𝔲}_1,𝔱⟩}-e^{-\mathrm{i}⟨{𝔲}_2,𝔱⟩}|\cdot |f(𝔱)|d𝔱\\ & \le {\int }_{B(0,r)}\Vert 𝔱\Vert \cdot \delta \cdot |f(𝔱)|d𝔱+2{\int }_{{ℝ}^n\setminus B(0,r)}|f(𝔱)|d𝔱\\ & \le r\cdot \delta \cdot {\int }_{B(0,r)}|f(𝔱)|d𝔱+2{ϵ}^{\prime }\\ & \le r\cdot \delta \cdot a+2{ϵ}^{\prime }\\ & \le {ϵ}^{\prime }(a+2)\\ & =ϵ.\end{array}$

$◻$

Satz

Es sei $f:{ℝ}^n\to ℂ$ eine Funktion und sei  $(r_1,\dots ,r_n)\in {\mathbb{N}}^n$.  Für jedes Tupel $(k_1,\dots ,k_n)$ mit  $(k_1,\dots ,k_n)\le (r_1,\dots ,r_n)$  sei ${𝔱}_1^{k_1}\cdots {𝔱}_n^{k_n}f$ integrierbar.

Dann ist die Fourier-Transformierte $\hat{f}$ von $f$ in Richtung $D_1^{r_1}\cdots D_n^{r_n}$ partiell differenzierbar und es gilt

$D_1^{r_1}\cdots D_n^{r_n}\left(\hat{f}\right)=(-\mathrm{i}{)}^{r_1+\cdots +r_n}{({𝔱}_1^{r_1}\cdots {𝔱}_n^{r_n}f)}^{\hat{}}.$

Beweis

Mit Induktion genügt es, die Aussage für $D_1$ zu zeigen. Unter Verwendung von Korollar 11.3, angewendet auf das Maß $fd{\lambda }^n$ und die Funktion $𝔱\mapsto e^{-\mathrm{i}⟨𝔲,𝔱⟩}$, ist

$\begin{array}{cc}\left(D_1\hat{f}\right)\left(𝔲\right)& =\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}{\int }_{{ℝ}^n}{D}_1\left(e^{-\mathrm{i}⟨𝔲,𝔱⟩}\right)f(𝔱)d𝔱\\ & =\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}{\int }_{{ℝ}^n}(-\mathrm{i}){𝔱}_1\left(e^{-\mathrm{i}⟨𝔲,𝔱⟩}\right)f(𝔱)d𝔱\\ & ={(-\mathrm{i}{𝔱}_{1}f)}^{\hat{}}.\end{array}$

$◻$

Es liegt also unter den formulierten Voraussetzungen ein kommutatives Diagramm

$\begin{array}{cccc}\mathrm{Abb}({ℝ}^n,ℂ)& \stackrel{FT}{⟶}& \mathrm{Abb}({ℝ}^n,ℂ)& \\ \cdot (-\mathrm{i}{)}^{|r|}{𝔱}^r\downarrow & & \downarrow D^r& \\ \mathrm{Abb}({ℝ}^n,ℂ)& \stackrel{FT}{⟶}& \mathrm{Abb}({ℝ}^n,ℂ)& \end{array}$

vor, wobei die Definitionsbereiche nicht die gesamte Abbildungsmenge sind.

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